2.课时跟踪检测练 01 第6章 一 平面向量的概念(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

课时过程性评价 第六章　平面向量及其应用 一　平面向量的概念 (时间:45分钟　分值:105分) 【基础全面练】 1.(5分)下列结论正确的是 (　　) A.温度、速度、位移、功这些物理量是向量 B.零向量没有方向 C.向量的模一定是正数 D.非零向量的单位向量有两个 【解析】选D.对于A,温度与功没有方向,不是向量,故A错误, 对于B,零向量的方向是任意的,故B错误, 对于C,零向量的模为0,不是正数,故C错误, 对于D,非零向量的单位向量的方向有两个,故D正确. 2.(5分)下列说法正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b B.共线向量一定是相等向量 C.方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 【解析】选C.对于A,因为|a|=|b|只是向量的模相等,方向不一定相同,故A错误; 对于B,C,共线向量是方向相同或相反的向量,但模的大小不确定,故B错误,C正确; 对于D,两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反,长度不一定相同,故终点不一定相同,故D错误. 3.(5分)设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是 (　　) A.共起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量 【解析】选B.因为点O是正三角形ABC的中心,所以,,是模相等的向量. 4.(5分)下列结论正确的是 (　　) A.单位向量都共线 B.模为0的向量与任意非零向量共线 C.平行向量不一定是共线向量 D.任一向量与它的相反向量不相等 【解析】选B.对A,单位向量模长等于1,但方向不一定一致,故A错误; 对B,模为0的向量即零向量与任意非零向量共线,故B正确; 对C,平行向量即共线向量,故C错误; 对D,零向量与它的相反向量相等,故D错误. 5.(5分)下列结论中,正确的是 (　　) A.零向量的大小为0,没有方向 B.||=|| C.起点相同的单位向量,终点必相同 D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 【解析】选B.对A,零向量既有大小又有方向,故A错误; 对B,与方向相反,长度相等,故B正确; 对C,起点相同的单位向量,终点不一定相同,故C错误; 对D,若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或相反,故D错误. 6.(5分)在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则 (　　) A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 【解析】选D.由=,=,||=||,知四边形ABCD的对角线相互平分且相等,所以四边形ABCD为矩形. 7.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则||=　2　.  【解析】因为正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成,所以||=2. 8.(5分)已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是 　π　.  【解析】由=可知四边形ABCD为平行四边形,由||=||=||可知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°, 菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,令其半径为r,则r=||sin 60°=,所以四边形内切圆的面积S=πr2=π. 9.(5分)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点,则||= 　100　km,||=　 200　km.  【解析】如图所示,汽车从A点出发,经过B点,到达C点,最后停在D点, 易知||=||=100 km,||=200 km, 在四边形ABCD中,=, 所以四边形ABCD为平行四边形, 所以||=||=200 km. 10.(10分)(2025·西宁高一检测)如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点. (1)写出与共线的向量; 【解析】(1)因为E,F分别是AC,AB的中点, 所以EF∥BC.所以与共线的向量有,,,,,,. (2)写出与的模大小相等的向量; 【解析】(2)由(1)知EF∥BC且EF=BC,因为D是BC的中点,所以与的模相等的向量有,,,,. (3)写出与相等的向量. 【解析】(3)与相等的向量有与. 【综合应用练】 11.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列选项错误的是 (　　) A.=　 B.∥ C.||=||　 D.= 【解析】选D.对于A,由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形,故=,故A正确. 对于B,因为AB∥DE,故∥,故B正确. 对于C,由正六边形的性质可得AD=BE, 故||=||,故C正确. 对于D,因为AD,FC交于O,故=不成立,故D错误. 12.(5分)在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则 (　　) A.与共线　 B.与共线 C.与相等　 D.与相等 【解析】选B.由题意知,与不共线,A错误; 因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,故与共线,B正确; 因为CD与AE不平行,所以与不相等,C错误; 因为==-,D错误. 13.(5分)给出下列命题: ①若向量a∥b,b∥c,则a∥c; ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上; ③在菱形ABCD中,一定有=. 其中是真命题的为　②③　.(填序号)  【解析】若b=0,则向量a不一定与向量c平行,故①不正确; 单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点移到同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径长的圆上,故②正确; 在菱形ABCD中,||=||,与方向相同,故=,故③正确. 14.(10分)如图,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中: (1)分别写出与,相等的向量; 【解析】(1)由题意得,=,=. (2)写出与相反的向量; 【解析】(2)由题意得,与相反的向量为,. (3)写出与的模相等的向量. 【解析】(3)由题意得,与的模相等的向量为,,,,,,. 15.(10分)在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量. (1)||=3,点A在点O北偏西45°方向; 【解析】(1)因为||=3,点A在点O北偏西45°方向,所以以O为圆心,3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点. (2)||=2,点B在点O正南方向. 【解析】(2)因为||=2=,点B在点O正南方向,所以以O为圆心,图中OQ为半径画圆,圆弧与OR的交点即为B点. 【创新拓展练】 16.(5分)在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且∠OCB=30°,||=2,则||= (　　) A.1　 B.　 C.　 D.2 【解析】选A.如图,连接AC, 由||=||,得∠ABC=∠OCB=30°. 因为C为半圆上的点,所以∠ACB=90°, 所以||=||=1. 17.(10分)中国象棋中的“馬”走“日”.如图是一个棋盘,当“馬”自点A走一步后的落点可以为点A1,A2或A3,表示该“馬”走一步的向量为,或,它们是相等的向量吗?在图中用向量表示当“馬”在点B处走一步的全部情形. 【解析】,,三个向量的方向不同,不相等,如图,“馬”在点B走一步的向量为,,,如图所示. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $第六章　平面向量及其应用 一　平面向量的概念 (时间:45分钟　分值:105分) 【基础全面练】 1.(5分)下列结论正确的是(　　) A.温度、速度、位移、功这些物理量是向量 B.零向量没有方向 C.向量的模一定是正数 D.非零向量的单位向量有两个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选D.对于A,温度与功没有方向,不是向量,故A错误, 对于B,零向量的方向是任意的,故B错误, 对于C,零向量的模为0,不是正数,故C错误, 对于D,非零向量的单位向量的方向有两个,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)下列说法正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b B.共线向量一定是相等向量 C.方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 【解析】选C.对于A,因为|a|=|b|只是向量的模相等,方向不一定相同,故A错误; 对于B,C,共线向量是方向相同或相反的向量,但模的大小不确定,故B错误,C正确; 对于D,两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反,长度不一定相同,故终点 不一定相同,故D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)下列结论正确的是 (　　) A.单位向量都共线 B.模为0的向量与任意非零向量共线 C.平行向量不一定是共线向量 D.任一向量与它的相反向量不相等 【解析】选B.对A,单位向量模长等于1,但方向不一定一致,故A错误; 对B,模为0的向量即零向量与任意非零向量共线,故B正确; 对C,平行向量即共线向量,故C错误; 对D,零向量与它的相反向量相等,故D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则| |=______. 【解析】因为正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成, 所以| |=2. 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向 西偏北50°方向行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D点,则| |=________km,| |=_________km.  　100　 　 200　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)(2025·西宁高一检测)如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点. (1)写出与 共线的向量; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1),用直尺和圆 规画出下列向量. (1)| |=3,点A在点O北偏西45°方向; 【解析】(1)因为| |=3,点A在点O北偏西45°方向,所以以O为圆心,3为半 径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)| |=2,点B在点O正南方向. 【解析】(2)因为| |=2=,点B在点O正南方向,所以以O为圆 心,图中OQ为半径画圆,圆弧与OR的交点即为B点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是 (　　) A.共起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量 【解析】选B.因为点O是正三角形ABC的中心,所以,,是模相等的向量. 5.(5分)下列结论中,正确的是 (　　) A.零向量的大小为0,没有方向 B.||=|| C.起点相同的单位向量,终点必相同 D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 【解析】选B.对A,零向量既有大小又有方向,故A错误; 对B,与方向相反,长度相等,故B正确; 对C,起点相同的单位向量,终点不一定相同,故C错误; 对D,若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或相反,故D错误. 6.(5分)在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则 (　　) A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 【解析】选D.由=,=,||=||,知四边形ABCD的对角线相互平分且相等,所以四边形ABCD为矩形. 8.(5分)已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是 _______.  【解析】由=可知四边形ABCD为平行四边形,由||=||=||可知四边形ABCD为 菱形,△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°, 菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,令其半径为r,则r=||sin 60°=,所以四边形内 切圆的面积S=πr2=π. 【解析】如图所示,汽车从A点出发,经过B点,到达C点,最后停在D点, 易知||=||=100 km,||=200 km, 在四边形ABCD中,=, 所以四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=200 km. 【解析】(1)因为E,F分别是AC,AB的中点, 所以EF∥BC.所以与共线的向量有,,,,,, . (2)写出与的模大小相等的向量; 【解析】(2)由(1)知EF∥BC且EF=BC,因为D是BC的中点,所以与的模相等的向量有 ,,,, . (3)写出与相等的向量. 【解析】(3)与相等的向量有与 . 【综合应用练】 11.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列选项错误的是 (　　) A.=　 B.∥ C.||=||　 D.= 【解析】选D.对于A,由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形,故=, 故A正确. 对于B,因为AB∥DE,故∥,故B正确. 对于C,由正六边形的性质可得AD=BE, 故||=||,故C正确. 对于D,因为AD,FC交于O,故=不成立,故D错误. 12.(5分)在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则 (　　) A.与共线　 B.与共线 C.与相等　 D.与相等 【解析】选B.由题意知,与不共线,A错误; 因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,故与共线,B正确; 因为CD与AE不平行,所以与不相等,C错误; 因为==-,D错误. 13.(5分)给出下列命题: ①若向量a∥b,b∥c,则a∥c; ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上; ③在菱形ABCD中,一定有=. 其中是真命题的为_________.(填序号)  【解析】若b=0,则向量a不一定与向量c平行,故①不正确; 单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点移到同一点O时,终点都在以O为圆心, 1为半径长的圆上,故②正确; 在菱形ABCD中,||=||,与方向相同,故=,故③正确. 14.(10分)如图,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形. 在图中所示的向量中: (1)分别写出与,相等的向量; 【解析】(1)由题意得,=,=. (2)写出与相反的向量; 【解析】(2)由题意得,与相反的向量为, . (3)写出与的模相等的向量. 【解析】(3)由题意得,与的模相等的向量为,,,,,, . 【创新拓展练】 16.(5分)在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且∠OCB=30°, ||=2,则||= (　　) A.1　 B.　 C.　 D.2 【解析】选A.如图,连接AC, 由||=||,得∠ABC=∠OCB=30°. 因为C为半圆上的点,所以∠ACB=90°, 所以||=||=1. 17.(10分)中国象棋中的“馬”走“日”.如图是一个棋盘,当“馬”自点A走一步后的落点可以为 点A1,A2或A3,表示该“馬”走一步的向量为,或,它们是相等的向量吗?在图中用 向量表示当“馬”在点B处走一步的全部情形. 【解析】,,三个向量的方向不同,不相等,如图,“馬”在点B走一步的向量 为,,,如图所示. $