2.课时跟踪检测练 02 第6章 二 向量的加法运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二　向量的加法运算 (时间:45分钟　分值:95分) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 3.(5分)a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 (　　) A.a∥b,且a与b方向相同 B.a,b是共线向量且方向相反 C.a=b D.a,b无论什么关系均可 【解析】选A.当两个非零向量a,b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相 同,且|a+b|<|a|+|b|;当两个非零向量a,b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相 同,且|a+b|=|a|+|b|;当两个非零向量a,b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方 向相同,且|a+b|=|b|-|a|,所以对于非零向量a,b,且|a+b|=|a|+|b|,则a∥b,且a 与b方向相同. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 6.(5分)若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向正北方向航行(1+)km D.向正东方向航行(1+)km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选B.如图, 易知tan α==,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.又|a+b|=2 km, 所以向量a+b表示向北偏东30°方向航行2 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 10.(10分)如图,已知向量a,b,用向量加法的三角形法则作出向量a+b. (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2) (3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 　120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 15.(10分)有一条东西向的小河,一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行的速度的大小为15 km/h,方向为北偏西30°,河水的速度为向东7.5 km/h,求小船实际航行速度的大小与方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 又∠ABC=60°,所以△BCE是等边三角形. 在△BCE中,AC是△BCE的中线,所以AC⊥BE,所以∠BAC=90°. 在Rt△ABC中,AC=BCsin 60°=15×= km/h. 所以小船实际航行的速度的大小是 km/h,方向与河岸垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【基础全面练】 1.(5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,则向量+= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.因为在平行四边形ABCD中,=,所以+=+=. 2.(5分)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.由题图易知,+=. 4.(5分)向量(+)+(+)+化简后等于 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.(+)+(+)+=(+)+(++)= . 5.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,++= (　　) A.0　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.++=++=+=+= . 7.(5分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,则|+|=_______.  【解析】如图所示,设菱形对角线交点为O,+=+=, 因为∠ABC=120°,所以∠BAD=60°, 所以△ABD为等边三角形, 又AC⊥BD,AB=2,所以OB=1, 在Rt△AOB中,||==, 所以|+|=||=2||=2. 8.(5分)化简:++++=_______.  【解析】++++=++++=(+)+(+)=+=0. 9.(5分)在矩形ABCD中,||=4,||=2,则|++|为_______.  【解析】因为+=,所以++的长度为的模的2倍. 又||==2,所以|++|=4. 【解析】(1)作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量. 【解析】(2)作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量. 【解析】(3)作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)已知△ABC是正三角形,则 (　　) A.|+|=|+| B.|+|=|+| C.|+|=|+| D.|++|=|++| 【解析】选ACD.对于A,因为|+|=||,|+|=||=||, 所以|+|=|+|,故正确; 对于B,因为|+|=||,|+|=2||=||(D为AC的中点),故错误; 对于C,因为|+|=2||=||(E为BC的中点), |+|=2||=||(F为AB的中点), 所以|+|=|+|,故正确; 对于D,因为|++|=|0|=0,|++|=|0|=0, 所以|++|=|++|,故正确. 12.(5分)已知O是△ABC所在平面内一点,且+=,那么 (　　) A.点O在△ABC的内部 B.点O在△ABC的边AB上 C.点O在边AB所在的直线上 D.点O在△ABC的外部 【解析】选D.因为+=,所以四边形OACB为平行四边形. 从而点O在△ABC的外部. 13.(5分)如图,在四边形ABCD中,DA=DB=DC,且+=,则∠ABC=_______.  【解析】因为+=,所以由向量加法的平行四边形法则可知四边形ABCD是平行四 边形.又因为DA=DB=DC,所以四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°. 14.(10分)如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且+=0.求证:+=+. 【证明】因为=+,=+, 所以+=+++. 又因为+=0,所以+=+. 【解析】如图,表示水流的速度,表示小船的速度. 由已知得||=7.5 km/h,||=15 km/h,∠BAD=120°, 以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则表示小船实际航行的速度,||=||=15 km/h, ∠ABC=60°,延长BA到点E,使AE=AB,连接CE,则BE=BC. 【创新拓展练】 16.(5分)如图,已知风机的每个叶片的长度为20米,每两个叶片之间的夹角相同,风机塔(杆)的 长度为60米,叶片随风转动,假设叶片与风机塔在同一平面内,如图所示,则|++|的 最小值为 (　　) A.40米　 B.20米 C.20米　 D.80米 圆学子梦想 铸金字品牌 【解析】选A.由题知,++=0,即+=,则++=,则当叶片旋转 到最低点时,||最小,即|++|最小,最小值为60-20=40(米). - 1 - $ 二　向量的加法运算 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,则向量+= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.因为在平行四边形ABCD中,=,所以+=+=. 2.(5分)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.由题图易知,+=. 3.(5分)a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 (　　) A.a∥b,且a与b方向相同 B.a,b是共线向量且方向相反 C.a=b D.a,b无论什么关系均可 【解析】选A.当两个非零向量a,b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|;当两个非零向量a,b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同,且|a+b|=|a|+|b|;当两个非零向量a,b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|,所以对于非零向量a,b,且|a+b|=|a|+|b|,则a∥b,且a与b方向相同. 4.(5分)向量(+)+(+)+化简后等于 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.(+)+(+)+=(+)+(++)=. 5.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,++= (　　) A.0　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.++=++=+=+=. 6.(5分)若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示 (　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向正北方向航行(1+)km D.向正东方向航行(1+)km 【解析】选B.如图, 易知tan α==,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.又|a+b|=2 km,所以向量a+b表示向北偏东30°方向航行2 km. 7.(5分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,则|+|=　2　.  【解析】如图所示,设菱形对角线交点为O,+=+=, 因为∠ABC=120°,所以∠BAD=60°, 所以△ABD为等边三角形, 又AC⊥BD,AB=2,所以OB=1, 在Rt△AOB中,||==, 所以|+|=||=2||=2. 8.(5分)化简:++++=　 0　.  【解析】++++=++++=(+)+(+)=+=0. 9.(5分)在矩形ABCD中,||=4,||=2,则|++|为　4　.  【解析】因为+=,所以++的长度为的模的2倍. 又||==2,所以|++|=4. 10.(10分)如图,已知向量a,b,用向量加法的三角形法则作出向量a+b. (1) 【解析】(1)作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量. (2) 【解析】(2)作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量. (3) 【解析】(3)作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)已知△ABC是正三角形,则 (　　) A.|+|=|+| B.|+|=|+| C.|+|=|+| D.|++|=|++| 【解析】选ACD.对于A,因为|+|=||,|+|=||=||,所以|+|=|+|,故正确; 对于B,因为|+|=||,|+|=2||=||(D为AC的中点),故错误; 对于C,因为|+|=2||=||(E为BC的中点),|+|=2||=||(F为AB的中点), 所以|+|=|+|,故正确; 对于D,因为|++|=|0|=0,|++|=|0|=0,所以|++|=|++|,故正确. 12.(5分)已知O是△ABC所在平面内一点,且+=,那么 (　　) A.点O在△ABC的内部 B.点O在△ABC的边AB上 C.点O在边AB所在的直线上 D.点O在△ABC的外部 【解析】选D.因为+=,所以四边形OACB为平行四边形.从而点O在△ABC的外部. 13.(5分)如图,在四边形ABCD中,DA=DB=DC,且+=,则∠ABC=　120°　.  【解析】因为+=,所以由向量加法的平行四边形法则可知四边形ABCD是平行四边形.又因为DA=DB=DC,所以四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°. 14.(10分)如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且+=0.求证:+=+. 【证明】因为=+,=+, 所以+=+++. 又因为+=0,所以+=+. 15.(10分)有一条东西向的小河,一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行的速度的大小为15 km/h,方向为北偏西30°,河水的速度为向东7.5 km/h,求小船实际航行速度的大小与方向. 【解析】如图,表示水流的速度,表示小船的速度. 由已知得||=7.5 km/h,||=15 km/h,∠BAD=120°, 以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则表示小船实际航行的速度,||=||=15 km/h, ∠ABC=60°,延长BA到点E,使AE=AB,连接CE,则BE=BC. 又∠ABC=60°,所以△BCE是等边三角形. 在△BCE中,AC是△BCE的中线,所以AC⊥BE,所以∠BAC=90°. 在Rt△ABC中,AC=BCsin 60°=15×= km/h. 所以小船实际航行的速度的大小是 km/h,方向与河岸垂直. 【创新拓展练】 16.(5分)如图,已知风机的每个叶片的长度为20米,每两个叶片之间的夹角相同,风机塔(杆)的长度为60米,叶片随风转动,假设叶片与风机塔在同一平面内,如图所示,则|++|的最小值为 (　　) A.40米　 B.20米 C.20米　 D.80米 【解析】选A.由题知,++=0,即+=,则++=,则当叶片旋转到最低点时,||最小,即|++|最小,最小值为60-20=40(米). - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $