2.课时跟踪检测练 06 第6章 六 向量的数量积(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

六　向量的数量积(2) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·西宁高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,且a·b=-3,则(2a+b)·a的值为 (　　) A.1　 B.3　 C.5　 D.7 【解析】选C.因为向量a,b满足|a|=2,且a·b=-3,所以(2a+b)·a=2a2+b·a=2×22-3=5. 2.(5分)(2025·烟台高一检测)下列说法正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.若a·c=b·c,则a=b C.若a=b,则a·c=b·c D.若a·b>0,则a,b夹角为锐角 【解析】选C.对于A,两个向量模长相等,不一定共线,故A错误; 对于B,若a·c=b·c⇒|a|cos<a,c>=|b|cos<b,c>,不能得到a=b, 比如a,b为任意非零向量,当c=0时满足a·c=b·c,但a,b不一定相等,故B错误; 对于C,若a=b,则有<a,c>=<b,c>,|a|=|b|,所以a·c=b·c,故C正确; 对于D,若a,b同向,即夹角为零角时仍能满足a·b>0,故D错误. 3.(5分)已知a,b是单位向量,若a⊥b,则(3a-b)·(a+b)= (　　) A.　 B.2　 C.-　 D.-2 【解析】选B.因为a,b是单位向量,且a⊥b,所以a·b=0,所以(3a-b)·(a+b)=2+2a·b=2. 4.(5分)已知平面向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a·(a-b)=20,则向量a与b的夹角为 (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选C.a·(a-b)=a2-a·b=20, 所以a·b=42-20=-4, cos<a,b>===-,而<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 5.(5分)(2025·连云港高一检测)在△ABC中,若=a,=b,=c,且(a-b)⊥c,则△ABC的形状是 (　　) A.等边三角形　 B.直角三角形 C.等腰三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选C.因为=a,=b,=c, 所以c=-(a+b), 若(a-b)⊥c, 则(a-b)·c=-(a-b)·(a+b)=b2-a2=0, 所以|b|=|a|, 即||=||,所以△ABC是等腰三角形. 6.(5分)(多选)(2025·徐州高一检测)设a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,下列命题正确的是 (　　) A.(a·b)c-(c·a)b=0 B.|a|-|b|<|a-b| C.(b·c)a-(a·c)b与c垂直 D.若a·c=b·c,则a=b 【解析】选BC. 选项 原因 正误 A 不妨设a·b=k1,c·a=k2,则(a·b)c-(c·a)b=k1c-k2b, 由于a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,则(a·b)c-(c·a)b=k1c-k2b不一定为零向量 × B 作=a,=b,则a-b=-=,如图所示: 因为a,b不共线,由三角形三边关系可得||-||<||,即|a|-|b|<|a-b| √ C 易知(b·c)a-(a·c)b为非零向量,则[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)·(a·c)-(a·c)·(b·c)=0, 所以(b·c)a-(a·c)b与c垂直 √ D 若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,所以a=b或(a-b)⊥c × 7.(5分)(2025·莆田高一检测)已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|b|=5,则|a-b|=　7　.  【解析】因为向量a,b的夹角为120°,|a|=3,|b|=5,所以a·b=|a||b|cos 120°=-, 则(a-b)2=a2-2a·b+b2=9-2×(-)+25=49,所以|a-b|=7. 8.(5分)已知向量a,b的夹角为60°,若(4a-b)·b=-8,|a|=1,则|b|=　4　.  【解析】因为向量a,b的夹角为60°,|a|=1, 所以a·b=|a||b|cos 60°=|b|, 所以由(4a-b)·b=-8,得4a·b-b2=2|b|-|b|2=-8, |b|2-2|b|-8=0,得|b|=4,或|b|=-2(舍去). 9.(5分)(2025·淄博高一检测)平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,AC交BD于O,则·=　-6　.  【解析】如图所示, ·=(+)·(-) =(||2-||2)=×(22-42)=-6. 10.(10分)已知|a|=2,|b|=4,且|a+b|=2. (1)若(2a-kb)⊥(ka+b),求实数k的值; 【解析】(1)由题意知,|a+b|2=a2+2a·b+b2=12,因为|a|=2,|b|=4,所以a·b=-4, 由(2a-kb)⊥(ka+b),得(2a-kb)·(ka+b)=0,即2ka2+2a·b-k2a·b-kb2=0. 所以8k-8+4k2-16k=0,解得k=1±. (2)求a与3a+b的夹角的余弦值. 【解析】(2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8,|3a+b|==2, 设a与3a+b的夹角为θ,则cos θ===, 所以a与3a+b的夹角的余弦值为. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·新余高一检测)在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=60°,=2,则·= (　　) A.3　 B.6　 C.9　 D.12 【解析】选C.根据题意作出图形,如图所示, 因为=2,所以=. 所以=+=+(-)=+, 所以·=·(+)=·+=×6×3×cos 60°+×32=9. 12.(5分)(2025·威海高一检测)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|c|=3,a·c=-2,a+2b+3c=0,则|b|= (　　) A.　 B. C.2　 D.3 【解析】选A.a+2b+3c=0⇒a+3c=-2b,等式两边平方得|a|2+6a·c+9|c|2=4|b|2, 因为|a|=1,|c|=3,a·c=-2,化简可得1-2×6+9×9=4|b|2,所以|b|=. 13.(5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=,a·b=1,则|a+b|=　3　.  【解析】因为|a|=3,|a-b|=,a·b=1, 则|a-b|2=a2+b2-2a·b=9+|b|2-2=23, 所以|b|=4, 所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=9+2+16=27, 因此,|a+b|=3. 14.(10分)在△AOB中,设向量a=,b=,且|a|=2|b|=2,∠AOB=. (1)求a·(a-b)的值; 【解析】(1)由已知得|a|=2,|b|=1, 所以a·b=|a||b|cos∠AOB=|a||b|cos =2×1×(-)=-1, 所以a·(a-b)=|a|2-a·b=22-(-1)=5. (2)若=,求||的值. 【解析】(2)因为=,所以=,所以||=||===. 15.(10分)(2025·滁州高一检测)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,M是AB上靠近A的三等分点,N是BC的中点,Q是DN与MC的交点. (1)用向量,表示,; 【解析】(1)由题意可得 ==-=-,=, 所以=+=-,=+=+. (2)求∠CQN的余弦值. 【解析】(2)由题图可知∠CQN=<,>, 由(1)得·=(-)·(+)=+·-=4, 且||= ==, ||= ===2, 所以cos∠CQN===. 【创新拓展练】 16.(5分)(2025·攀枝花高一检测)若非零向量与满足(+)·=0,·=,则△ABC为 (　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】选D.显然,是与,分别同向的单位向量,由(+)·=0, 得∠BAC的平分线与BC垂直,于是AB=AC, 而·=1×1×cos∠BAC=, 即cos∠BAC=,又∠BAC∈(0,π),因此∠BAC=,所以△ABC是等边三角形. 17.(5分)(2025·重庆高一检测)正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” , 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中,如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示, C 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点,则 · 的最大值为 (　　) A.12　 B.16　 C.18　 D.20 【解析】选C.过C作CE⊥AB交AB延长线于E点,则·=||·||, 已知 6 个正六边形边长均为 2,如图,当C位于D点时,·取得最大值, 此时∠DAE=,AD=3AF=6,AE=9, ·=||·||=9×2=18. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $六　向量的数量积(2) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·西宁高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,且a·b=-3,则(2a+b)·a的 值为(　　) A.1　 B.3　 C.5　 D.7 【解析】选C.因为向量a,b满足|a|=2,且a·b=-3, 所以(2a+b)·a=2a2+b·a=2×22-3=5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)(2025·烟台高一检测)下列说法正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.若a·c=b·c,则a=b C.若a=b,则a·c=b·c D.若a·b>0,则a,b夹角为锐角 【解析】选C.对于A,两个向量模长相等,不一定共线,故A错误; 对于B,若a·c=b·c⇒|a|cos<a,c>=|b|cos<b,c>,不能得到a=b, 比如a,b为任意非零向量,当c=0时满足a·c=b·c,但a,b不一定相等,故B错误; 对于C,若a=b,则有<a,c>=<b,c>,|a|=|b|,所以a·c=b·c,故C正确; 对于D,若a,b同向,即夹角为零角时仍能满足a·b>0,故D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)已知a,b是单位向量,若a⊥b,则(3a-b)·(a+b)= (　　) A.　 B.2　 C.-　 D.-2 【解析】选B.因为a,b是单位向量,且a⊥b,所以a·b=0, 所以(3a-b)·(a+b)=2+2a·b=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)已知平面向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a·(a-b)=20,则向量a与b的夹角为 (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选C.a·(a-b)=a2-a·b=20, 所以a·b=42-20=-4, cos<a,b>===-,而<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)(2025·徐州高一检测)设a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,下列命题正确的是 (　　) A.(a·b)c-(c·a)b=0 B.|a|-|b|<|a-b| C.(b·c)a-(a·c)b与c垂直 D.若a·c=b·c,则a=b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)(2025·莆田高一检测)已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|b|=5, 则|a-b|=______.  【解析】因为向量a,b的夹角为120°,|a|=3,|b|=5, 所以a·b=|a||b|cos 120°=-, 则(a-b)2=a2-2a·b+b2=9-2×(-)+25=49,所以|a-b|=7. 　7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)已知向量a,b的夹角为60°,若(4a-b)·b=-8,|a|=1,则|b|=______.  【解析】因为向量a,b的夹角为60°,|a|=1, 所以a·b=|a||b|cos 60°=|b|, 所以由(4a-b)·b=-8,得4a·b-b2=2|b|-|b|2=-8, |b|2-2|b|-8=0,得|b|=4,或|b|=-2(舍去). 　4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　-6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)已知|a|=2,|b|=4,且|a+b|=2. (1)若(2a-kb)⊥(ka+b),求实数k的值; 【解析】(1)由题意知,|a+b|2=a2+2a·b+b2=12,因为|a|=2,|b|=4,所以a·b=-4, 由(2a-kb)⊥(ka+b),得(2a-kb)·(ka+b)=0,即2ka2+2a·b-k2a·b-kb2=0. 所以8k-8+4k2-16k=0,解得k=1±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求a与3a+b的夹角的余弦值. 【解析】(2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8,|3a+b|==2, 设a与3a+b的夹角为θ,则cos θ===, 所以a与3a+b的夹角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(2025·威海高一检测)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|c|=3, a·c=-2,a+2b+3c=0,则|b|= (　　) A.　 B. C.2　 D.3 【解析】选A.a+2b+3c=0⇒a+3c=-2b, 等式两边平方得|a|2+6a·c+9|c|2=4|b|2, 因为|a|=1,|c|=3,a·c=-2,化简可得1-2×6+9×9=4|b|2,所以|b|=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=,a·b=1,则|a+b|=_________.  【解析】因为|a|=3,|a-b|=,a·b=1, 则|a-b|2=a2+b2-2a·b=9+|b|2-2=23, 所以|b|=4, 所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=9+2+16=27, 因此,|a+b|=3. 　3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】(1)由已知得|a|=2,|b|=1, 所以a·b=|a||b|cos∠AOB=|a||b|cos =2×1×(-)=-1, 所以a·(a-b)=|a|2-a·b=22-(-1)=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求∠CQN的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(2025·连云港高一检测)在△ABC中,若=a,=b,=c,且(a-b)⊥c,则△ABC的形状是 (　　) A.等边三角形　 B.直角三角形 C.等腰三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选C.因为=a,=b,=c,所以c=-(a+b), 若(a-b)⊥c,则(a-b)·c=-(a-b)·(a+b)=b2-a2=0, 所以|b|=|a|,即||=||,所以△ABC是等腰三角形. 选项 原因 正误 A 不妨设a·b=k1,c·a=k2,则(a·b)c-(c·a)b=k1c-k2b, 由于a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,则(a·b)c-(c·a)b=k1c-k2b不一定为零向量 × B 作=a,=b,则a-b=-=,如图所示: 因为a,b不共线,由三角形三边关系可得||-||<||,即|a|-|b|<|a-b| √ C 易知(b·c)a-(a·c)b为非零向量,则[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)·(a·c)-(a·c)·(b·c)=0, 所以(b·c)a-(a·c)b与c垂直 √ D 若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,所以a=b或(a-b)⊥c × 9.(5分)(2025·淄博高一检测)平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,AC交BD于O, 则·=_______.  【解析】如图所示, ·=(+)·(-) =(||2-||2)=×(22-42)=-6. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·新余高一检测)在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=60°,=2, 则·= (　　) A.3　 B.6　 C.9　 D.12 【解析】选C.根据题意作出图形,如图所示, 因为=2,所以=. 所以=+=+(-)=+, 所以·=·(+)=·+=×6×3×cos 60°+×32=9. 14.(10分)在△AOB中,设向量a=,b=,且|a|=2|b|=2,∠AOB=. (1)求a·(a-b)的值; (2)若=,求||的值. 【解析】(2)因为=,所以=,所以||=||===. 15.(10分)(2025·滁州高一检测)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,M是AB上靠近A的三等 分点,N是BC的中点,Q是DN与MC的交点. (1)用向量,表示,; 【解析】(1)由题意可得 ==-=-,=, 所以=+=-,=+=+ . 【解析】(2)由题图可知∠CQN=<,>, 由(1)得·=(-)·(+)=+·-=4, 且||===, ||====2, 所以cos∠CQN===. 【创新拓展练】 16.(5分)(2025·攀枝花高一检测)若非零向量与满足(+)·=0,·=, 则△ABC为 (　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】选D.显然,是与,分别同向的单位向量,由(+)·=0, 得∠BAC的平分线与BC垂直,于是AB=AC, 而·=1×1×cos∠BAC=, 即cos∠BAC=,又∠BAC∈(0,π),因此∠BAC=,所以△ABC是等边三角形. 17.(5分)(2025·重庆高一检测)正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” , 这种 形状常被用于各种传统装饰和建筑中,如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长 均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示, C 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点, 则 · 的最大值为 (　　) A.12　 B.16　 C.18　 D.20 【解析】选C.过C作CE⊥AB交AB延长线于E点,则·=||·||, 已知 6 个正六边形边长均为 2,如图,当C位于D点时,·取得最大值, 此时∠DAE=,AD=3AF=6,AE=9, ·=||·||=9×2=18. $