1.导学案 08 第10章 10.2 事件的相互独立性(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.2　事件的相互独立性(2) 【学习目标】 1.能利用事件的相互独立性解决相关的综合问题.(数学运算) 2.能利用相互独立事件的概率解决实际问题.(数学运算、数学建模) 关键能力·师生共研 类型1相互独立事件的综合应用(数学运算) 【典例1】(教材P251例2改编)甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求: (1)2人都射中目标的概率; (2)2人中恰有1人射中目标的概率; (3)2人至少有1人射中目标的概率; (4)2人至多有1人射中目标的概率. 【解析】设A=“甲射击1次,击中目标”,B=“乙射击1次,击中目标”,则A与B,与B,A与,与为相互独立事件. (1)2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72; (2)“2人中恰有1人射中目标”包括“甲射中、乙未射中(事件A 发生)”和“甲未射中、乙射中(事件B发生)”两种情况. 根据题意,事件A 与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(A )+P(B)=P(A)·P()+P()·P(B) =0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9 =0.08+0.18=0.26; (3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况,其概率为 P(AB)+[P(A )+P(B)] =0.72+0.26=0.98; (4)方法一:“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况, 故所求概率为p=P( )+P(A )+P(B) =P()P()+P(A)P()+P()P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28. 方法二:“2人中至多有1人射中”的对立事件是“2人都射中”.故所求概率P=1-P(AB)=1-0.72=0.28. 【总结升华】 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示. (2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 【即学即练】 某篮球场有A,B两个定点投篮位置,每轮投篮按先A后B的顺序各投1次,在A点投中一球得2分,在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p,在B点投中的概率为q,其中0<p<1,0<q<1,且甲在A,B两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为,得2分的概率为. (1)求p,q的值; (2)求甲在两轮投篮后,总得分不低于8分的概率. 【解析】(1)由题意得 解得 (2)每轮投篮结束后,甲得分可能为0,2,3,5. 记甲第一轮投篮得i分为事件Ci(i=0,2,3,5),第二轮投篮得i分为事件Di(i=0,2,3,5),则P(Ci)=P(Di),Ci,Di相互独立, 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E, 则E=C3D5+C5D3+C5D5,且C3D5,C5D3,C5D5彼此互斥. 易得P(C3)=P(D3)=(1-)×=, P(C5)=P(D5)=×=, 所以P(E)=P(C3D5+C5D3+C5D5)=P(C3D5)+P(C5D3)+P(C5D5) =×+×+×=. 所以甲在两轮投篮后,总得分不低于8分的概率为. 类型2统计与事件相互独立性的综合应用(数学抽象) 【典例2】(2025·武汉高一检测)已知A,B两个盒子里分别有a,b个小球,另有足够多的小球备用.重复进行n(a,b≥2n)次如下操作:每次从A,B中随机选取一个盒子,向里面放入1个球或放入2个球,从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的,这n次操作结果均相互独立. (1)若a=9,b=11,求第一次操作后,A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的概率; (2)求完成一次操作后,A,B两个盒子里球的个数之和减少的概率p; (3)求重复进行n次操作后,A,B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率. 【解析】(1)设第i次操作后A,B两个盒子里球的个数分别为ai,bi(i=1,2,…,n), 列举(a1,b1)所有可能的情形: (10,9),(10,10),(11,9),(11,10),(8,12),(8,13),(7,12),(7,13),共8种, 满足a1>b1的有3种情形,所以第一次操作后,A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的概率P=. (2)设a0=a,b0=b,在第i(i=1,2,…,n)次操作后结果有8种等可能的情形, ①当ai=ai-1+1,bi=bi-1-1或ai=ai-1+2,bi=bi-1-2,或ai=ai-1-1,bi=bi-1+1或ai=ai-1-2,bi=bi-1+2时,ai+bi=ai-1+bi-1; ②当ai=ai-1+2,bi=bi-1-1或ai=ai-1-1,bi=bi-1+2时,ai+bi=ai-1+bi-1+1; ③当ai=ai-1-2,bi=bi-1+1或ai=ai-1+1,bi=bi-1-2时,ai+bi=ai-1+bi-1-1. 仅有③中所述2种情形是减少的, 故一次操作后A,B两个盒子里球的个数之和减少的概率为p==. (3)由(2)的讨论知,每一次操作,A,B两个盒子里球的个数之和有3种可能的变化: 增加1个、不变、减少1个,要满足n次操作后,A,B两个盒子里球的个数之和为a+b+n, 即比初始值a+b增加n个,则只可能是每一次操作均增加1个小球. 由(2)知,每次操作小球增加1个的概率为p'==,由于每一次操作结果均独立,n次操作均增加1个的概率为=, 故A,B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率为. 【总结升华】 统计与相互独立事件的综合问题处理方法 (1)用恰当的字母表示题中的事件. (2)根据题设条件,分析事件间的关系. (3)利用公式求出事件的概率. 【即学即练】 根据《国家学生体质健康标准》,高一男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:cm): 立定跳远单项等级 高一男生 高一女生 优秀 250及以上 192及以上 良好 [235,250) [178,192) 及格 [195,235) [148,178) 不及格 195以下 148以下 从某校高一男生和女生中各随机抽取10名同学,将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1 cm): 男生:203　213　220　235　245　240　248　251　260　265 女生:140　162　169　172　184　195　196　196　201　208 (1)分别估计该校高一男生和女生立定跳远单项的优秀率; (2)从该校随机抽取的立定跳远单项成绩优秀的高一女生中随机抽取2人,求恰有1人成绩在200以上,1人成绩在200以下的概率; (3)假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.从该校全体高一女生中随机抽取3人,设“这3人的立定跳远单项既有优秀,又有其他等级”为事件A,“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与B是否相互独立.(结论不要求证明) 【解析】(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为3,获得优秀的女生人数为5, 所以估计该校高一男生立定跳远单项的优秀率为; 估计该校高一女生立定跳远单项的优秀率为=. (2)样本中立定跳远单项等级获得优秀的女生人数为5,从中抽2人共有10种情况, 其中成绩在200以上的有2人,成绩在200以下的有3人, 则恰有1人成绩在200以上,1人成绩在200以下共有2×3=6种情况,则概率为==. (3)A与B相互独立.理由如下: P(A)=3××+3××=, P(B)=1×+3××=, P(AB)=3××=, P(A)·P(B)=×=, 故P(AB)=P(A)·P(B),故A与B相互独立. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $10.2　事件的相互独立性(2) 01 关键能力•师生共研 内容概览 【学习目标】 1.能利用事件的相互独立性解决相关的综合问题.(数学运算) 2.能利用相互独立事件的概率解决实际问题.(数学运算、数学建模) 返回 01 关键能力•师生共研 返回 类型1相互独立事件的综合应用(数学运算) 【典例1】(教材P251例2改编)甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1 次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求: (1)2人都射中目标的概率; (2)2人中恰有1人射中目标的概率; (3)2人至少有1人射中目标的概率; (4)2人至多有1人射中目标的概率. 返回 【解析】设A=“甲射击1次,击中目标”,B=“乙射击1次,击中目标”,则A与B, 与B,A与,与为相互独立事件. (1)2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72; (2)“2人中恰有1人射中目标”包括“甲射中、乙未射中(事件A 发生)”和“甲 未射中、乙射中(事件B发生)”两种情况. 根据题意,事件A 与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事 件的概率乘法公式,所求的概率为P(A )+P(B)=P(A)·P()+P()·P(B) =0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26; 返回 (3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况,其概率 为P(AB)+[P(A )+P(B)]=0.72+0.26=0.98; (4)方法一:“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两 种情况, 故所求概率为p=P( )+P(A )+P(B) =P()P()+P(A)P()+P()P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28. 方法二:“2人中至多有1人射中”的对立事件是“2人都射中”.故所求概率 P=1-P(AB)=1-0.72=0.28. 返回 【总结升华】 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示. (2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列 出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事 件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 返回 【即学即练】 某篮球场有A,B两个定点投篮位置,每轮投篮按先A后B的顺序各投1次,在A 点投中一球得2分,在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p,在 B点投中的概率为q,其中0<p<1,0<q<1,且甲在A,B两点投篮的结果互不影 响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为,得2分的概率为. (1)求p,q的值; (2)求甲在两轮投篮后,总得分不低于8分的概率. 返回 【解析】(1)由题意得解得 (2)每轮投篮结束后,甲得分可能为0,2,3,5. 记甲第一轮投篮得i分为事件Ci(i=0,2,3,5),第二轮投篮得i分为事件Di(i=0,2,3,5), 则P(Ci)=P(Di),Ci,Di相互独立, 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E, 则E=C3D5+C5D3+C5D5,且C3D5,C5D3,C5D5彼此互斥. 易得P(C3)=P(D3)=(1-)×=,P(C5)=P(D5)=×=, 所以P(E)=P(C3D5+C5D3+C5D5)=P(C3D5)+P(C5D3)+P(C5D5)=×+×+×=. 所以甲在两轮投篮后,总得分不低于8分的概率为. 返回 类型2统计与事件相互独立性的综合应用(数学抽象) 【典例2】(2025·武汉高一检测)已知A,B两个盒子里分别有a,b个小球,另有足够 多的小球备用.重复进行n(a,b≥2n)次如下操作:每次从A,B中随机选取一个盒子,向 里面放入1个球或放入2个球,从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每 一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均 是等可能的,这n次操作结果均相互独立. (1)若a=9,b=11,求第一次操作后,A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的概率; (2)求完成一次操作后,A,B两个盒子里球的个数之和减少的概率p; (3)求重复进行n次操作后,A,B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率. 返回 【解析】(1)设第i次操作后A,B两个盒子里球的个数分别为ai,bi(i=1,2,…,n), 列举(a1,b1)所有可能的情形: (10,9),(10,10),(11,9),(11,10),(8,12),(8,13),(7,12),(7,13),共8种, 满足a1>b1的有3种情形,所以第一次操作后,A盒子里球的个数多于B盒子里 球的个数的概率P=. (2)设a0=a,b0=b,在第i(i=1,2,…,n)次操作后结果有8种等可能的情形, ①当ai=ai-1+1,bi=bi-1-1或ai=ai-1+2,bi=bi-1-2,或ai=ai-1-1,bi=bi-1+1或 ai=ai-1-2,bi=bi-1+2时,ai+bi=ai-1+bi-1; ②当ai=ai-1+2,bi=bi-1-1或ai=ai-1-1,bi=bi-1+2时,ai+bi=ai-1+bi-1+1; 返回 ③当ai=ai-1-2,bi=bi-1+1或ai=ai-1+1,bi=bi-1-2时,ai+bi=ai-1+bi-1-1. 仅有③中所述2种情形是减少的, 故一次操作后A,B两个盒子里球的个数之和减少的概率为p==. (3)由(2)的讨论知,每一次操作,A,B两个盒子里球的个数之和有3种可能的变化: 增加1个、不变、减少1个,要满足n次操作后,A,B两个盒子里球的个数之和为 a+b+n,即比初始值a+b增加n个,则只可能是每一次操作均增加1个小球. 由(2)知,每次操作小球增加1个的概率为p'==,由于每一次操作结果均独立,n次 操作均增加1个的概率为=, 故A,B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率为. 返回 【总结升华】 统计与相互独立事件的综合问题处理方法 (1)用恰当的字母表示题中的事件. (2)根据题设条件,分析事件间的关系. (3)利用公式求出事件的概率. 返回 【即学即练】 根据《国家学生体质健康标准》,高一男生和女生立定跳远单项等级如下 (单位:cm): 立定跳远单项等级 高一男生 高一女生 优秀 250及以上 192及以上 良好 [235,250) [178,192) 及格 [195,235) [148,178) 不及格 195以下 148以下 返回 从某校高一男生和女生中各随机抽取10名同学,将其立定跳远测试成绩整理如下(精 确到1 cm): 男生:203　213　220　235　245　240　248　251　260　265 女生:140　162　169　172　184　195　196　196　201　208 (1)分别估计该校高一男生和女生立定跳远单项的优秀率; (2)从该校随机抽取的立定跳远单项成绩优秀的高一女生中随机抽取2人,求恰有1人 成绩在200以上,1人成绩在200以下的概率; (3)假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.从该校全体高一女生中随 机抽取3人,设“这3人的立定跳远单项既有优秀,又有其他等级”为事件A,“这3人的立 定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与B是否相互独立.(结论不要求证明) 返回 【解析】(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为3,获得优秀的女生 人数为5, 所以估计该校高一男生立定跳远单项的优秀率为; 估计该校高一女生立定跳远单项的优秀率为=. (2)样本中立定跳远单项等级获得优秀的女生人数为5,从中抽2人共有10种情况, 其中成绩在200以上的有2人,成绩在200以下的有3人, 则恰有1人成绩在200以上,1人成绩在200以下共有2×3=6种情况,则概率为 ==. 返回 (3)A与B相互独立.理由如下: P(A)=3××+3××=, P(B)=1×+3××=, P(AB)=3××=, P(A)·P(B)=×=, 故P(AB)=P(A)·P(B),故A与B相互独立. 返回 $