2.课时跟踪检测练 04 第6章 四 向量的数乘运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

四　向量的数乘运算 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)“实数λ=0”是“λa=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.当λ=0时,λa=0显然成立, 当λa=0时,此时λ=0不一定成立,例如a=0时λ可取任意实数, 所以“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知向量a,b,那么(2a-4b)+2b=(　　) A.a-2b　 B.a-4b C.a　 D.b 【解析】选C.(2a-4b)+2b=a-2b+2b=a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b方向相同,则实数λ的值 为 (　　) A.1　 B.- C.1或-　 D.1或- 【解析】选A.因为向量λa+b与a+(2λ-1)b方向相同, 所以存在唯一实数k(k>0), 使a+(2λ-1)b=k(λa+b), 因为向量a,b不共线,所以,解得或(舍去). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　1∶1∶2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)化简下列向量: (1)4(a+b)-3(a-b)-8b; 【解析】(1)4(a+b)-3(a-b)-8b=4a+4b-3a+3b-8b=a-b; (2)3(a-2b+c)+4(c-a-b); 【解析】(2)3(a-2b+c)+4(c-a-b)=3a-6b+3c-4a-4b+4c=-a-10b+7c; (3)[(2a+8b)-(4a-2b)]. 【解析】(3)[(2a+8b)-(4a-2b)]=(2a+8b)-(4a-2b)=a+b-a+b=-a+2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)求证:A,G,H三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)(2025·泉州高一检测)在△ABC中,=3,则= (　　) A.+　 B.+ C.+　 D.+ 【解析】选D.如图所示: 由题意得:=+=+=+(-)=+ . 5.(5分)已知a,b是不共线的向量,且=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,则 (　　) A.A,B,D三点共线　 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线　 D.A,C,D三点共线 【解析】选D.因为=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=3a-6b, 若A,B,D三点共线,则=λ,而无解,故A错误; 因为=3a+4b,=-2a-6b, 所以=a-2b, 若A,B,C三点共线,则=μ,而无解,故B错误; 因为=-2a-6b,=2a-4b,所以=+=-10b, 若B,C,D三点共线,则=t,而无解,故C错误; 因为=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b, 所以=a-2b,=3a-6b, 即=,所以A,C,D三点共线,故D正确. 6.(5分)(多选)如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是边BC,CA,AB上的中线,且相交于点G, 则下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.++=0 D.+=2 【解析】选BC.由条件可知G为△ABC的重心, 对于A,由重心的性质可得AG∶GD=2∶1,所以=,故A错误; 对于B,由重心的性质可得BG∶GE=2∶1,所以=,故B正确; 对于D,+=2=2×=3,故D错误; 对于C,因为+=3,所以+++=3,所以++=0,故C正确. 7.(5分)(2025·衡水高一检测)已知点C在线段AB上,且AC=2CB,若向量=λ, 则λ=______.  【解析】如图,由AC=2CB,可得AC=AB,所以=,即λ=. 8.(5分)在△ABC中,D为CB上一点,E为AD的中点,若=+m,则m=_____.  【解析】因为D在CB上,所以存在实数λ,使得=λ+(1-λ),又E为AD的中点, 则==+,由题意,=+m,所以,解得m=. 9.(5分)设O是△ABC内部一点,且+=-2,则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=________.  【解析】设D为AC的中点,如图所示,连接OD,则+=2. 又+=-2,所以=-,即O为BD的中点,则S△AOC=2S△AOD=2S△AOB,S△AOB=S△BOC, 即S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶2. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　　) A.若=+,则点M是BC的中点 B.若=-+,则点M是△ABC的重心 C.若=2-,则点M,B,C三点共线 D.若=,则=+ 【解析】选ACD.对于A,如图所示,根据向量的平行四边形法则,可得+==2, 若=+,可得M为BC的中点,所以A正确; 对于B,若M为△ABC的重心,则满足++=0, 即=--,所以B不正确; 对于C,由=2-,可得-=-,即=, 所以M,B,C三点共线,所以C正确; 对于D,如图所示,由=, 可得=+=+(-)=+,所以D正确. 12.(5分)(多选)(2025·淄博高一检测)如图,在四边形ABCD中,=3,点M满足=2, N是BC的中点.设=a,=b,则下列等式正确的是 (　　) A.=a-b　 B.=a+b C.=-a+b　 D.=a+b 【解析】选BC.对于A,=-=b-a,A错误; 对于B,=+=b+=a+b,B正确; 对于C,=-=+-=+-=+-=-a+b,C正确; 对于D,由B知:=(+)=(a+a+b)=a+b,D错误. 13.(5分)在△ABC中,=,E是线段AD上的动点,设=x+y(x,y∈R), 则2x+3y=______.  【解析】如图所示, 设=λ(0≤λ≤1),则=+=+λ=+λ(+)=+λ(-+) =-λ+λ=(1-λ)+λ=x+y,所以, 所以2x+3y=2. 14.(10分)(2025·蚌埠高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E,H分别是AD,BC的中点, =2,G为DF与BE的交点.记向量=a,=b. (1)试用向量a,b表示,; 【解析】(1)因为在平行四边形ABCD中,E,H分别是AD,BC的中点,=2, 所以=-=-=b-a, =-=-=a-b. (2)若=m+n,求m,n的值; 【解析】(2)由(1)知=b-a,=a-b, 所以=m+n=m(b-a)+n(a-b)=(n-m)a+(m-n)b, 因为=a+b,所以, 解得. 【解析】(3)连接AH,=+=a+b, 设=λ,=μ,则=+=a+λ(b-a)=(1-λ)a+λb, 又=+=b+μ(a-b)=μa+(1-μ)b, 所以,解得, 所以=a+b,所以=(a+b)=, 所以∥,即A,G,H三点共线. 15.(10分)如图,在△ABC中,点P满足=2,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB, AC分别交于点E,F. (1)若=,求的值; 【解析】(1)因为=2,所以=+=+=+(+)=+, 因为O是线段AP的中点, 所以==+. 因为=,设=m,=n,因为=+=+m=+m(-) =(1-m)+m=(1-m)+mn, 所以,解得, 所以EB=AB,所以=. (2)若=λ(λ>0),=μ(μ>0),求+的最小值. 【解析】(2)因为=+=+λ=(1+λ),同理可得=(1+μ), 由(1)可知,==+,所以=+, 因为E,O,F三点共线,所以设=p(p∈R),则=+=+p=+p(-) =(1-p)+p,所以, 所以+=(+)(2λ+μ)=(3++)≥(3+2)=, 当且仅当μ=λ,即μ=3-3,λ=时取等号,所以+的最小值为. 【创新拓展练】 16.(5分)(多选)八卦是中国文化中的哲学概念,其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH, 其中OA=1,则下列结论正确的是 (　　) A.-+=0 B.+=- C.+-= D.+++++++=0 【解析】选BCD.对于A,-+=++=+=≠0,A错误; 对于B,由正八边形性质知:OA⊥OC,OA=OC=OB=1,连接AC,设OB交AC于点M, 因为∠AOB=∠COB=45°,所以M为AC的中点, 故+=2,因为OM=AC=,所以=,所以+=, 又=-,所以+=-,B正确; 对于C,+-=++=+, 由正八边形性质知:AG∥CE且AG=CE,即=,所以+-=+=-=, 又=,所以+-=,C正确; 对于D,+++++++ =(+)+(+)+(+)+(+)=0,D正确. 17.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,=2,若=x+y, 则3x+6y= (　　) A.　 B.- C.-6　 D.6 【解析】选D.=+=+(+)=++=+-=+, 因为=x+y, 所以x+y=+, 所以所以3x+6y=6. $ 四　向量的数乘运算 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)“实数λ=0”是“λa=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.当λ=0时,λa=0显然成立, 当λa=0时,此时λ=0不一定成立,例如a=0时λ可取任意实数, 所以“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件. 2.(5分)已知向量a,b,那么(2a-4b)+2b=(　　) A.a-2b　 B.a-4b C.a　 D.b 【解析】选C.(2a-4b)+2b=a-2b+2b=a. 3.(5分)(2025·泉州高一检测)在△ABC中,=3,则= (　　) A.+　 B.+ C.+　 D.+ 【解析】选D.如图所示: 由题意得:=+=+=+(-)=+. 4.(5分)已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b方向相同,则实数λ的值为 (　　) A.1　 B.- C.1或-　 D.1或- 【解析】选A.因为向量λa+b与a+(2λ-1)b方向相同,所以存在唯一实数k(k>0), 使a+(2λ-1)b=k(λa+b), 因为向量a,b不共线, 所以,解得或(舍去). 5.(5分)已知a,b是不共线的向量,且=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,则 (　　) A.A,B,D三点共线　 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线　 D.A,C,D三点共线 【解析】选D.因为=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=3a-6b, 若A,B,D三点共线,则=λ,而无解,故A错误; 因为=3a+4b,=-2a-6b, 所以=a-2b, 若A,B,C三点共线,则=μ, 而无解,故B错误; 因为=-2a-6b,=2a-4b, 所以=+=-10b, 若B,C,D三点共线,则=t, 而无解,故C错误; 因为=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b, 所以=a-2b,=3a-6b, 即=,所以A,C,D三点共线,故D正确. 6.(5分)(多选)如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是边BC,CA,AB上的中线,且相交于点G,则下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.++=0 D.+=2 【解析】选BC.由条件可知G为△ABC的重心, 对于A,由重心的性质可得AG∶GD=2∶1,所以=,故A错误; 对于B,由重心的性质可得BG∶GE=2∶1,所以=,故B正确; 对于D,+=2=2×=3,故D错误; 对于C,因为+=3,所以+++=3,所以++=0,故C正确. 7.(5分)(2025·衡水高一检测)已知点C在线段AB上,且AC=2CB,若向量=λ,则λ=　　.  【解析】如图,由AC=2CB,可得AC=AB,所以=,即λ=. 8.(5分)在△ABC中,D为CB上一点,E为AD的中点,若=+m,则m=　　.  【解析】因为D在CB上,所以存在实数λ,使得=λ+(1-λ),又E为AD的中点,则==+,由题意,=+m,所以,解得m=. 9.(5分)设O是△ABC内部一点,且+=-2,则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=　1∶1∶2　.  【解析】设D为AC的中点,如图所示,连接OD,则+=2. 又+=-2,所以=-,即O为BD的中点,则S△AOC=2S△AOD=2S△AOB,S△AOB=S△BOC, 即S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶2. 10.(10分)化简下列向量: (1)4(a+b)-3(a-b)-8b; 【解析】(1)4(a+b)-3(a-b)-8b=4a+4b-3a+3b-8b=a-b; (2)3(a-2b+c)+4(c-a-b); 【解析】(2)3(a-2b+c)+4(c-a-b)=3a-6b+3c-4a-4b+4c=-a-10b+7c; (3)[(2a+8b)-(4a-2b)]. 【解析】(3)[(2a+8b)-(4a-2b)]=(2a+8b)-(4a-2b)=a+b-a+b=-a+2b. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　　) A.若=+,则点M是BC的中点 B.若=-+,则点M是△ABC的重心 C.若=2-,则点M,B,C三点共线 D.若=,则=+ 【解析】选ACD.对于A,如图所示,根据向量的平行四边形法则,可得+==2, 若=+,可得M为BC的中点,所以A正确; 对于B,若M为△ABC的重心,则满足++=0, 即=--,所以B不正确; 对于C,由=2-,可得-=-,即=, 所以M,B,C三点共线,所以C正确; 对于D,如图所示,由=, 可得=+=+(-)=+,所以D正确. 12.(5分)(多选)(2025·淄博高一检测)如图,在四边形ABCD中,=3,点M满足=2,N是BC的中点.设=a,=b,则下列等式正确的是 (　　) A.=a-b　 B.=a+b C.=-a+b　 D.=a+b 【解析】选BC.对于A,=-=b-a,A错误; 对于B,=+=b+=a+b,B正确; 对于C,=-=+-=+-=+-=-a+b,C正确; 对于D,由B知:=(+)=(a+a+b)=a+b,D错误. 13.(5分)在△ABC中,=,E是线段AD上的动点,设=x+y(x,y∈R),则2x+3y=　2　.  【解析】如图所示, 设=λ(0≤λ≤1),则=+=+λ=+λ(+)=+λ(-+)=-λ+λ=(1-λ)+λ=x+y,所以, 所以2x+3y=2. 14.(10分)(2025·蚌埠高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E,H分别是AD,BC的中点,=2,G为DF与BE的交点.记向量=a,=b. (1)试用向量a,b表示,; 【解析】(1)因为在平行四边形ABCD中,E,H分别是AD,BC的中点,=2, 所以=-=-=b-a, =-=-=a-b. (2)若=m+n,求m,n的值; 【解析】(2)由(1)知=b-a,=a-b, 所以=m+n=m(b-a)+n(a-b)=(n-m)a+(m-n)b, 因为=a+b,所以, 解得. (3)求证:A,G,H三点共线. 【解析】(3)连接AH,=+=a+b, 设=λ,=μ,则=+=a+λ(b-a)=(1-λ)a+λb,又=+=b+μ(a-b)=μa+(1-μ)b, 所以,解得, 所以=a+b, 所以=(a+b)=, 所以∥,即A,G,H三点共线. 15.(10分)如图,在△ABC中,点P满足=2,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F. (1)若=,求的值; 【解析】(1)因为=2,所以=+=+=+(+)=+,因为O是线段AP的中点, 所以==+. 因为=,设=m,=n,因为=+=+m=+m(-)=(1-m)+m=(1-m)+mn, 所以,解得, 所以EB=AB,所以=. (2)若=λ(λ>0),=μ(μ>0),求+的最小值. 【解析】(2)因为=+=+λ=(1+λ),同理可得=(1+μ), 由(1)可知,==+,所以=+, 因为E,O,F三点共线,所以设=p(p∈R),则=+=+p=+p(-)=(1-p)+p,所以, 所以+=(+)(2λ+μ)=(3++)≥(3+2)=, 当且仅当μ=λ,即μ=3-3,λ=时取等号, 所以+的最小值为. 【创新拓展练】 16.(5分)(多选)八卦是中国文化中的哲学概念,其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则下列结论正确的是 (　　) A.-+=0 B.+=- C.+-= D.+++++++=0 【解析】选BCD.对于A,-+=++=+=≠0,A错误; 对于B,由正八边形性质知:OA⊥OC,OA=OC=OB=1,连接AC,设OB交AC于点M, 因为∠AOB=∠COB=45°,所以M为AC的中点, 故+=2,因为OM=AC=,所以=,所以+=, 又=-,所以+=-,B正确; 对于C,+-=++=+, 由正八边形性质知:AG∥CE且AG=CE,即=,所以+-=+=-=,又=,所以+-=,C正确; 对于D,+++++++=(+)+(+)+(+)+(+)=0,D正确. 17.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,=2,若=x+y,则3x+6y= (　　) A.　 B.- C.-6　 D.6 【解析】选D.=+=+(+)=++=+-=+, 因为=x+y, 所以x+y=+, 所以所以3x+6y=6. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $