2.课时跟踪检测练 08 第6章 八 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

八　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)下列说法不正确的是(　　) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的 向量,故C说法不正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)如图所示,a-b= (　　) A.2e1-3e2　 B.-2e1+3e2 C.3e1-2e2　 D.-3e1+2e2 【解析】选A.由题意得,a=3e1+e2,b=e1+4e2,故a-b=3e1+e2-(e1+4e2)=2e1-3e2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)在平面直角坐标系内,已知i,j分别是x轴与y轴正方向上的单位向量, 若a=2i-3j,则a的坐标为__________.  【解析】由题意可得a=2i-3j,则a的坐标为(2,-3). 　(2,-3)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　(,)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)如图,向量a,b,c的坐标分别是__________,_________,___________.  【解析】将各向量分别向单位正交基底i=(1,0),j=(0,1)所在直线分解, 则a=-4i,b=6j,c=-2i-5j,所以a=(-4,0),b=(0,6),c=(-2,-5). 　(-4,0)　 　 (0,6)　 　 (-2,-5)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)若{i,j}为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对 应的坐标位于 (　　) A.第一、二象限　 B.第二、三象限 C.第三象限　 D.第四象限 【解析】选D.x2+x+1=+>0,x2-x+1=+>0, 因此a对应的坐标满足x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0,所以向量a对应的坐标位于第 四象限. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【分析】根据角的关系β=α+,再结合任意角三角函数定义sin α=,cos α=整理计算. 　(-7,2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求点B的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知向量=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为 (　　) A.(6,4) B.(1,-1) C.(5,5) D.(-1,1) 【解析】选C.设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,所以B(5,5). 3.(5分)已知=(-2,1),则下列说法正确的是 (　　) A.A点的坐标是(-2,1) B.当A是原点时,B点的坐标是(-2,1) C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,1) D.B点的坐标是(-2,1) 【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2), 由=(-2,1)可得, 由平面向量的坐标定义可知,由向量坐标无法确定点A和点B的坐标,故A,D错误; 当x1=0,y1=0时,则, 即B点的坐标是(-2,1),B正确; 当x2=0,y2=0时,, 即,即A点的坐标是(2,-1),C错误. 5.(5分)在四边形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点, 则= (　　) A.(4,2) B.(-4,-2) C.(8,4) D.(-8,-4) 【解析】选A.因为A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点, 所以E(-,),F(,),所以=(,)-(-,)=(4,2). 6.(5分)(多选)在平面直角坐标系中,若点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个 单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是 (　　) A.=2i+3j　 B.=3i+4j C.=-5i+j　 D.=5i+j 【解析】选AC.由题图知,=2i+3j,=-3i+4j,故A正确,B不正确; =-=-5i+j,=-=5i-j,故C正确,D不正确. 8.(5分)已知点A(-1,4),B(2,6),C(3,0),则满足++=0的点G的坐标为_________.  【解析】设点G的坐标为(x,y),且A(-1,4),B(2,6),C(3,0), 因为++=0,即(-1-x,4-y)+(2-x,6-y)+(3-x,-y)=(0,0), 所以,解得, 所以点G的坐标为(,). 10.(10分)设A,B,C,D为平面内的四点,已知A(3,1),B(-2,2),且=. (1)若C点坐标为(-1,4),求D点坐标; 【解析】(1)由题意得,=(-5,1),若D(x,y),则=(x+1,y-4), 则有(-5,1)=(x+1,y-4), 即,可得,所以D(-6,5). (2)原点为O,=,求P点坐标. 【解析】(2)若P(a,b),则=(a,b),又=, 则有(a,b)=(-5,1),即, 所以P(-5,1). 【综合应用练】 11.(5分)已知向量与a=(6,-8)的夹角为π,且||=|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为 (　　) A.(-7,10)　 B.(7,10) C.(5,-6)　 D.(-5,6) 【解析】选A.由题意知,与a方向相反, 又||=|a|,所以+a=0. 设B(x,y),则=(x+1,y-2),所以解得 故点B的坐标为(-7,10). 13.(5分)已知点A(2,7),向量绕原点O逆时针旋转后等于,则点B的坐标为________.  【解析】设||=r,∠AOx=α,∠BOx=β,B(x0,y0),则rsin α=7,rcos α=2,β=α+, x0=rcos β=rcos(α+)=-rsin α=-7, y0=rsin β=rsin(α+)=rcos α=2,即点B的坐标为(-7,2). 14.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2), (1)若=+,求点P的坐标; 【解析】(1)因为=(1,2),=(2,1), 所以=(1,2)+(2,1)=(3,3), 即点P的坐标为(3,3). (2)若++=0,求的坐标. 【解析】(2)设点P的坐标为(x,y), 因为++=0,且++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以解得 所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2). 15.(10分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a, =b,四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; 【解析】(1)作AM⊥x轴于点M,如图, 则OM=OA·cos 45°=4×=2, AM=OA·sin 45°=4×=2, 所以A(2,2),故a=(2,2). 因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,所以∠COy=30°. 又OC=AB=3,所以C(-,),所以==(-,),即b=(-,). 【解析】(2)因为=+ =(2,2)+(-,) =(2-,2+). 所以点B的坐标为(2-,2+). 【创新拓展练】 16.(5分)已知扇形AOB的半径为5,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,=(5,0), =(4,3),的中点为C,则= (　　) A.(,) B.(,) C.(4,2) D.(2,) 【解析】选B.令∠AOC=α,则∠AOB=2α,tan 2α==,解得tan α=(负值舍去), 即=,又sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,),解得sin α=,cos α=, C(5×,5×),即C(,), 所以=(,). 17.(5分)小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果:对于不重合、不共 线的三点A,B,C,若=(x1,y1),=(x2,y2),则S△OAB=|x1y2-x2y1|.试用上述成果解决问题:已 知A(1,1),B(2,3),C(4,5),则S△ABC=______.  【解析】因为A(1,1),B(2,3),C(4,5), 所以=(1,2),=(3,4), 又当=(x1,y1),=(x2,y2)时, =|x1y2-x2y1|, 所以=×|1×4-3×2|=1. $ 八　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)下列说法不正确的是 (　　) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C说法不正确. 2.(5分)已知向量=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为 (　　) A.(6,4) B.(1,-1) C.(5,5) D.(-1,1) 【解析】选C.设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,所以B(5,5). 3.(5分)已知=(-2,1),则下列说法正确的是 (　　) A.A点的坐标是(-2,1) B.当A是原点时,B点的坐标是(-2,1) C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,1) D.B点的坐标是(-2,1) 【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2), 由=(-2,1)可得, 由平面向量的坐标定义可知,由向量坐标无法确定点A和点B的坐标,故A,D错误; 当x1=0,y1=0时,则, 即B点的坐标是(-2,1),B正确; 当x2=0,y2=0时,, 即,即A点的坐标是(2,-1),C错误. 4.(5分)如图所示,a-b= (　　) A.2e1-3e2　 B.-2e1+3e2 C.3e1-2e2　 D.-3e1+2e2 【解析】选A.由题意得,a=3e1+e2,b=e1+4e2,故a-b=3e1+e2-(e1+4e2)=2e1-3e2. 5.(5分)在四边形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点,则= (　　) A.(4,2) B.(-4,-2) C.(8,4) D.(-8,-4) 【解析】选A.因为A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点, 所以E(-,),F(,),所以=(,)-(-,)=(4,2). 6.(5分)(多选)在平面直角坐标系中,若点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是 (　　) A.=2i+3j　 B.=3i+4j C.=-5i+j　 D.=5i+j 【解析】选AC.由题图知,=2i+3j,=-3i+4j,故A正确,B不正确; =-=-5i+j,=-=5i-j,故C正确,D不正确. 7.(5分)在平面直角坐标系内,已知i,j分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,若a=2i-3j,则a的坐标为　(2,-3)　.  【解析】由题意可得a=2i-3j,则a的坐标为(2,-3). 8.(5分)已知点A(-1,4),B(2,6),C(3,0),则满足++=0的点G的坐标为　(,)　.  【解析】设点G的坐标为(x,y),且A(-1,4),B(2,6),C(3,0), 因为++=0,即(-1-x,4-y)+(2-x,6-y)+(3-x,-y)=(0,0), 所以,解得, 所以点G的坐标为(,). 9.(5分)如图,向量a,b,c的坐标分别是　(-4,0)　,　 (0,6)　,　 (-2,-5)　.  【解析】将各向量分别向单位正交基底i=(1,0),j=(0,1)所在直线分解, 则a=-4i,b=6j,c=-2i-5j,所以a=(-4,0),b=(0,6),c=(-2,-5). 10.(10分)设A,B,C,D为平面内的四点,已知A(3,1),B(-2,2),且=. (1)若C点坐标为(-1,4),求D点坐标; 【解析】(1)由题意得,=(-5,1),若D(x,y),则=(x+1,y-4), 则有(-5,1)=(x+1,y-4), 即,可得,所以D(-6,5). (2)原点为O,=,求P点坐标. 【解析】(2)若P(a,b),则=(a,b),又=, 则有(a,b)=(-5,1),即, 所以P(-5,1). 【综合应用练】 11.(5分)已知向量与a=(6,-8)的夹角为π,且||=|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为 (　　) A.(-7,10)　 B.(7,10) C.(5,-6)　 D.(-5,6) 【解析】选A.由题意知,与a方向相反, 又||=|a|,所以+a=0. 设B(x,y),则=(x+1,y-2), 所以解得 故点B的坐标为(-7,10). 12.(5分)若{i,j}为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于 (　　) A.第一、二象限　 B.第二、三象限 C.第三象限　 D.第四象限 【解析】选D.x2+x+1=+>0,x2-x+1=+>0, 因此a对应的坐标满足x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0,所以向量a对应的坐标位于第四象限. 13.(5分)已知点A(2,7),向量绕原点O逆时针旋转后等于,则点B的坐标为　(-7,2)　.  【分析】根据角的关系β=α+,再结合任意角三角函数定义sin α=,cos α=整理计算. 【解析】设||=r,∠AOx=α,∠BOx=β,B(x0,y0), 则rsin α=7,rcos α=2,β=α+, x0=rcos β=rcos(α+)=-rsin α=-7, y0=rsin β=rsin(α+)=rcos α=2, 即点B的坐标为(-7,2). 14.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2), (1)若=+,求点P的坐标; 【解析】(1)因为=(1,2),=(2,1), 所以=(1,2)+(2,1)=(3,3), 即点P的坐标为(3,3). (2)若++=0,求的坐标. 【解析】(2)设点P的坐标为(x,y), 因为++=0,且++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以解得 所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2). 15.(10分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; 【解析】(1)作AM⊥x轴于点M,如图, 则OM=OA·cos 45°=4×=2, AM=OA·sin 45°=4×=2, 所以A(2,2),故a=(2,2). 因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,所以∠COy=30°. 又OC=AB=3,所以C(-,),所以==(-,),即b=(-,). (2)求点B的坐标. (2)因为=+ =(2,2)+(-,) =(2-,2+). 所以点B的坐标为(2-,2+). 【创新拓展练】 16.(5分)已知扇形AOB的半径为5,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,=(5,0),=(4,3),的中点为C,则= (　　) A.(,) B.(,) C.(4,2) D.(2,) 【解析】选B.令∠AOC=α,则∠AOB=2α,tan 2α==,解得tan α=(负值舍去), 即=,又sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,),解得sin α=,cos α=, C(5×,5×),即C(,), 所以=(,). 17.(5分)小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果:对于不重合、不共线的三点A,B,C,若=(x1,y1),=(x2,y2),则S△OAB=|x1y2-x2y1|.试用上述成果解决问题:已知A(1,1),B(2,3),C(4,5),则S△ABC=　1　.  【解析】因为A(1,1),B(2,3),C(4,5), 所以=(1,2),=(3,4), 又当=(x1,y1),=(x2,y2)时, =|x1y2-x2y1|, 所以=×|1×4-3×2|=1. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $