1.导学案 05 第10章 10.1.3 古典概型(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.1.3　古典概型(2) 【学习目标】 1.进一步理解古典概型的定义.(数学抽象) 2.熟练掌握古典概型的概率计算公式.(数学运算) 关键能力·师生共研 类型1有、无放回问题的概率计算(数学抽象、数学运算) 【典例1】从3名男生和3名女生中任意抽取两人,设事件A=“抽到的两人都是男生”,事件B=“抽到1名男生与1名女生”,则 (　　) A.在有放回简单随机抽样方式下,P(A)= B.在不放回简单随机抽样方式下,P(B)= C.在按性别等比例分层随机抽样方式下,P(A)= D.在按性别等比例分层随机抽样方式下,P(B)=1 【解析】选D.记3名男生为1,2,3,3名女生为a,b,c.对于选项A,有放回简单随机抽样的样本空间Ω1为 1 2 3 a b c 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) (a,a) (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) (b,b) (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) (c,c) 共36个样本点,事件A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},有9个样本点,所以P(A)==,故选项A错误; 对于选项B,不放回简单随机抽样的样本空间Ω2为 1 2 3 a b c 1 × (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) × (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) × (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) × (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) × (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) × 共30个样本点,事件B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2), (c,3)},有18个样本点,所以P(B)==,故选项B错误; 对于选项C,在按性别等比例分层随机抽样方式下,P(A)=0,故选项C错误; 对于选项D,在按性别等比例分层随机抽样方式下,先从男生中抽取一人,再从女生中抽取一人,其样本空间Ω3={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)},共有9个样本点,事件B=Ω3,所以P(B)==1,故选项D正确. 【总结升华】 有、无放回问题的概率计算的区别 (1)若是“有放回抽取”,则在每次抽取之前,产品种类及个数都不发生变化,因此某件新产品被抽到的概率也不变; (2)若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知),则在每次抽取之前,所剩产品种类及个数都在发生变化,因此某件产品被抽到的概率也在不断变化. 【即学即练】 1.袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个大小相同的小球,现从中有放回地取两次(每次只取一个球),则两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率是 (　　) A. B.　 C.　 D. 【解析】选C.从中有放回地取两次,每次取球有4种结果,所以有4×4=16种结果, 其中标号数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4种结果, 所以两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率P==. 2.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张,则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为 (　　) A. B.　 C.　 D. 【解析】选C.根据题意,从六张卡片中无放回随机抽取2张, 有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种取法, 其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,6),(5,6),共9种情况, 则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P==. 类型2古典概型与统计的综合问题(数学运算) 【典例2】某学校高一年级进行某学科的考试,所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示,第一组成绩在[50,60),第二组成绩在[60,70),第三组成绩在[70,80),第四组成绩在[80,90),第五组成绩在[90,100]. (1)年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学,定为成绩优胜,估计此次考试成绩优胜的分数线; (2)现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取6人,进行成绩情况调研. ①从这6人中抽取2人,求这2人不在同一组的概率; ②若抽取的同学中,第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40,第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70,据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. 【解析】(1)成绩在前的同学的分数线,即第75百分位数,由题中频率分布直方图可知, 前三组频率为(0.010+0.015+0.035)×10=0.6<0.75, 前四组频率为(0.010+0.015+0.035+0.030)×10=0.9>0.75, 所以成绩优胜的分数线在第四组[80,90)内, 所以该数据为80+×10=85, 则估计此次考试成绩优胜的分数线为85. (2)①由题中频率分布直方图可知第二组和第四组频率之比为0.15∶0.3=1∶2, 则用分层随机抽样的方法选取6名同学,其中2人的成绩在第二组内,4人的成绩在第四组内, 从这6人中抽取2人,共有15种情况,抽取的2人不在同一组有8种情况, 所以抽取的2人不在同一组的概率P=. ②由已知,第二组和第四组抽取的所有同学的成绩的平均数为==77. 设第二组、第四组抽取的学生成绩的平均数和方差分别为,,,, 则第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差为s2=[+]+[+]=×[40+(65-77)2]+×[70+(83-77)2]=132. 【总结升华】 概率与统计结合题的处理策略 概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息,只要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决,解决此类题目的步骤主要有: 第一步:根据题目要求求出数据(有的用到按比例分配的分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识); 第二步:列出样本空间,计算样本空间包含的样本点个数; 第三步:找出所求事件包含的样本点个数; 第四步:根据古典概型概率计算公式求解; 第五步:明确规范地表述结论. 【即学即练】 洛阳各大景区在“五一”假期推出丰富多彩的文旅活动,让游客在享受美好假期的同时,感受洛阳深厚的历史文化底蕴.漫步洛阳街头,三步一娘娘,五步一公主,“总要来洛阳穿穿汉服”成为无数人的心中所愿.为了了解汉服体验者的满意程度,随机选取了40名汉服体验者进行满意度打分(满分100分),按分数共分成五组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到的频率分布直方图如图所示,我们称打分90分及以上的汉服体验者为“汉服达人”. (1)根据频率分布直方图,同一组数据用该组区间的中点值作代表,试估计这40名汉服体验者打分的平均数,并估计样本的第75百分位数; (2)用分层随机抽样的方法从第3组和第4组的汉服体验者中随机选出5人,再从这5人中随机选2人,求至少一人是“汉服达人”的概率. 【解析】(1)第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.35,第三组的频率为0.30,第四组的频率为0.20,第五组的频率为0.10, 故平均数=77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25, 因为前3组的频率和为0.7,前4组的频率和为0.9, 所以第75百分位数在第四组,不妨设为x, 则(x-90)×0.04=0.75-0.05-0.35-0.30, 解得x=91.25, 即第75百分位数约为91.25. (2)根据题意,第3组有40×0.3=12(人),第4组有40×0.2=8(人), 所以第3组选3人,分别记为A,B,C, 第4组选2人,分别记为a,b, 所以样本空间Ω={AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共10种, 设事件M=至少一人是“汉服达人”, 则M={Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共7种, 所以P(M)=, 即至少一人是“汉服达人”的概率为. 类型3复杂的古典概型计算(数学运算) 【典例3】在集合{-5,-3,-1,1,3,5}中任意选取一个实数作为a,构造函数f(x)=x2-ax+1,x∈R,记事件A为“所选取的实数a使得函数y=f(x)有两个不等的零点”. (1)观察选取的实数a,写出样本空间与事件A对应的集合,并求事件A发生的概率; (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数y=f(x)在[,+∞)上是严格增函数”,求事件A,事件B至少有一个发生的概率. 【解析】(1)由题知样本空间Ω={-5,-3,-1,1,3,5},若函数y=f(x)有两个不等的零点,则Δ=(-a)2-4>0, 解得a<-2或a>2, 事件A为“所选取的实数a使得函数y=f(x)有两个不等的零点”, 所以事件A对应的集合为{-5,-3,3,5}, 则P(A)==. (2)若函数y=f(x)在[,+∞)上是严格增函数, 则-=≤,即a≤, 所以事件B对应的集合为{-5,-3,-1}, 故A∪B={-5,-3,-1,3,5},则P(A∪B)=. 【总结升华】 古典概型综合问题的关注点 有关古典概型与函数、方程、不等式等其他数学知识结合的题型,可利用有关数学知识得出限制事件的条件,从而解决概率问题. 【即学即练】 1.(2025·朝阳高一检测)从2,3,4,8,9中任取两个不同的数,分别记为a,b. (1)求a+b为偶数的概率; (2)求logab为整数的概率. 【解析】(1)样本空间可记为Ω={(2,3),(2,4),(2,8),(2,9),(3,2),(3,4),(3,8),(3,9),(4,2),(4,3),(4,8),(4,9),(8,2),(8,3),(8,4),(8,9),(9,2),(9,3),(9,4),(9,8)},共包含20个样本点. 设事件A=“a+b为偶数”,A={(2,4),(2,8),(3,9),(4,2),(4,8),(8,2),(8,4),(9,3)}, 包含8个样本点,则P(A)==. (2)由(1)得样本空间共包含20个样本点, 设事件B=“logab为整数”, 因为log24=2,log28=3,log39=2, 所以B={(2,4),(2,8),(3,9)},包含3个样本点, 则P(B)=. 2.(2025·大连高一检测)将连续正整数1,2,3,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n,F(n)为这个数的位数.例如:当n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,则F(12)=15.现从这个数中随机取一个数字,P(n)为恰好取到0的概率. (1)求P(101); (2)当n≤2 025时,求F(n)的解析式; (3)令f(n)为这个数中数字9的个数,g(n)为这个数中数字0的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时P(n)的最大值. 【解析】(1)当n=101时,有F(101)=9+90×2+3×2=195,即这个数字共有195个数字, 其中数字0的个数有12个,所以恰好取得0的概率P(101)==. (2)当1≤n≤9时,这个数由n个1位数组成,F(n)=n; 当10≤n≤99时,这个数由9个一位数,n-9个两位数组成,F(n)=2n-9; 当100≤n≤999时,这个数由9个一位数,90个两位数,n-99个三位数组成,F(n)=3n-108; 当1 000≤n≤2 025时,这个数由9个一位数,90个两位数,900个三位数,n-999个四位数组成,F(n)=4n-1 107; 综上,F(n)=. (3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0; 当n=10k+b(1≤k≤9,1≤b≤9,k∈N*,b∈N*)时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11, 所以g(n)= , 同理f(n)= , 所以h(n)=f(n)-g(n)=1,则n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 当n≤100,则S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}, 当n=9,P(9)=0, 当n=90,P(90)==, 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*),P(n)===, 由y==-×关于k单调递增, 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*),P(n)最大值为P(89)=, 又<,所以n∈S时P(n)最大值为. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 关键能力•师生共研 10.1.3　古典概型(2) 内容概览 【学习目标】 1.进一步理解古典概型的定义.(数学抽象) 2.熟练掌握古典概型的概率计算公式.(数学运算) 返回 01 关键能力•师生共研 返回 类型1有、无放回问题的概率计算(数学抽象、数学运算) 【典例1】从3名男生和3名女生中任意抽取两人,设事件A=“抽到的两人都 是男生”,事件B=“抽到1名男生与1名女生”,则(　　) A.在有放回简单随机抽样方式下,P(A)= B.在不放回简单随机抽样方式下,P(B)= C.在按性别等比例分层随机抽样方式下,P(A)= D.在按性别等比例分层随机抽样方式下,P(B)=1 √ 返回 【解析】选D.记3名男生为1,2,3,3名女生为a,b,c.对于选项A,有放回简单随 机抽样的样本空间Ω1为 共36个样本点,事件A={(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}, 有9个样本点,所以P(A)==, 故选项A错误;   1 2 3 a b c 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) (a,a) (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) (b,b) (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) (c,c) 返回 对于选项B,不放回简单随机抽样的样本空间Ω2为 共30个样本点,事件B={(1,a),(1,b),(1,c), (2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,1),(a,2), (a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2), (c,3)},有18个样本点,所以P(B)==, 故选项B错误;   1 2 3 a b c 1 × (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) × (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) × (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) × (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) × (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) × 返回 对于选项C,在按性别等比例分层随机抽样方式下,P(A)=0,故选项C错误; 对于选项D,在按性别等比例分层随机抽样方式下,先从男生中抽取一人,再 从女生中抽取一人,其样本空间 Ω3={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)},共有9个样本点,事件 B=Ω3,所以P(B)==1,故选项D正确. 返回 【总结升华】 有、无放回问题的概率计算的区别 (1)若是“有放回抽取”,则在每次抽取之前,产品种类及个数都不发生变化,因 此某件新产品被抽到的概率也不变; (2)若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知),则在每次抽取之前,所 剩产品种类及个数都在发生变化,因此某件产品被抽到的概率也在不断变 化. 返回 【即学即练】 1.袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个大小相同的小球,现从中有放回地取两次(每 次只取一个球),则两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率是(　　) A. B.　 C.　 D. 【解析】选C.从中有放回地取两次,每次取球有4种结果,所以有4×4=16种结果, 其中标号数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4种结果, 所以两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率P==. √ 返回 2.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张,则抽到的两张卡片数字之 积是3的倍数的概率为 (　　) A. B.　 C.　 D. 【解析】选C.根据题意,从六张卡片中无放回随机抽取2张, 有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6), 共15种取法, 其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有 (1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,6),(5,6),共9种情况, 则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P==. √ 返回 类型2古典概型与统计的综合问题(数学运算) 【典例2】某学校高一年级进行某学科的考试,所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示,第一组成绩在[50,60),第二组成绩在[60,70),第三组成绩在[70,80),第四组成绩在[80,90),第五组成绩在[90,100]. (1)年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学, 定为成绩优胜,估计此次考试成绩优胜的分数线; 返回 (2)现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取6人,进行成绩情况调研. ①从这6人中抽取2人,求这2人不在同一组的概率; ②若抽取的同学中,第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40,第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70,据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. 返回 【解析】(1)成绩在前的同学的分数线,即第75百分位数,由题中频率分布 直方图可知, 前三组频率为(0.010+0.015+0.035)×10=0.6<0.75, 前四组频率为(0.010+0.015+0.035+0.030)×10=0.9>0.75, 所以成绩优胜的分数线在第四组[80,90)内, 所以该数据为80+×10=85, 则估计此次考试成绩优胜的分数线为85. 返回 (2)①由题中频率分布直方图可知第二组和第四组频率之比为0.15∶0.3=1∶2, 则用分层随机抽样的方法选取6名同学,其中2人的成绩在第二组内,4人的成绩在第四组 内, 从这6人中抽取2人,共有15种情况,抽取的2人不在同一组有8种情况, 所以抽取的2人不在同一组的概率P=. ②由已知,第二组和第四组抽取的所有同学的成绩的平均数为==77. 设第二组、第四组抽取的学生成绩的平均数和方差分别为,,,, 则第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差为s2=[+]+[+]=×[40+(65-77)2]+×[70+(83-77)2]=132. 返回 【总结升华】 概率与统计结合题的处理策略 概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息,只要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决,解决此类题目的步骤主要有: 第一步:根据题目要求求出数据(有的用到按比例分配的分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识); 第二步:列出样本空间,计算样本空间包含的样本点个数; 第三步:找出所求事件包含的样本点个数; 第四步:根据古典概型概率计算公式求解; 第五步:明确规范地表述结论. 返回 【即学即练】 洛阳各大景区在“五一”假期推出丰富多彩的文旅活动,让游客在享受美好 假期的同时,感受洛阳深厚的历史文化底蕴.漫步洛阳街头,三步一娘娘,五 步一公主,“总要来洛阳穿穿汉服”成为无数人的心中所愿.为了了解汉服体 验者的满意程度,随机选取了40名汉服体验者进行满意度打分(满分100分), 按分数共分成五组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3 组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到的频率 分布直方图如图所示,我们称打分90分及以上的汉 服体验者为“汉服达人”. 返回 (1)根据频率分布直方图,同一组数据用该组区间的中点值作代表,试估计这40名汉服 体验者打分的平均数,并估计样本的第75百分位数; (2)用分层随机抽样的方法从第3组和第4组的汉服体验者中随机选出5人,再从这5人 中随机选2人,求至少一人是“汉服达人”的概率. 【解析】(1)第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.35,第三组的频率为0.30,第四组的频 率为0.20,第五组的频率为0.10, 故平均数=77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25, 因为前3组的频率和为0.7,前4组的频率和为0.9, 所以第75百分位数在第四组,不妨设为x, 则(x-90)×0.04=0.75-0.05-0.35-0.30, 解得x=91.25,即第75百分位数约为91.25. 返回 (2)根据题意,第3组有40×0.3=12(人),第4组有40×0.2=8(人), 所以第3组选3人,分别记为A,B,C, 第4组选2人,分别记为a,b, 所以样本空间Ω={AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共10种, 设事件M=至少一人是“汉服达人”, 则M={Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共7种, 所以P(M)=, 即至少一人是“汉服达人”的概率为. 返回 类型3复杂的古典概型计算(数学运算) 【典例3】在集合{-5,-3,-1,1,3,5}中任意选取一个实数作为a,构造函数 f(x)=x2-ax+1,x∈R,记事件A为“所选取的实数a使得函数y=f(x)有两个不等 的零点”. (1)观察选取的实数a,写出样本空间与事件A对应的集合,并求事件A发生的 概率; (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数y=f(x)在[,+∞)上是严格增函数”,求 事件A,事件B至少有一个发生的概率. 返回 【解析】(1)由题知样本空间Ω={-5,-3,-1,1,3,5},若函数y=f(x)有两个不等的 零点,则Δ=(-a)2-4>0, 解得a<-2或a>2, 事件A为“所选取的实数a使得函数y=f(x)有两个不等的零点”, 所以事件A对应的集合为{-5,-3,3,5},则P(A)==. (2)若函数y=f(x)在[,+∞)上是严格增函数, 则-=≤,即a≤,所以事件B对应的集合为{-5,-3,-1}, 故A∪B={-5,-3,-1,3,5},则P(A∪B)=. 返回 【总结升华】 古典概型综合问题的关注点 有关古典概型与函数、方程、不等式等其他数学知识结合的题型,可利用有关数学知识得出限制事件的条件,从而解决概率问题. 返回 【即学即练】 1.(2025·朝阳高一检测)从2,3,4,8,9中任取两个不同的数,分别记为a,b. (1)求a+b为偶数的概率; (2)求logab为整数的概率. 【解析】(1)样本空间可记为Ω={(2,3),(2,4),(2,8),(2,9),(3,2),(3,4),(3,8),(3,9),(4,2),(4,3),(4,8),(4,9),(8,2),(8,3), (8,4),(8,9),(9,2),(9,3),(9,4),(9,8)},共包含20个样本点. 设事件A=“a+b为偶数”,A={(2,4),(2,8),(3,9),(4,2),(4,8),(8,2),(8,4),(9,3)}, 包含8个样本点,则P(A)==. 返回 (2)由(1)得样本空间共包含20个样本点, 设事件B=“logab为整数”, 因为log24=2,log28=3,log39=2, 所以B={(2,4),(2,8),(3,9)},包含3个样本点, 则P(B)=. 返回 2.(2025·大连高一检测)将连续正整数1,2,3,…,n(n∈N*)从小到大排列构成 一个数123…n,F(n)为这个数的位数.例如:当n=12时,此数为 123456789101112,共有15个数字,则F(12)=15.现从这个数中随机取一个数 字,P(n)为恰好取到0的概率. (1)求P(101); (2)当n≤2 025时,求F(n)的解析式; (3)令f(n)为这个数中数字9的个数,g(n)为这个数中数字0的个数, h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时P(n)的最大值. 返回 【解析】(1)当n=101时,有F(101)=9+90×2+3×2=195,即这个数字共有195个数字, 其中数字0的个数有12个,所以恰好取得0的概率P(101)==. (2)当1≤n≤9时,这个数由n个1位数组成,F(n)=n; 当10≤n≤99时,这个数由9个一位数,n-9个两位数组成,F(n)=2n-9; 当100≤n≤999时,这个数由9个一位数,90个两位数,n-99个三位数组成,F(n)=3n-108; 当1 000≤n≤2 025时,这个数由9个一位数,90个两位数,900个三位数,n-999个四位 数组成,F(n)=4n-1 107; 综上,F(n)=. 返回 (3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0; 当n=10k+b(1≤k≤9,1≤b≤9,k∈N*,b∈N*)时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11, 所以g(n)=, 同理f(n)=, 所以h(n)=f(n)-g(n)=1,则n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 返回 当n≤100,则S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}, 当n=9,P(9)=0, 当n=90,P(90)==, 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*),P(n)===, 由y==-×关于k单调递增, 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*),P(n)最大值为P(89)=, 又<,所以n∈S时P(n)最大值为. 返回 $