第六章 6.4.2 向量在物理中的应用举例-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.4.2　向量在物理中的应用举例 ［学习目标］　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.(重点) 导语 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学中的力、速度、位移等矢量有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰. 一、向量与力 例1　如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围. 解　(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则， 得-G=F1+F2，|F1|=， |F2|=|G|tan θ，当θ从0趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大. (2)由|F1|=，|F1|≤2|G|，得cos θ≥. 又0≤θ<，所以0≤θ≤， 故角θ的取值范围为. 反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.其中第一步转化问题时，要充分借助向量加法的平行四边形法则或三角形法则，同时还要正确作图. 跟踪训练1　设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为，如图所示. (1)求F3的大小； (2)求F2与F3的夹角. 解　(1)由题意知，|F3|=|F1+F2|，因为|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为， 所以|F3|=|F1+F2| ==. (2)设F2与F3的夹角为θ， 因为F3=-(F1+F2)， 所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2， 所以×2×cos θ=-1×2×-4， 所以cos θ=-，所以θ=. 二、向量与速度、加速度、位移 例2　有一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB= km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样航行可使它从A码头最快到达B码头？用时多少？ 解　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达B码头，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中， ||=||=2，||=4，∠AED=90°， ∴||==2， 又AB=，∴用时0.5 h，易知sin∠EAD=， ∴∠EAD=30°. ∴该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. 反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助坐标来运算. 跟踪训练2　一艘船在静水中的航行速度为10 km/h，河水的流速为4 km/h，则船的实际航行速度(单位：km/h)的取值范围为　　　　.  答案　［6，14］ 解析　由公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|及等号成立的条件可知， 当船速与水速方向相同时，船的实际航行的速度最大，为10+4=14(km/h)； 当船速与水速方向相反时，船的实际航行的速度最小，为10-4=6(km/h). 三、向量与功 例3　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g=10 m/s2) 解　如图所示，设木块的位移为s， 则WF=F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500(J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin 30°=50×=25(N)， 所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N)， 因此Wf=f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J). 即F和f所做的功分别为500 J和-22 J. 反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角). 跟踪训练3　在平面直角坐标系中，力F=(2，3)作用于一物体，使物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体所做的功为　　　　.  答案　4 解析　根据题意，可知力F对物体所做的功为W=F·，因为A(2，0)，B(4，0)， 则=(4-2，0-0)=(2，0)， 又F=(2，3)， 所以W=F·=2×2+3×0=4. 1.知识清单： (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解. (2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不能将物理问题转化为向量问题. 1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为(　　) A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. 答案　C 解析　由题意可知，车速与风速为共线向量，且方向相反，所以逆风行驶的速度大小为|v1|-|v2|. 2.已知三个力F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(4，-3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　) A.(-1，-2) B.(1，-2) C.(-1，2) D.(1，2) 答案　D 解析　F4=-(F1+F2+F3) =-［(-2，-1)+(-3，2)+(4，-3)］=(1，2). 3.已知力F的大小|F|=10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|=14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A.7 B.10 C.14 D.70 答案　D 解析　F做的功为W=F·s=|F||s|cos 60°=10×14×=70. 4.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　) A.5 N B.5 N C.5 N D.5 N 答案　D 解析　两个力的合力的大小为|F1+F2|==5(N). 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　) A.s>|a| B.s<|a| C.s=|a| D.s与|a|不能比较大小 答案　A 解析　s=200+300=500(km)， |a|==100(km)，∴s>|a|. 2.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 答案　B 解析　∵|v|==， ||==3， ∴时间t==3. 3.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力的大小为20 N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为(　　) A.10 N B.10 N C.20 N D.10 N 答案　A 解析　设F1，F2的对应向量分别为，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图， 则=+，即为力F1，F2的合力. ∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形， 在Rt△OAC中，∠COA=30°，||=20 N， ∴||=||cos 30°=10(N). 4.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s 答案　B 解析　由题意知|v水|=2 m/s，|v船|=10 m/s，作出示意图如图. ∴|v|===2(m/s). 5.(多选)河水自西向东流动的速度大小为10 km/h，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它实际速度的大小为10 km/h，则该小船行驶的方向和静水速度的大小分别为(　　) A.北偏西60° B.北偏西30° C.20 km/h D.20 km/h 答案　BC 解析　如图所示，设水流速度为，小船行驶的静水速度为，实际速度为， 则四边形ACBD是平行四边形，∠BAC=90°，||=10，||=||=10，∴tan∠BAD==， ∴∠BAD=30°，||==20，方向为北偏西30°. 6.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是(　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 答案　AC 解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ，则|F|cos θ=|f|，∴|F|=.∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大，且|F|sin θ加上浮力等于船的重力，∴船的浮力减小. 7.(5分)一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ=　　　　　　.  答案　30° 解析　∵WG=G·s=|G||s|cos(90°-θ)=20×1×cos(90°-θ)=10 (J)， ∴cos(90°-θ)=，∴θ=30°. 8.(5分)如图所示，两根绳子把质量为1 kg的物体吊在水平杆AB上(绳子的质量忽略不计，g=10 m/s2)，绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为　　　　，　　　　.  答案　5 N　5 N 解析　设绳子AC和BC的拉力分别为f1，f2，物体的重力用f表示，则|f|=10 N，f1+f2=-f.如图，以C为起点，分别作=-f1，=-f2，=f，则∠ECG=30°，∠FCG=60°，||=10， ∴||=||cos 30°=10×=5， ||=||cos 60°=10×=5， ∴绳子AC的拉力大小为5 N，绳子BC的拉力大小为5 N. 9.(10分)两个力F1=i+j，F2=4i-5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m).求： (1)F1，F2分别对该质点做的功；(5分) (2)F1，F2的合力F对该质点做的功.(5分) 解　(1)F1=(1，1)，F2=(4，-5)，=(-13，-15). F1对质点所做的功W1=F1·=(1，1)·(-13，-15)=-13-15=-28(J)， F2对质点所做的功W2=F2·=(4，-5)·(-13，-15)=-52+75=23(J). (2)F=F1+F2=(5，-4)， 所以F对质点所做的功W=F·=(5，-4)·(-13，-15)=-65+60=-5(J). 10.(10分)在风速为75(-) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向. 解　设ω为风速，va为有风时飞机的航行速度，vb为无风时飞机的航行速度，va=vb+ω.如图所示. 设||=|va|，||=|ω|，||=|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠COD=45°， ∴||=||=||=||cos∠COD=75，∴||=75. 从而||==150，∠CAD=∠BOD=30°.∴|vb|=150 km/h，方向为北偏西60°. 11.新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为|v1|=8 km/h，水流的速度的大小为|v2|=4 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，cos θ等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　如图， 设船的实际速度为v，v1和v2的夹角为θ，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cos θ=-cos(π-θ)=-=-=-. 12.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|=2 N，方向为北偏东30°，|F2|=4 N，方向为北偏东60°，|F3|=6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　) A.24 J B.24 J C.24 J D.24 J 答案　D 解析　如图，建立平面直角坐标系， 则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，则合力F=F1+F2+F3=(2-2，2+4).又位移s=(4，4)，所以合力F所做的功W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=24 (J). 13.加强体育锻炼在青少年生活学习中非常重要.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重约为(参考数据：重力加速度大小为g=10 m/s2，≈1.732)(　　) A.63 kg B.69 kg C.75 kg D.81 kg 答案　B 解析　如图，设该学生的体重为M，所受到的重力为G，则|G|=|F'|.由题意得，|F'|=2|F|cos 30°=400. ∴|G|=400. ∴M=≈69(kg). 14.(5分)一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|=3 N，|F2|=4 N，则F1与F3夹角的余弦值是　　　　.  答案　- 解析　因为物体处于平衡状态， 所以F1+F2+F3=0. 因此F3=-(F1+F2)，于是|F3|= = ==， 设F1与F3的夹角是θ. 又F2=-(F1+F3)，所以|F2|= = ==4， 解得cos θ=-. 15.(多选)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则(　　) A.当该物体处于平衡状态时，|F2|=5 N B.当F2与F1方向相反，且|F2|=5 N时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为F1时，|F2|=4 N D.当|F2|=2 N时，3 N≤|F1+F2+G|≤7 N 答案　ACD 解析　对于A，由题知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1合力的大小，由图1知|F2|=5 N，故A正确； 对于B，如图2，物体所受合力大小等于向量与F2的和向量的大小，显然B错误； 对于C，当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|=4 N，C正确； 对于D，由上知，重力G与水平拉力F1的合力为，||=5 N，易知当F2与同向时合力的大小最大，最大值为7 N，反向时合力的大小最小，最小值为3 N，即3 N≤|F1+F2+G|≤7 N，故D正确. 16.(12分)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，设=2e1+e2. (1)计算||的大小；(4分) (2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走， ①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用e1与e2来表示；(4分) ②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求||的最小值.(4分) 解　(1)因为e1·e2=1×1×cos 60°=， 所以||===. (2)①因为OC=3-2=1，OD=1+2=3， 所以=e1，=3e2，所以=3e2-e1. ②两人在t时刻相距 =(1+4t)e2-(3-4t)e1， 所以||2=(1+4t)2+(3-4t)2-2(1+4t)(3-4t)e1·e2=48t2-24t+7=48+4， 当t=时，||min=2，即小时后，他们两人相距最短. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.4.2 向量在物理中的应用举例 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.(重点) 学习目标 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学中的力、速度、位移等矢量有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰. 导 语 一、向量与力 二、向量与速度、加速度、位移 课时对点练 三、向量与功 随堂演练 内容索引 一 向量与力 　如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况； 例 1 6 如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则， 得-G=F1+F2，|F1|=， |F2|=|G|tan θ，当θ从0趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大. 7 (2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围. 由|F1|=，|F1|≤2|G|，得cos θ≥. 又0≤θ<，所以0≤θ≤， 故角θ的取值范围为. 8 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.其中第一步转化问题时，要充分借助向量加法的平行四边形法则或三角形法则，同时还要正确作图. 反 思 感 悟 用向量解决物理问题的一般步骤 9 　设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为，如图所示. (1)求F3的大小； 跟踪训练 1 由题意知，|F3|=|F1+F2|，因为|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为， 所以|F3|=|F1+F2|==. 10 (2)求F2与F3的夹角. 设F2与F3的夹角为θ， 因为F3=-(F1+F2)， 所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2， 所以×2×cos θ=-1×2×-4， 所以cos θ=-，所以θ=. 11 二 向量与速度、加速度、位移 　有一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB= km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样航行可使它从A码头最快到达B码头？用时多少？ 例 2 13 如图所示，设为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达B码头，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中， ||=||=2，||=4，∠AED=90°， ∴||==2， 又AB=，∴用时0.5 h，易知sin∠EAD=， 14 ∴∠EAD=30°. ∴该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. 15 反 思 感 悟 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助坐标来运算. 　一艘船在静水中的航行速度为10 km/h，河水的流速为4 km/h，则船的实际航行速度(单位：km/h)的取值范围为　　　　　.  跟踪训练 2 ［6，14］ 由公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|及等号成立的条件可知， 当船速与水速方向相同时，船的实际航行的速度最大，为10+4=14(km/h)； 当船速与水速方向相反时，船的实际航行的速度最小，为10-4=6(km/h). 17 三 向量与功 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g=10 m/s2) 例 3 19 如图所示，设木块的位移为s， 则WF=F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500(J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin 30°=50× =25(N)， 所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N)， 因此Wf=f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J). 即F和f所做的功分别为500 J和-22 J. 20 反 思 感 悟 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W=F·s=|F||s|cos θ (θ为F和s的夹角). 　在平面直角坐标系中，力F=(2，3)作用于一物体，使物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体所做的功为　　　.  跟踪训练 3 4 根据题意，可知力F对物体所做的功为W=F·，因为A(2，0)，B(4，0)， 则=(4-2，0-0)=(2，0)， 又F=(2，3)， 所以W=F·=2×2+3×0=4. 22 1.知识清单： (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解. (2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不能将物理问题转化为向量问题. 课堂小结 23 随堂演练 四 1 2 3 4 1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为 A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. √ 由题意可知，车速与风速为共线向量，且方向相反，所以逆风行驶的速度大小为|v1|-|v2|. 2.已知三个力F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(4，-3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于 A.(-1，-2) B.(1，-2) C.(-1，2) D.(1，2) 1 2 3 4 √ F4=-(F1+F2+F3)=-［(-2，-1)+(-3，2)+(4，-3)］=(1，2). 3.已知力F的大小|F|=10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|=14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 A.7 B.10 C.14 D.70 1 2 3 4 √ F做的功为W=F·s=|F||s|cos 60°=10×14×=70. 4.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为 A.5 N B.5 N C.5 N D.5 N 1 2 3 4 √ 两个力的合力的大小为|F1+F2|==5(N). 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B BC AC 30° 5 N 5 N 题号 11 12 13 14 　15 答案 D D B - ACD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)F1=(1，1)，F2=(4，-5)， =(-13，-15). F1对质点所做的功W1=F1· =(1，1)·(-13，-15)=-13-15=-28(J)， F2对质点所做的功W2=F2· =(4，-5)·(-13，-15)=-52+75=23(J). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)F=F1+F2=(5，-4)， 所以F对质点所做的功W=F·=(5，-4)·(-13，-15)=-65+60=-5(J). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 设ω为风速，va为有风时飞机的航行速度，vb为无风时飞机的航行速度，va=vb+ω.如图所示. 设||=|va|，||=|ω|， ||=|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于点D， BE⊥AD于点E，则∠COD=45°， ∴||=||=||=||cos∠COD=75，∴||=75. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 从而||==150， ∠CAD=∠BOD=30°. ∴|vb|=150 km/h，方向为北偏西60°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)因为e1·e2=1×1×cos 60°=， 所以||= ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)①因为OC=3-2=1， OD=1+2=3， 所以=e1，=3e2，所以=3e2-e1. ②两人在t时刻相距=(1+4t)e2-(3-4t)e1， 所以||2=(1+4t)2+(3-4t)2-2(1+4t)(3-4t)e1·e2=48t2-24t+7=48+4， 当t=时，||min=2，即小时后，他们两人相距最短. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么 A.s>|a| B.s<|a| C.s=|a| D.s与|a|不能比较大小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ s=200+300=500(km)， |a|==100(km)，∴s>|a|. 16 答案 2.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为 A.2 B.3 C.4 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵|v|==， ||==3， ∴时间t==3. 答案 3.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力的大小为20 N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为 A.10 N B.10 N C.20 N D.10 N √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设F1，F2的对应向量分别为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图， 则=+，即为力F1，F2的合力. ∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形， 在Rt△OAC中，∠COA=30°，||=20 N， ∴||=||cos 30°=10(N). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知|v水|=2 m/s，|v船|=10 m/s，作出示意图如图. ∴|v|===2(m/s). 答案 5.(多选)河水自西向东流动的速度大小为10 km/h，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它实际速度的大小为10 km/h，则该小船行驶的方向和静水速度的大小分别为 A.北偏西60° B.北偏西30° C.20 km/h D.20 km/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设水流速度为 ， 则四边形ACBD是平行四边形，∠BAC=90°， ||=10，||=||=10，∴tan∠BAD==， ∴∠BAD=30°，||==20，方向为北偏西30°. 答案 6.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是 A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ， 则|F|cos θ=|f|，∴|F|=. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大，且|F|sin θ加上浮力等于船的重力，∴船的浮力减小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ=　　　.  ∵WG=G·s=|G||s|cos(90°-θ)=20×1×cos(90°-θ)=10 (J)， ∴cos(90°-θ)=，∴θ=30°. 30° 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图所示，两根绳子把质量为1 kg的物体吊在水平杆AB上(绳子的质量忽略不计，g=10 m/s2)，绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为　　　　　，　　　.  5 N 16 5 N 答案 48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设绳子AC和BC的拉力分别为f1，f2，物体的重力用f表示，则|f|=10 N，f1+f2=-f.如图，以C为起点，分别作=-f1，=-f2，=f，则∠ECG=30°，∠FCG=60°，||=10， ∴||=||cos 30°=10×=5， ||=||cos 60°=10×=5， ∴绳子AC的拉力大小为5 N，绳子BC的拉力大小为5 N. 答案 49 9.两个力F1=i+j，F2=4i-5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m).求： (1)F1，F2分别对该质点做的功； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F1=(1，1)，F2=(4，-5)，=(-13，-15). F1对质点所做的功W1=F1·=(1，1)·(-13，-15)=-13-15=-28(J)， F2对质点所做的功W2=F2·=(4，-5)·(-13，-15)=-52+75=23(J). 答案 (2)F1，F2的合力F对该质点做的功. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F=F1+F2=(5，-4)， 所以F对质点所做的功W=F·=(5，-4)·(-13，-15)=-65+60=-5(J). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.在风速为75(-) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设ω为风速，va为有风时飞机的航行速度，vb为 无风时飞机的航行速度，va=vb+ω.如图所示. 设||=|va|，||=|ω|，||=|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠COD=45°， ∴||=||=||=||cos∠COD=75，∴||=75. 从而||==150，∠CAD=∠BOD=30°. ∴|vb|=150 km/h，方向为北偏西60°. 答案 11.新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为|v1|=8 km/h，水流的速度的大小为|v2|=4 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，cos θ等于 A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设船的实际速度为v，v1和v2的夹角为θ，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cos θ=-cos(π-θ)=-=-=-. 答案 12.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|=2 N，方向为北偏东30°，|F2|=4 N，方向为北偏东60°，|F3|=6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为 A.24 J B.24 J C.24 J D.24 J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，建立平面直角坐标系， 则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，则合力F=F1+F2+F3=(2-2，2+4). 又位移s=(4，4)，所以合力F所做的功W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=24 (J). 答案 13.加强体育锻炼在青少年生活学习中非常重要.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重约为(参考数据：重力加速度大小为g=10 m/s2，≈1.732) A.63 kg B.69 kg C.75 kg D.81 kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设该学生的体重为M，所受到的重力为G， 则|G|=|F'|.由题意得，|F'|=2|F|cos 30°=400. ∴|G|=400. ∴M=≈69(kg). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|=3 N，|F2|=4 N，则F1与F3夹角的余弦值 是　　　　.  16 - 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为物体处于平衡状态，所以F1+F2+F3=0. 因此F3=-(F1+F2)，于是|F3|== ==， 设F1与F3的夹角是θ. 又F2=-(F1+F3)，所以|F2|== ==4， 解得cos θ=-. 答案 15.(多选)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则 A.当该物体处于平衡状态时，|F2|=5 N B.当F2与F1方向相反，且|F2|=5 N时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为F1时，|F2|=4 N D.当|F2|=2 N时，3 N≤|F1+F2+G|≤7 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由题知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1合力的大小，由图1知|F2|=5 N，故A正确； 对于B，如图2，物体所受合力大小等于向量与F2的和向量的大小，显然B错误； 对于C，当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|=4 N，C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由上知，重力G与水平拉力F1的合力为，||=5 N，易知当F2与同向时合力的大小最大，最大值为7 N，反向时合力的大小最小，最小值为3 N，即3 N≤ |F1+F2+G|≤7 N，故D正确. 答案 16.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，设=2e1+e2. (1)计算||的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为e1·e2=1×1×cos 60°=， 所以||= ==. 答案 (2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走， ①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用e1与e2来表示； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为OC=3-2=1，OD=1+2=3， 所以=e1，=3e2，所以=3e2-e1. 答案 ②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求||的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两人在t时刻相距 =(1+4t)e2-(3-4t)e1， 所以||2=(1+4t)2+(3-4t)2-2(1+4t)(3-4t)e1·e2=48t2-24t+7=48+4， 当t=时，||min=2，即小时后，他们两人相距最短. 答案 第一章 <<< $$