2.课时跟踪检测练 03 第6章 三 向量的减法运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三　向量的减法运算 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)在平行四边形ABCD中,-= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.由平面向量减法的三角形法则,可得-=. 2.(5分)已知A,B,C,D为同一平面内的四点,则-+= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.-+=++=+=. 3.(5分)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.若四边形ABCD为平行四边形,则= B.在△ABC中,D是BC上一点,则+-= C.互为相反向量的两个向量模相等 D.++-=0 【解析】选ACD.对于A:若四边形ABCD为平行四边形,则=,故A正确; 对于B:因为+-=-=,故B错误; 对于C:模长相等,方向相反的向量互为相反向量,所以互为相反向量的两个向量模相等,故C正确; 对于D:因为++-=+=0,故D正确. 4.(5分)化简向量++-= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.++- =++- =-=. 5.(5分)(2025·成都高一检测)下列各式中不能化简为的是 (　　) A.+(+) B.+- C.-+ D.(+)+(-) 【解析】选B.A:+(+)=++=+=,不符合题意; B:因为+-=-,=+, 若+-=,即-=+,可得=0,即点B与点Q重合,显然这不一定成立,所以+-与不一定相等,符合题意; C:-+=+-=,不符合题意; D:(+)+(-)=(+)+(+)=,不符合题意. 6.(5分)(2025·菏泽高一检测)如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则可以表示为 (　　) A.a+b　 B.a-b C.b-a　 D.-a-b 【解析】选D.在平行四边形ABCD中,依题意,=-=-a,而=b, 所以=-=-a-b. 7.(5分)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+=　0　.  【解析】-+=++=+.因为+=0, 所以-+=0. 8.(5分)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|=　4　.  【解析】如图所示,设=a,=b,则||=|a-b|, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, 则||=|a+b|, 由于(+1)2+(-1)2=42, 故||2+||2=||2, 所以△OAB是直角三角形,∠AOB=90°, 从而OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形, 根据矩形的对角线相等得||=||=4, 即|a+b|=4. 9.(5分)若向量a,b满足|a|=2,|b|=3,则|a+b|的最小值为　1　,|a-b|的最大值为　5　.  【解析】当a,b反向时,|a+b|有最小值,最小值为3-2=1;当a,b反向时,|a-b|有最大值,最大值为3+2=5. 10.(10分)化简:(1)-+; 【解析】(1)方法一:-+=+=0. 方法二:-+=+-=-=0. (2)++--. 【解析】(2)++--=++++=(+)+(+)+=++=++=0+=. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·无锡高一检测)如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 (　　) A.a+b-c　 B.a-b+c C.b-a+c　 D.b-a-c 【解析】选C.由题图可知,=+=-+=b-a+c. 12.(5分)设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为 (　　) A.向东南走6 km B.向东南走3 km C.向西南走6 km D.向西南走3 km 【解析】选C.如图,分别作出=a,=b+b, 则利用向量加法的交换律可得b-a+b=b+b-a,故=b-a+b.易知△OAB为等腰直角三角形,故∠OAB=45°,且||=6 km, 于是b-a+b所表示的意义为向西南走6 km. 13.(5分)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,则∠AOB=　30°　.  【解析】构造如图所示的平行四边形,=a,=a+b, 则=b,=a-b,则△AOC为正三角形, 故∠COA=60°, 则平行四边形OABC为菱形, 故OB平分∠COA,则∠AOB=30°. 14.(10分)在平行四边形ABCD中,已知=a,=b,=c,且|a+b|=|a-b|,|a|=6,|b|=2.求|a-b-c|. 【解析】a+b=,a-b=,|a+b|=|a-b|,故||=||, 故平行四边形ABCD是矩形,|a|=6,|b|=2,||=||==4, a-b-c=--=-+=+=2, |a-b-c|=8. 15.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点. (1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形?说明理由. 【解析】(1)由条件知||=|++|=||, 即AB=AD,又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形. (2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量. 【解析】(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知=. 所以--=--=-(+)=-=, 作出向量如图所示. 【创新拓展练】 16.(5分)已知向量a,b,c,满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,记|c|的最大值为M,最小值为m,则M+m= (　　) A.2　 B.2　 C.　 D.1 【解析】选A.在△OAB中,设a=,b=,则a-b=-=,因为|a|=|b|=|a-b|=1,即|OA|=|OB|=|AB|=1,所以△OAB为等边三角形,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,设OD,AB交于点E, 可得|OD|=2|OE|=2=, 则a+b=+=, 因为|a+b-c|=|-c|=1,取c的起点为O, 可知c的终点C的轨迹为以点D为圆心,半径为r=1的圆, 如图,当点C为OD的延长线与圆D的交点C2时,|c|的最大值为M=|OD|+r=+1; 当点C为线段OD与圆D的交点C1时,|c|的最小值为m=|OD|-r=-1, 所以M+m=(+1)+(-1)=2. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $三　向量的减法运算 (时间:45分钟　分值:95分) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 8.(5分)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4, 则|a+b|=______.  　4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 9.(5分)若向量a,b满足|a|=2,|b|=3,则|a+b|的最小值为______,|a-b|的最大值 为______.  【解析】当a,b反向时,|a+b|有最小值,最小值为3-2=1;当a,b反向时,|a-b|有 最大值,最大值为3+2=5. 　1　 　5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 12.(5分)设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为 (　　) A.向东南走6 km B.向东南走3 km C.向西南走6 km D.向西南走3 km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 15.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)已知向量a,b,c,满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,记|c|的最大值为M,最小值为m,则M+m=(　　) A.2　 B.2　 C.　 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【基础全面练】 1.(5分)在平行四边形ABCD中,-= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.由平面向量减法的三角形法则,可得-=. 2.(5分)已知A,B,C,D为同一平面内的四点,则-+= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.-+=++=+= . 3.(5分)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.若四边形ABCD为平行四边形,则= B.在△ABC中,D是BC上一点,则+-= C.互为相反向量的两个向量模相等 D.++-=0 【解析】选ACD.对于A:若四边形ABCD为平行四边形,则=,故A正确; 对于B:因为+-=-=,故B错误; 对于C:模长相等,方向相反的向量互为相反向量,所以互为相反向量的两个向量模相等, 故C正确; 对于D:因为++-=+=0,故D正确. 4.(5分)化简向量++-= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.++- =++- =-=. 5.(5分)(2025·成都高一检测)下列各式中不能化简为的是 (　　) A.+(+) B.+- C.-+ D.(+)+(-) 【解析】选B.A:+(+)=++=+=,不符合题意; B:因为+-=-,=+, 若+-=,即-=+,可得=0,即点B与点Q重合,显然这不一定 成立,所以+-与不一定相等,符合题意; C:-+=+-=,不符合题意; D:(+)+(-)=(+)+(+)=,不符合题意. 6.(5分)(2025·菏泽高一检测)如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O, 且=a,=b,则可以表示为 (　　) A.a+b　 B.a-b C.b-a　 D.-a-b 【解析】选D.在平行四边形ABCD中,依题意,=-=-a,而=b, 所以=-=-a-b. 7.(5分)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+=____.  【解析】-+=++=+.因为+=0, 所以-+=0. 【解析】如图所示,设=a,=b,则||=|a-b|, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, 则||=|a+b|, 由于(+1)2+(-1)2=42, 故||2+||2=||2, 所以△OAB是直角三角形,∠AOB=90°, 从而OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形, 根据矩形的对角线相等得||=||=4, 即|a+b|=4. 10.(10分)化简:(1)-+; 【解析】(1)方法一:-+=+=0. 方法二:-+=+-=-=0. (2)++--. 【解析】(2)++--=++++=(+)+(+)+ =++=++=0+=. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·无锡高一检测)如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 (　　) A.a+b-c　 B.a-b+c C.b-a+c　 D.b-a-c 【解析】选C.由题图可知,=+=-+=b-a+c. 【解析】选C.如图,分别作出=a,=b+b, 则利用向量加法的交换律可得b-a+b=b+b-a,故=b-a+b.易知△OAB为等腰直角三角形, 故∠OAB=45°,且||=6 km, 于是b-a+b所表示的意义为向西南走6 km. 13.(5分)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,则∠AOB=______.  【解析】构造如图所示的平行四边形,=a,=a+b, 则=b,=a-b,则△AOC为正三角形, 故∠COA=60°, 则平行四边形OABC为菱形, 故OB平分∠COA,则∠AOB=30°. 14.(10分)在平行四边形ABCD中,已知=a,=b,=c,且|a+b|=|a-b|,|a|=6, |b|=2.求|a-b-c|. 【解析】a+b=,a-b=,|a+b|=|a-b|,故||=||, 故平行四边形ABCD是矩形,|a|=6,|b|=2,||=||==4, a-b-c=--=-+=+=2, |a-b-c|=8. (1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形?说明理由. 【解析】(1)由条件知||=|++|=||, 即AB=AD,又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形. (2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量. 【解析】(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知=. 所以--=--=-(+)=-=, 作出向量如图所示. 【解析】选A.在△OAB中,设a=,b=,则a-b=-=,因为|a|=|b|=|a-b|=1, 即|OA|=|OB|=|AB|=1,所以△OAB为等边三角形,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB, 设OD,AB交于点E, 圆学子梦想 铸金字品牌 可得|OD|=2|OE|=2=, 则a+b=+=, 因为|a+b-c|=|-c|=1,取c的起点为O, 可知c的终点C的轨迹为以点D为圆心,半径为r=1的圆, 如图,当点C为OD的延长线与圆D的交点C2时,|c|的最大值为M=|OD|+r=+1; 当点C为线段OD与圆D的交点C1时,|c|的最小值为m=|OD|-r=-1, 所以M+m=(+1)+(-1)=2. - 1 - $