2.课时跟踪检测练 07 第6章 七 平面向量基本定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

七　平面向量基本定理 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)如果表示平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是 (　　) A.e2,e1-2e2 B.e1+2e2,e2+2e1 C.e1-3e2,6e2-2e1 D.e1-e2,e1-3e2 【解析】选C.根据基底的定义知,向量e1,e2为不共线非零向量,即不存在实数λ,使得e1=λe2, 对于A中,向量e2和e1-2e2,不存在实数λ1,使得e2=λ1(e1-2e2),所以e2和e1-2e2可以作为一个基底,不符合题意; 对于B中,向量e1+2e2,e2+2e1,假设存在实数λ2,使得e1+2e2=λ2(e2+2e1), 可得,此时方程组无解,所以e1+2e2和e2+2e1可以作为一个基底,不符合题意; 对于C中,向量e1-3e2和6e2-2e1,假设存在实数λ3,使得e1-3e2=λ3(6e2-2e1), 可得解得λ3=-,所以e1-3e2和6e2-2e1不可以作为一个基底,符合题意; 对于D中,向量e1-e2和e1-3e2,假设存在实数λ4,使得e1-e2=λ4(e1-3e2), 可得此时方程组无解,所以e1-e2和e1-3e2可以作为一个基底,不符合题意. 2.(5分)(2025·咸阳高一检测)如果是平面α内所有向量的一个基底,那么下列说法正确的是 (　　) A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0成立,则λ1=λ2≠0 B.平面α内任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 【解析】选B.对于A,因为是平面α内所有向量的一个基底,所以e1,e2不共线. 根据向量共线的充要条件可得:若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0成立,则λ1=λ2=0,故A错误; 对于B,根据平面向量基本定理可判断B正确; 对于C,根据平面向量基本定理可得:λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)一定在平面α内,故C错误; 对于D,根据平面向量基本定理可得:对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有且只有一对,故D错误. 3.(5分)(2025·湛江高一检测)已知AD是△ABC的中线,=a,=b,以{a,b}为一个基底表示,则= (　　) A.(a-b) B.2b-a C.(b-a) D.2b+a 【解析】选B.因为AD是△ABC的中线, 所以=2,=+=+2 =+2(-)=-+2=-a+2b. 4.(5分)设点D为△ABC所在平面内一点,若=3,则 (　　) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 【解析】选A.如图,由=3可知,点D在线段BC的延长线上,由图可得, =+=+=+( - )=-+ . 5.(5分)在平行四边形ABCD中,=2,=,记=a,=b,则= (　　) A.a-b B.a+b C.a+b　 D.a+b 【解析】选B.因为=2,=, 则=,==, 所以=+=a+b. 6.(5分)(2025·咸阳高一检测)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,若=λ-μ,则λ+μ= (　　) A.-　 B.-　　 C.　 D. 【解析】选C.因为在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点, 所以=+=+=+(+)=++=+,因为=λ-μ,所以λ=,μ=-,所以λ+μ=+(-)=. 7.(5分)已知{a,b}是平面向量的一个基底,实数x,y满足3a+4b=(x-1)a+(2-y)b,则x+y=　2　.  【解析】因为{a,b}是平面向量的一个基底,且3a+4b=(x-1)a+(2-y)b, 所以, 解得, 所以x+y=4+(-2)=2. 8.(5分)已知非零向量,不共线,且3=x+y,若=λ,λ∈R,则x,y满足的关系是　x+y=3　.  【解析】=λ,即-=λ(-),则=(1+λ)-λ, 即3=3(1+λ)-3λ,又3=x+y,所以,两式相加,得x+y=3. 9.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,G为AC与DE的交点,若=a,=b,则用a,b表示=　b-a　.  【解析】在平行四边形ABCD中, 易证△AGD∽△CGE,又E是BC的中点, 所以==,所以=, 所以=-=- =(+)-=- =b-a. 10.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:{a,b}可以作为一个基底; 【解析】(1)假设a=λb(λ∈R), 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得方程组无解, 所以λ不存在. 故a与b不共线,可以作为一个基底. (2)以{a,b}为基底表示向量c=3e1-e2. 【解析】(2)设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以解得 所以c=2a+b. 【综合应用练】 11.(5分)如图所示,F为平行四边形ABCD对角线BD上一点,=,则= (　　) A.+ B.- C.+ D.- 【解析】选A.由题意知=,故=+=+=+=+(-)=+. 12.(5分)如图,△ABC中,=3,=m,=n,m>0,n>0,则+= (　　) A.3　 B.4　 C.　 D. 【解析】选B.由题意得:=+=+=+(-)=+. 因为=m,=n, 所以=+, 因为E,D,F三点共线, 所以+=1,即+=4. 13.(5分)(2025·盐城高一检测)如图,在△ABC中,=,P是线段BN上的一点,若=m+,则实数m=　　.  【解析】由B,P,N三点共线,有=λ,λ∈R,即-=λ(-), 可得=λ+(1-λ), =,则=m+=m+, 由平面向量基本定理得,所以m=. 14.(10分)如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设=a,=c. (1)用a,c表示向量; 【解析】(1)因为=-=c-a,点D是AC的中点,所以==(c-a), 因为点E是BD的中点, 所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a. (2)若点F在AC上,且=a+c,求AF∶CF. 【解析】(2)设=λ(0<λ<1), 所以=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc. 又=a+c,所以λ=, 所以=,所以AF∶CF=4∶1. 15.(10分)如图,在△ABC中,D是AB的中点,=. (1)若AC=2BC=2,∠ACB=60°,求|CD|; 【解析】(1)因为D为AB的中点,AC=2BC=2,∠ACB=60°, 所以=+, 所以||2=||2+·+||2=1+×2×1×cos 60°+=, 所以|CD|=. (2)若=x+y,求x+y的值; 【解析】(2)因为=,所以=, 设=n, 则=n=n(+)=+, 又因为A,O,E三点共线,所以+n=1,即n=. 所以==(+)=+, 因为=x+y,所以x=y=, 即x+y=. (3)过点O作直线分别与边CA,CB交于M,N两点(点M,N与点B,C不重合),设CA=λCM,CB=μCN,求+的最小值. 【解析】(3)由(2)可知,=+, 因为=λ,=μ, 所以=×λ+×μ, 因为M,O,N三点共线,所以×λ+×μ=1,λ+μ=,即(λ-1)+(μ-1)=, 所以+=2(+)[(λ-1)+(μ-1)]=2[1+++2]≥2(3+2)=6+4, 当且仅当=,即λ=,μ=时取等号, 所以+的最小值为6+4. 【创新拓展练】 16.(5分)如图所示,O为线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,=a,=b,则用a,b表示+++…+,其结果为 (　　) A.2 025(a+b) B.2 026(a+b) C.1 012(a+b) D.1 013(a+b) 【解析】选D.设A0A2 025的中点为A, 则+=2=+=+(i∈[0,2 025]), 所以+++…+ =×2=1 013(a+b). - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $七　平面向量基本定理 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)如果表示平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是(　　) A.e2,e1-2e2 B.e1+2e2,e2+2e1 C.e1-3e2,6e2-2e1 D.e1-e2,e1-3e2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选C.根据基底的定义知,向量e1,e2为不共线非零向量,即不存在实数λ,使得e1=λe2, 对于A中,向量e2和e1-2e2,不存在实数λ1,使得e2=λ1(e1-2e2),所以e2和e1-2e2可以作为一个基底, 不符合题意; 对于B中,向量e1+2e2,e2+2e1,假设存在实数λ2,使得e1+2e2=λ2(e2+2e1), 可得,此时方程组无解,所以e1+2e2和e2+2e1可以作为一个基底,不符合题意; 对于C中,向量e1-3e2和6e2-2e1,假设存在实数λ3,使得e1-3e2=λ3(6e2-2e1), 可得解得λ3=-,所以e1-3e2和6e2-2e1不可以作为一个基底,符合题意; 对于D中,向量e1-e2和e1-3e2,假设存在实数λ4,使得e1-e2=λ4(e1-3e2), 可得此时方程组无解,所以e1-e2和e1-3e2可以作为一个基底,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 2.(5分)(2025·咸阳高一检测)如果是平面α内所有向量的一个基底,那么下列说法正确的是(　　) A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0成立,则λ1=λ2≠0 B.平面α内任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选B.对于A,因为是平面α内所有向量的一个基底,所以e1,e2不共线. 根据向量共线的充要条件可得:若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0成立,则λ1=λ2=0,故A错误; 对于B,根据平面向量基本定理可判断B正确; 对于C,根据平面向量基本定理可得:λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)一定在平面α内,故C错误; 对于D,根据平面向量基本定理可得:对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有且只有一对,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 7.(5分)已知{a,b}是平面向量的一个基底,实数x,y满足3a+4b=(x-1)a+(2-y)b, 则x+y=______.  【解析】因为{a,b}是平面向量的一个基底,且3a+4b=(x-1)a+(2-y)b, 所以, 解得, 所以x+y=4+(-2)=2. 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　x+y=3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　b-a　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 10.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:{a,b}可以作为一个基底; 【解析】(1)假设a=λb(λ∈R), 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得方程组无解, 所以λ不存在. 故a与b不共线,可以作为一个基底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)以{a,b}为基底表示向量c=3e1-e2. 【解析】(2)设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以解得 所以c=2a+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (3)过点O作直线分别与边CA,CB交于M,N两点(点M,N与点B,C不重合), 设CA=λCM,CB=μCN,求+的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 3.(5分)(2025·湛江高一检测)已知AD是△ABC的中线,=a,=b,以{a,b}为一个基底 表示,则= (　　) A.(a-b) B.2b-a C.(b-a) D.2b+a 【解析】选B.因为AD是△ABC的中线, 所以=2,=+=+2 =+2(-)=-+2=-a+2b. 4.(5分)设点D为△ABC所在平面内一点,若=3,则 (　　) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 【解析】选A.如图,由=3可知,点D在线段BC的延长线上,由图可得, =+=+=+( - )=-+ . 5.(5分)在平行四边形ABCD中,=2,=,记=a,=b,则= (　　) A.a-b B.a+b C.a+b　 D.a+b 【解析】选B.因为=2,=, 则=,==, 所以=+=a+b. 6.(5分)(2025·咸阳高一检测)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点, 若=λ-μ,则λ+μ= (　　) A.-　 B.-　　 C.　 D. 【解析】选C.因为在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点, 所以=+=+=+(+)=++=+, 因为=λ-μ,所以λ=,μ=-,所以λ+μ=+(-)=. 8.(5分)已知非零向量,不共线,且3=x+y,若=λ,λ∈R,则x,y满足的关系 是___________.  【解析】=λ,即-=λ(-),则=(1+λ)-λ, 即3=3(1+λ)-3λ,又3=x+y,所以,两式相加,得x+y=3. 9.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,G为AC与DE的交点,若=a,=b,则用a,b表示=_________.  【解析】在平行四边形ABCD中, 易证△AGD∽△CGE,又E是BC的中点, 所以==,所以=, 所以=-=- =(+)-=- =b-a. 【综合应用练】 11.(5分)如图所示,F为平行四边形ABCD对角线BD上一点,=,则= (　　) A.+ B.- C.+ D.- 【解析】选A.由题意知=,故=+=+=+=+(-) =+. 12.(5分)如图,△ABC中,=3,=m,=n,m>0,n>0,则+= (　　) A.3　 B.4　 C.　 D. 【解析】选B.由题意得:=+=+=+(-)=+. 因为=m,=n, 所以=+, 因为E,D,F三点共线, 所以+=1,即+=4. 13.(5分)(2025·盐城高一检测)如图,在△ABC中,=,P是线段BN上的一点, 若=m+,则实数m=_______.  【解析】由B,P,N三点共线,有=λ,λ∈R,即-=λ(-), 可得=λ+(1-λ), =,则=m+=m+, 由平面向量基本定理得,所以m=. 14.(10分)如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设=a,=c. (1)用a,c表示向量; 【解析】(1)因为=-=c-a,点D是AC的中点,所以==(c-a), 因为点E是BD的中点, 所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a. (2)若点F在AC上,且=a+c,求AF∶CF. 【解析】(2)设=λ(0<λ<1), 所以=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc. 又=a+c,所以λ=, 所以=,所以AF∶CF=4∶1. 15.(10分)如图,在△ABC中,D是AB的中点,=. (1)若AC=2BC=2,∠ACB=60°,求|CD|; 【解析】(1)因为D为AB的中点,AC=2BC=2,∠ACB=60°, 所以=+, 所以||2=||2+·+||2=1+×2×1×cos 60°+=, 所以|CD|=. (2)若=x+y,求x+y的值; 【解析】(2)因为=,所以=, 设=n, 则=n=n(+)=+, 又因为A,O,E三点共线,所以+n=1,即n=. 所以==(+)=+, 因为=x+y,所以x=y=, 即x+y=. 【解析】(3)由(2)可知,=+, 因为=λ,=μ,所以=×λ+×μ, 因为M,O,N三点共线,所以×λ+×μ=1,λ+μ=,即(λ-1)+(μ-1)=, 所以+=2(+)[(λ-1)+(μ-1)]=2[1+++2]≥2(3+2)=6+4, 当且仅当=,即λ=,μ=时取等号, 所以+的最小值为6+4. 【创新拓展练】 16.(5分)如图所示,O为线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离 相等,=a,=b,则用a,b表示+++…+,其结果为 (　　) A.2 025(a+b) B.2 026(a+b) C.1 012(a+b) D.1 013(a+b) 圆学子梦想 铸金字品牌 【解析】选D.设A0A2 025的中点为A, 则+=2=+=+(i∈[0,2 025]), 所以+++…+ =×2=1 013(a+b). - 8 - $