第10章 易错排查矫正练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

对于B,因为P(A+B)=P(A)十跟踪训练3解：(1)因为(0.004+a+ P(B)-P(AB)--P(AB), 0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所 又0≤P(AB)≤P(A)且0≤P(AB)≤ 以a=0.006, 由所给频率分布直方图可知，50名同学 P(B),则0<P(AB)≤G, 通关时间低于60分钟的频率为(0.004十 所以}≤2-P(AB)≤2，即}≤ 0.006)×10=0.1,据此估计该校同学通 P(A十B)≤，故B正确； 关时间低于60分钟的概率为0.1. (2)样本中同学通关时间位于区间[50， 对于C,因为A与B互斥，所以 60)的有50×0.006×10=3人，即为 P(AB)=0, A1,A2,A3, P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 通关时间位于区间[40,50)的有50× 昌十日一-0叶台放C错误： 0.004×10=2(位)，即为B1,B2, 对于D,记事件A=“抛掷一枚骰子，向 从这5名入样同学中随机抽取2人，所 上的，点数小于3”，事件B=“抛掷一枚骰 有可能的结果共有10种， 子，向上的点数为4”， 分别为{A1,A2},{A1,A3},{A1,B}, 则满足PA-合，P(B)-合，包BCA {A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, 不成立，故D错误； {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}, 故选AB. 所抽取2人的通关时间均位于区间[50， 例3解：(1)由题意可知该环保小组女成 60)的结果有3种，即{A1,A2},{A1,A3}, 员有3人，记为a,b,c;男成员有2人，记 {A2,A},故此2人的通关时间均位于区 为d,e. 从5名成员随机选出3人的情况有abc, 间[50,60)的栀率为P-是-0.3， abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde, 专题2概率与频率 cde,共10种. 例4解：(1)设“甲猜对灯谜”为事件A, 所选的3人中恰有1名男成员的情况有 “乙猜对灯谜”为事件B, abd,abe,acd,ace,bcd,bce,共6种， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事 则所选的3人中恰有1名男成员的概率 p=8=是 件C, (2)所选的3人中至少有2名女成员的 由题意得，PA-品=P(B)=易 情况有abc,abd,abe,acd,ace,bcd,bce, 2 ，且事件A,B相互独立， 共7种， 则所选的3人中至少有2名女成员的概 P(C)=P(AB+AB)=P(AB)+ *P-品 P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B) 古典概型的核率求解步骤 名 1.阅读题目，判断试验是否是古典概型 =3×(1-号)+(1-多)×号=3× 2.计算样本空间中的样本点个数n. 点 3.计算所求事件A包含的样本点个数k, 4.计算所求事件A的概率P(A)=飞， n 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的 197 瓶率为是 百分位数位于区间70,80)内 (2)设“丙猜对灯谜”为事件D, 设第64百分位数为70十x,剥后 “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有 0.64-0.28=0.75,得x=7.5. 0.48 猜对”为事件E, 则由题意，P(E)=P(ABD)= 所以第64百分位数估计为77.5分. P(A)P(B)P(D) (2)由直方图知，A等级的连锁店有25X =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(D)] 0.08=2家，记为a,b, B等级的连锁店有25×0.16=4，记为 =(1-)(1-)(1-0)=号× c,d,e,f. 1-0)-1-器， 从这6家连锁店中任选2家，有 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b, 解得n=10. c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),（c,e), 利用对立事件的概率公式解题的思路 (c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共有15种 1.当对立事件A,B中一个事件的概率易 选法，则n(2)=15 求，另一个事件的概率不易求时，直接计 算符合条件的概率较繁琐，可先间接地 设事件E=“至少抽到1家A等级”，事 计算其对立事件的概率，再由公式 件E包含的样本点有 P(A)+P(B)=1,求出符合条件的事件 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b, 的概率. c),(b,d),(b,e),(b,f),共9个，即n(E) 2.应用对立事件的概率公式时，一定要分 =9. 清事件和其对立事件到底是什么，该公 式常用于“至多”“至少”型问题的求解， 所以P()一品=号即玉少热到1 师 3.求复杂事件的概率的两种方法 3 点 (1)将所求事件转化为几个彼此互斥的 家A等级的概率为行 事件的和事件，一般情况下，当一个事件 例5解：利用计算器或计算机生成0到9 是多个事件的和事件时，要用到互斥事 之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4， 件的概率加法公式的推广，即P(A1十 5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这 A2+…+A.)=P(A1)+P(A2)+·+ 样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采 P(A.). 用三局两胜制，所以每3个随机数作为 (2)若将一个较复杂的事件转化为几个 互斥事件的和事件分类太多，而其对立 一组.例如，产生30组随机数： 事件的分类较少时，可考虑利用对立事 034743738 636964736614 件的概率公式，即“正难则反”.它常用来 698637162332616804 560 求“至少”或“至多”型事件的概率 111410959774246 762 428 跟踪训练4解：(1)直方图中从左至右第 114572042533237322707 一、三、四个小矩形的面积分别为0.28， 360751 0.16,0.08, 就相当于做了30次试验.如果恰有2个 则第二个小矩形的面积为 或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜， 1-0.28-0.16-0.08=0.48. 它们分别是738,636,964,736,698， 因为0.28十0.48=0.76>0.64，则第64 637,616,959,774,762,707,共11个.所 198 以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为 00.367. 求解概率模拟问题的注意点 1.选择适当的替代物，因为替代物的选取 是否合理决定了试验结果的可信度，因 此在用替代物模拟试验中，要求必须在 相同条件下进行 师点 2.用计算机（器）模拟试验时对随机数范围 的确定.例如，有20张大小相同的卡片， 分别写有1~20的数，从中随机抽取一 张，求结果是5的倍数的概率，在这种情 况下，随机数的范围应是1一20内的 整数 跟踪训练5A解析：由题意，该运动员 射击4次恰好命中3次的随机数为 7525,0347,7815,5550,6233,8045, 3661,7424,共8组，则该运动员射击4次 恰好◆中3次的薇率为》-号故选A 易错排查矫正练 易错点1对互斥事件、对立事件理解不到 位致误 1.C解析：A中，A与B是对立事件；B 中，B与C不是互斥事件；C中，A与D 不能同时发生，但是可以同时不发生，是 互斥事件，但不是对立事件；D中，C与 D不是互斥事件 易分 此题易出现对立与互斥混淆的错误. 错析 2.B 解析：掷一枚骰子，记事件A表示事 件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现 4点或5点”， 事件C表示事件“点数不超过3”，事件 D表示事件“，点数大于4”， 对于①，P(A)==合P(B)=名= 日PAB)=名 1 P(AB)=P(A)·P(B), (d,e),(e,A),(e,B),(e,C),(e,d). 事件A与B是独立事件，故①正确； 共20个. 对于②，事件B与事件C不能同时发 其中甲抽中选择题、乙抽中填空题的结 生，.事件B与事件C是互斥事件，故 果有(A,d),(A,e),(B,d),(B,e),(C, ②正确； d),(C,e),共6个. 对于③，事件C与事件D不能同时发 所以甲抽中选择题、乙抽中填空题的概 生，但能同时不发生，是互斥但不对立事 率为P=20=10 63 件，故③错误； 对于④，D口A∩B,故④错误.故选B. 该题易忽略“甲、乙依次抽取”的限制，误认为 “一次抽取两道试题”，导致基本事件数求错.在 本题产生错误的原因在于把“互斥”和“对 易 列举基本事件时，首先要搞清基本事件是否与 立”混淆.要搞清对立事件与互斥事件的联 错 顺序有关，如该题中(A,B)与(B,A)是两个不同 系与区别，这两者的联系与区别主要体现 分 的基本事件，因为“甲选A,乙选B”与“甲选B, 在以下三个方面： 析 乙选A”显然是不同的结果.破解此类问题最有 (1)两事件对立，必定互斥，但互斥不一定 效的方法就是交换次序，看是否对结果造成影 对立； 响，有影响就是“有序”，无影响就是“无序” (2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的 示 概念只适合于两个事件： 5.解：(1)一共可能出现“两枚正面”“两枚 (3)两个事件互斥只表明这两个事件不能 反面”“第一枚正面，第二枚反面”“第一 同时发生，即至多只能发生其中一个，但可 枚反面，第二枚正面”，4种不同的结果 以都不发生；而两个率件对立则表示它们 (2)出现“一枚正面，另一枚反面”的情况 有且仅有一个发生 有2种。 3.解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现 误 本题易将“一正，一反”“一反，一正”两种情 3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4, 区 形错认为“一正，一反”一种情形，在题干中 由题意知这四个事件彼此互斥。 警 若强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”，就 P(AUB)=P(A)+P(A2)+P(A)+ 必须注意领序问题。 PA)-++后+日-号 6.解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表 6 示为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)， 该题容易误以为事件A与事件B是互斥 (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), 错 事件导致错误地使用互斥事件的概率加法 分 (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), 公式求解，从而得到错误的结果 (4,4),基本事件共有16个，其中符合题 易错点2混淆“有序”“无序”致误 意的如划线所示，共有6个.所以P(两张 4 牌点数之和不小于6)=16=8 63 解析：记选择题为A,B,C,填空题 为d,e,则甲、乙两人依次抽取，不同的 易 本题易忽视“顺序性”，其中(1,2)与(2,1) 结果有 是不同的基本寧件，也是互斥事件.对于有 (A,B),(A,C),(A,d),(A,e),(B,A), 分 放回地抽取而出现(1,1)这样重复的事件 析 (B,C),(B,d),(B,e),(C,A),(C,B) 时，基本率件必须看作和顺序有关. (C,d),(C,e),(d,A),(d,B),(d,C),7.解：每次游戏时，所有可能出现的结果如 199 下表： 10.解：任意抛掷两枚骰子，由于骰子质地 y 口 均匀，因此可以看成是等可能事件其 (土，土) (土，口) (土，木) 结果可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…, 口 (口，土) (口，口) (口，木) 6),其中i,j分别表示两枚骰子出现的 木 (木，土) (木，口) (木，木) 点数，共有6×6=36（种）. 共有9种结果，且每种结果出现的可能 (1),点数相同的数组为(i,i)(i=1, 性相同.其中，能组成上下结构的汉字的 2,·,6),共有6种结果，故出现点数相 结果有4种：（土，土）“圭”，（口，口) 可的就率为品一方 “吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆” (2)出现，点数之和为奇数的有(1,2)， 或“杏”，所以小敏获胜的概率为号，小慧获 (1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5), 胜的概率为号，所以这个辩戏对小慧有利。 (3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3), (4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1), 在计算基本事件总数时，如果分不清“有 (6,3),(6,5),共18个 误 序”和“无序”，那么就会出现“重算”或“漏 区 因此点教之和为专数的概率为器=司 算”的错误.突破这一思维障碍的有效方法 警 示 是交换次序，看是否对结果造成影响，有影 (3)点数之和为偶教的概率为1一2=2， 11 响就是“有序”，无影响就是“无序” 利用古典概型的概率公式求解时， 易错点3混淆“等可能性”与“非等可能性” 误 不仅应满足所有的基本事件只有有 8 解析：选出1人的所有可能结果有8 示 区 限个，而且应满足试验的每个基本 事件是等可能发生的. 种，即共有8个基本事件，其中选中女生 的基本事件有3个，故选中女生的概率 小题限时强化练 1.A2.B3.C4.C5.B6.C7.A 利用古典概型的概率公式求解时，不仅应 8.C 9.ACD 10.ACD 11.BC12.3 易 满足基本事件的有限性，还要满足“等可能 性”.该题易出现的问题就是误认为选出的 4 分 13. 14.2品 结果只有两种：男生、女生，所以误认为所 析 求概率为号 大题冲关规范练 1 1.解：(1)由题意，得 9.9 解析：从每个口袋中各取一张卡片， 1 组成62=36种有序卡片对，其中两数之 3mn=24' 和为7的卡片对为(2,5)，(3,4)，(4,3)， 112 (1-m)(1-n)=3 4 (5,2)共4种情况，所以，两数之和为7 m>n, 的概率为P= 41 3691 m= 2 分 解得 …7分 易忽视事件的“等可能性”要求 错 200 (2)设该新同学在社团方面获得校本选 修课学分的分数为i（i=0,1,2,3,4, 5,6), 获得课本选修课学分分数不低于4分为 事件A, 则P=40=×号×-： Pi=5=×日× P(i=6)=×号×号 11 故P(A)=+1+11 12十24十24=6…15分 2.解：(1)甲接下来选择回答B类问题并取 得复赛责格的就率为号×（号+号× 甲接下来选择回答C类问题并取得复赛 资格的概率为2×（合+号×号×号） 13 36’ “所表挺率为号十品-器 …7分 (2)由于甲回答A,B两类问题的概率相 同，故只需考虑ABC,ACB,CAB这三种 回答顺序， 按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率 为号×（号+3×号×2）-2， 按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率 为号×合+2×号×号)=号 按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率 为2×（号+号×号×号）-品 >景品 .按ABC或BAC顺序回答问题取得复 赛资格的概率最大.…15分、第十章概率 易错排查 易错点①对互斥事件对立事件理解不到位致误 1.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的 点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数 是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3 的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是6 或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对 立事件的是( A.A与B B.B与C C.A与D D.C与D 2.掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数 点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事 件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示 事件“点数大于4”，则 ①事件A与B是独立事件 ②事件B与C是互斥事件 ③事件C与D是对立事件 ④DCA∩B, 以上为说法正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 3.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现 1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是 合，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向 上的点数不超过3”，求P(AUB) 126 ·数学· 矫正练 易错点2混淆“有序”“无序”致误 4.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不 同的题目，其中选择题3道，填空题2道. 甲、乙两人依次抽取1道题，则甲抽中选择 题、乙抽中填空题的概率等于 5.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，则 (1)一共可能出现多少种不同的结果？ (2)出现“一枚正面，另一枚反面”的情况有 几种？ 6.一个盒子里有点数分别为1,2,3,4的4张 牌，有放回地连续抽取两次，求“两张牌点数 之和不小于6”的概率. 7.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构 体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天 性.如图所示三个汉字可以看成是轴对称 图形 土口 木 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设 计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别 写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上， 洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张， 若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字 (如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则 小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利？说明 理由. 易错排查矫正练了 易错点3混淆“等可能性”与“非等可能性” 8.从3名女生和5名男生中任选1人去参加 演讲比赛，则选中女生的概率是 9.在两个口袋内，分别装有写着数字0,1,2,3， 4,5的六张卡片，从每个口袋中各取一张卡 片，则两数之和为7的概率是 10.任意掷两枚骰子，计算： (1)出现的点数相同的概率； (2)出现点数之和为奇数的概率； (3)出现点数之和为偶数的概率. ·数学·127