专题二：平面向量数量积（讲义+课件）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题二：平面向量数量积 【知识点、题型梳理】 1.平面向量概念：（1），规定：零向量与任一向量的数量积等于0. （2） 2.在方向上投影为：= 3.平面数量积性质：（1）||=; (2); (3）); 4.向量运算律不满足（1）三个向量积的结合律 （2）消去律 题型一：求数量积 例1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 练习1-1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D．2 练习1-2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 练习1-3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为 . 例2-1．（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 例2-2．（2020•天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 练习2-1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，， ． 若点为边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 练习2-2．（2017新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 题型二：求模 例3．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 练习3-1．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 练习3-2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 练习3-3．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 练习3-4．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 题型三：求夹角 例4.（2026高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 练习4-1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则与的夹角为 ． 练习4-2．（2020•全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（ ） A. B. C. D. 练习4-3．（2019全国Ⅲ理13）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________. 题型四：求投影向量 例5．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 练习5-1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 练习5-2．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 练习5-3．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 题型五：向量运算律 例6．（多选题）下列说法错误的是（    ） A． B． C．对任意向量都有 D．，则与中至少有一个为 练习6-1．（多选题）已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 练习6-2．（多选题）若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 题型六：向量的平行、垂直表示与应用 例7.（2021高考甲卷）14. 已知向量．若，则________． 练习7.（2020•全国2卷）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k＝__________. 例8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 练习8．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二：平面向量数量积 【知识点、题型梳理】 1.平面向量概念：（1），规定：零向量与任一向量的数量积等于0. （2） 2.在方向上投影为：= 3.平面数量积性质：（1）||=; (2); (3）); 4.向量运算律不满足（1）三个向量积的结合律 （2）消去律 题型一：求数量积 例1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 练习1-1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【详解】已知， 因为， 所以. 练习1-2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 【详解】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 练习1-3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为 . 【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为， 由题意得 又，代入得即 故答案为：2 例2-1．（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 例2-2．（2020•天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ，解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ,∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值.故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 练习2-1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，， ． 若点为边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 练习2-1．．A【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形中，，， 所以，，，设,， 所以，， 因为，所以， 即，解得，即， 因为在上，所以，由， 得，即， 因为，， 所以 ，令，． 因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为，故选A． 练习2-2．（2017新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 练习2-2．B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 ，，，设， 所以 ，，， 所以 ， ， 当时，所求的最小值为，故选B． 题型二：求模 例3．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 练习3-1．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 练习3-2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 练习3-3．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 【详解】由题可知，，即 所以. 练习3-4．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 【详解】由及， 将两边平方得， 则，，而， 所以，当且仅当向量与反向共线时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 题型三：求夹角 例4.（2026高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 【答案】/ 【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求 解夹角即可. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，所以， 所以，则， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 练习4-1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则与的夹角为 ． 【详解】由可得：. 又因为，所以， 即， 又因为，所以， 练习4-2．（2020•全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 练习4-3．（2019全国Ⅲ理13）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________. 解析 ， 因为， 所以，所以. 题型四：求投影向量 例5．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 练习5-1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 练习5-2．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是边长为的等边三角形，为中点， 所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 则，，， 则， 则向量在向量方向上的投影向量为.  故选：B 练习5-3．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，因为， 所以，解得， 所以在上的投影数量为， 题型五：向量运算律 例6．（多选题）下列说法错误的是（    ） A． B． C．对任意向量都有 D．，则与中至少有一个为 【答案】ABCD 【分析】利用数量积的运算律判断A，利用数乘向量的意义判断B；利用数量积的意义及数乘向量分析说明判断C；利用向量数量积的意义判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，因为与都是实数，则向量与共线， 向量与共线，而与是任意两个向量，故C错误；. 对于D，若，则或或，故D错误. 故选：ABCD. 练习6-1．（多选题）已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 【答案】ABD 【分析】A数乘向量为零向量可得；B根据数量积的运算律判断；C根据数量积的运算律可得或；D求证. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，因，则， 故，故B正确； 对于C，若，则，则或，故C错误； 对于D，， 则，故D正确． 答案：ABD 练习6-2．（多选题）若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用垂直的向量关系可判断C选项；利用向量模的三角不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则， 所以或当时，，C错； 对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对. 故选：ABD. 题型六：向量的平行、垂直表示与应用 例7.（2021高考甲卷）14. 已知向量．若，则________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】, ，解得,故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积. 练习7.（2020•全国2卷）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k＝__________. 【答案】 【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. 【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：.故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 例8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 练习8．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】，， ，，， 是线段上一点，三点共线， ，解得. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题二：平面向量数量积 1 陶新军 同学们好，今天我们学习比大小的微专题，这节课我们围绕为什么学，学什么，如何学依次展开。看这节课学习目标 4+1（7） 一.知识回顾 如何学呢，我们从知识回顾、自主构建方法体系、应用探究、课堂检测四方面展开，4分钟完成导学案第一页：知识回顾，1分钟对答案 3（10） 二.方法构建 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 B 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 A 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 1 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 2 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 A 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 A 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型一：求数量积 B 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型二：求模 B 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型二：求模 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型三：求夹角 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型三：求夹角 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型四：求投影向量 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型四：求投影向量 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型五：运算律 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型五：运算律 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型六：向量的平行、垂直表示与应用 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ 3（10） 三.应用探究题型六：向量的平行、垂直表示与应用 老师说从数与形思维视角入手，提问学生从图形后如何比较大小？提问学生从数入手比较大小方法有哪些？ $