1.导学案 07 第10章 10.2 事件的相互独立性(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.2　事件的相互独立性(1) 【学习目标】 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.(数学抽象) 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.(数学运算、逻辑推理) 必备知识·自主导学 两个事件相互独立 1.定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 2.性质:如果事件A与事件B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立. 【思考】 如何证明A与相互独立? 提示:因为A=AB∪A,而且AB与A互斥,所以P(A)=P(AB∪A) =P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+P(A),所以P(A)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P().由事件的独立性定义得,A与相互独立. 3.两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式:事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B). 【点拨】 如果三个事件A,B,C两两互斥,那么概率的加法公式P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立,但当三个事件A,B,C两两独立时,等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. 【教材挖掘】 设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点,且A={a,b},B={a,c},C={a,d},请验证A,B,C三个事件两两独立,但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 【解析】可求得P(A)=,P(B)=,P(C)=, P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,P(ABC)=, 所以P(AB)=P(A)·P(B),P(AC)=P(A)·P(C),P(BC)=P(B)·P(C),即A,B,C两两独立, 但P(A)·P(B)·P(C)=≠,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)必然事件与任何一个事件相互独立. (√) 提示:由两个事件相互独立的定义P(AB)=P(A)·P(B),可知必然事件与任何一个事件相互独立. (2)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件. (√) 提示:由两个事件相互独立的定义以及两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式可知是正确的. (3)若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B相互独立且互斥. (×) 提示:因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立,但不一定互斥. 关键能力·师生共研 类型1相互独立事件的判断(数学抽象) 【典例1】(1)判断下列各对事件是不是相互独立事件. ①一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”; ②一个布袋里有大小完全相同的3个白球,2个红球,“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回,再从中任意取1个球是红球”. 【解析】①由于把取出的水果放回筐内,故“从中任意取出1个,取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个,取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是相互独立事件; ②不放回地取球,前者的发生影响后者发生的概率,所以二者不是相互独立事件. (2)已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和,现从每个班各选一名同学,记事件A=“从甲班选择的是女生”,事件B=“两名同学中至少有一名是男生”,事件C=“从两个班选到的学生性别不同”,则 (　　) A.事件A和B相互独立 B.事件B和C相互独立 C.事件A和C相互独立 D.事件AB和C相互独立 【解析】选C.由题意可得P(A)=,P(B)=1-×=,P(C)=(1-)×+×(1-)=, P(AB)=×(1-)=, P(AC)=×(1-)=, P(BC)=×(1-)+(1-)×=, P(ABC)=×(1-)=, 因为P(AB)=≠P(A)·P(B)=,则事件A和B不相互独立,A错误; 因为P(BC)=≠P(B)·P(C)=,则事件B和C不相互独立,B错误; 因为P(AC)==P(A)·P(C)=,则事件A和C相互独立,C正确; 因为P(ABC)=≠P(AB)·P(C)=,则事件AB和C不相互独立,D错误. 【总结升华】 两个事件是否相互独立的判断方法 (1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响,如果没有影响,则两个事件相互独立. (2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件. 【即学即练】 1.(多选)甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动,有M,N,Q 3个单位需要招志愿者,每个单位各招1人,设事件S=“M单位招到甲或乙”,事件T=“N单位招到甲或丙”,事件E=“Q单位招到丙或丁”,事件H=“Q单位招到甲或乙”,则下列说法错误的是 (　　) A.事件S,T相互独立 B.事件S,E相互独立 C.事件S,H相互独立 D.事件E,H相互独立 【解析】选BCD.M,N两个单位招志愿者的不同选法种数为12, 因为事件ST所包含的基本事件为(M招甲、N招丙),(M招乙、N招甲),(M招乙、N招丙),共3个, 所以P(ST)==,因为由题意P(S)=,P(T)=,P(S)P(T)=×==P(ST),所以S,T为独立事件,故A项正确; 因为P(E)=,P(S)P(E)=×=,同理得P(SE)==,故B项错误; 因为P(H)=,P(S)P(H)=×=,同理得P(SH)==,故C项错误; 因为E,H为对立事件,所以P(EH)=0,故D项错误. 2.连续掷两次骰子,设先后得到的点数分别为m,n,A表示事件“m=2”,B表示事件“n为偶数”,C表示事件“m+n>6”,D表示事件“m+n=7”,则不相互独立的事件是 (　　) A.A与B B.A与D C.B与C　 D.B与D 【解析】选C.对于A,掷一次骰子,m=2的概率P(A)=.掷一次骰子,n为偶数的概率P(B)=. A与B同时发生,即m=2且n为偶数,故先后得到的点数为(2,2),(2,4),(2,6),故P(AB)==. 因为P(AB)=P(A)P(B)=×=,所以A与B是相互独立事件. 对于B,要使m+n=7,有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种情况,P(D)==, A与D同时发生即m=2且m+n=7,即n=5,故P(AD)=.而P(A)P(D)=×=,所以A与D是相互独立事件. 对于C,n为偶数的概率P(B)=. m+n>6的情况有:当m=1时,n=6; 当m=2时,n=5,n=6; 当m=3时,n=4,n=5,n=6; 当m=4时,n=3,n=4,n=5,n=6; 当m=5时,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6; 当m=6时,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6,共21种情况, 所以P(C)==. B与C同时发生,即n为偶数且m+n>6的情况有: 当m=1时,n=6;当m=2时,n=6;当m=3时,n=4,n=6; 当m=4时,n=4,n=6;当m=5时,n=2,n=4,n=6; 当m=6时,n=2,n=4,n=6,共12种情况, 所以P(BC)==. 而P(B)P(C)=×=≠,所以B与C不是相互独立事件. 对于D,n为偶数的概率P(B)=,P(D)=. B与D同时发生,即n为偶数且m+n=7的情况有: 当m=5时,n=2;当m=3时,n=4;当m=1时,n=6,共3种情况,所以P(BD)==. 而P(B)P(D)=×==P(BD),所以B与D是相互独立事件. 故A与B,A与D,B与D是相互独立事件,B与C不是相互独立事件. 类型2相互独立事件的性质(数学抽象) 【典例2】(1)(多选)设M,N为两个随机事件,给出以下命题正确的是 (　　) A.若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 B.若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 C.若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 D.若P(M)=,P(N)=,P()=,则M,N为相互独立事件 【解析】选ABD.若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则P(MN)=P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故A正确; 若P()=,P(N)=,P(MN)=, 则P(M)=1-P()=,P(MN)=P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故B正确; 若P(M)=,P()=, 则P(N)=1-P()=,P(MN)=×=≠,则M,N不是相互独立事件,故C错误; 若P(M)=,P(N)=,P()=, 则P(MN)=1-P()==P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故D正确. (2)(多选)(2025·杭州高一检测)已知事件A,B,C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则下列说法正确的有 (　　) A.若事件A,B独立,则事件AB,C独立 B.若事件A,B独立,则事件A,B,C独立 C.若事件AB,C独立,则事件A,B独立 D.若事件AB,C独立,则事件A,B,C独立 【解析】选AC.A.由事件A,B独立得P(AB)=P(A)P(B), P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)=P(ABC),故事件AB,C独立,A正确; B.要使事件A,B,C独立,则需事件A,B,C两两独立,且满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 条件中只给出事件A,B独立,没有说明事件A,C和事件B,C独立,B错误; C.因为事件AB,C独立,所以P(ABC)=P(AB)P(C),又P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 因为P(C)>0,所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B独立,故C正确; D.由选项C可知根据事件AB,C独立可得事件A,B独立,结合选项B可得选项D错误. 【即学即练】 (多选)(2025·衡阳高一检测)如图,一个正八面体,八个面分别标有数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},设事件A={1,2,7,8},事件B=“得到的点数为偶数”,事件C=“得到的点数为质数”,则下列说法正确的是 (　　) A.事件B与C互斥 B.P(A∪B)= C.事件A与C相互独立 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 【解析】选BCD.事件A={1,2,7,8},事件B={2,4,6,8},事件C={2,3,5,7},P(A)=P(B)=P(C)=,对于A,事件B,C有相同的样本点2,事件B与C不互斥,A错误;对于B,P(AB)==,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,B正确; 对于C,P(AC)===P(A)P(C),事件A与C相互独立,C正确; 对于D,P(ABC)==P(A)P(B)P(C),D正确. 类型3相互独立事件同时发生的概率(数学运算) 【典例3】计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大? (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求只有甲、丙两人获得合格证书的概率. 【解析】(1)记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C, 则P(A)=×=,P(B)=×=,P(C)=×=. 因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大. (2)设“三人考试后只有甲、丙两人获得合格证书”为事件D,由题易知三人是否获得合格证书相互独立,则P(D)=P(AC)=××=. 【总结升华】 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的. (2)求出每个事件的概率,再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的. 【即学即练】 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某市公益自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,;两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率. 【解析】由题意知甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1--=,1--=. 租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P1=×=; 都付2元的概率为P2=×=; 都付4元的概率为P3=×=. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 10.2　事件的相互独立性(1) 内容概览 【学习目标】 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.(数学抽象) 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.(数学运算、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 两个事件相互独立 1.定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=_________成立,则称事件A与事 件B相互独立,简称为独立. 2.性质:如果事件A与事件B相互独立,则A与,与B,与也都_________. P(A)P(B) 相互独立 返回 【思考】 如何证明A与相互独立? 提示:因为A=AB∪A,而且AB与A互斥,所以P(A)=P(AB∪A) =P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+P(A), 所以P(A)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(). 由事件的独立性定义得,A与相互独立. 返回 3.两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式:事件A与事件B相互独立,则 _______________. 【点拨】 如果三个事件A,B,C两两互斥,那么概率的加法公式 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立,但当三个事件A,B,C两两独立时,等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. P(AB)=P(A)P(B) 返回 【教材挖掘】 设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点,且A={a,b},B={a,c},C={a,d}, 请验证A,B,C三个事件两两独立,但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 【解析】可求得P(A)=,P(B)=,P(C)=, P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,P(ABC)=, 所以P(AB)=P(A)·P(B),P(AC)=P(A)·P(C),P(BC)=P(B)·P(C), 即A,B,C两两独立,但P(A)·P(B)·P(C)=≠,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)必然事件与任何一个事件相互独立.( ) 提示:由两个事件相互独立的定义P(AB)=P(A)·P(B),可知必然事件与任何一个事件相互 独立. (2)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.( ) 提示:由两个事件相互独立的定义以及两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式可 知是正确的. (3)若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B相互独立且互斥.( ) 提示:因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与 B相互独立,但不一定互斥. √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1相互独立事件的判断(数学抽象) 【典例1】(1)判断下列各对事件是不是相互独立事件. ①一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的水果 放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”; ②一个布袋里有大小完全相同的3个白球,2个红球,“从中任意取1个球是白球”与 “取出的球不放回,再从中任意取1个球是红球”. 【解析】①由于把取出的水果放回筐内,故“从中任意取出1个,取出的是苹果”这 一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个,取出的是梨”这一事件发生的概率没 有影响,所以二者是相互独立事件; ②不放回地取球,前者的发生影响后者发生的概率,所以二者不是相互独立事件. 返回 (2)已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和,现从每 个班各选一名同学,记事件A=“从甲班选择的是女生”,事件B=“两名同学中 至少有一名是男生”,事件C=“从两个班选到的学生性别不同”,则(　　) A.事件A和B相互独立 B.事件B和C相互独立 C.事件A和C相互独立 D.事件AB和C相互独立 √ 返回 【解析】选C.由题意可得P(A)=,P(B)=1-×=,P(C)=(1-)×+×(1-)=, P(AB)=×(1-)=,P(AC)=×(1-)=,P(BC)=×(1-)+(1-)×=, P(ABC)=×(1-)=, 因为P(AB)=≠P(A)·P(B)=,则事件A和B不相互独立,A错误; 因为P(BC)=≠P(B)·P(C)=,则事件B和C不相互独立,B错误; 因为P(AC)==P(A)·P(C)=,则事件A和C相互独立,C正确; 因为P(ABC)=≠P(AB)·P(C)=,则事件AB和C不相互独立,D错误. 返回 【总结升华】 两个事件是否相互独立的判断方法 (1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响,如果没有影响,则两个事件相互独立. (2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件. 返回 【即学即练】 1.(多选)甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动,有M,N,Q 3个单位需要 招志愿者,每个单位各招1人,设事件S=“M单位招到甲或乙”,事件T=“N单位 招到甲或丙”,事件E=“Q单位招到丙或丁”,事件H=“Q单位招到甲或乙”,则 下列说法错误的是(　　) A.事件S,T相互独立 B.事件S,E相互独立 C.事件S,H相互独立 D.事件E,H相互独立 √ √ √ 返回 【解析】选BCD.M,N两个单位招志愿者的不同选法种数为12, 因为事件ST所包含的基本事件为(M招甲、N招丙),(M招乙、N招甲), (M招乙、N招丙),共3个, 所以P(ST)==,因为由题意P(S)=,P(T)=,P(S)P(T)=×==P(ST), 所以S,T为独立事件,故A项正确; 因为P(E)=,P(S)P(E)=×=,同理得P(SE)==,故B项错误; 因为P(H)=,P(S)P(H)=×=,同理得P(SH)==,故C项错误; 因为E,H为对立事件,所以P(EH)=0,故D项错误. 返回 2.连续掷两次骰子,设先后得到的点数分别为m,n,A表示事件“m=2”,B表示 事件“n为偶数”,C表示事件“m+n>6”,D表示事件“m+n=7”,则不相互独立的 事件是 (　　) A.A与B B.A与D C.B与C　 D.B与D 【解析】选C.对于A,掷一次骰子,m=2的概率P(A)=.掷一次骰子,n为偶数 的概率P(B)=. √ 返回 A与B同时发生,即m=2且n为偶数,故先后得到的点数为(2,2),(2,4),(2,6),故 P(AB)==. 因为P(AB)=P(A)P(B)=×=,所以A与B是相互独立事件. 对于B,要使m+n=7,有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种情况,P(D)==, A与D同时发生即m=2且m+n=7,即n=5,故P(AD)=.而P(A)P(D)=×=, 所以A与D是相互独立事件. 对于C,n为偶数的概率P(B)=. 返回 m+n>6的情况有:当m=1时,n=6; 当m=2时,n=5,n=6; 当m=3时,n=4,n=5,n=6; 当m=4时,n=3,n=4,n=5,n=6; 当m=5时,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6; 当m=6时,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6,共21种情况, 所以P(C)==. B与C同时发生,即n为偶数且m+n>6的情况有: 当m=1时,n=6;当m=2时,n=6;当m=3时,n=4,n=6; 返回 当m=4时,n=4,n=6;当m=5时,n=2,n=4,n=6; 当m=6时,n=2,n=4,n=6,共12种情况,所以P(BC)==. 而P(B)P(C)=×=≠,所以B与C不是相互独立事件. 对于D,n为偶数的概率P(B)=,P(D)=. B与D同时发生,即n为偶数且m+n=7的情况有: 当m=5时,n=2;当m=3时,n=4;当m=1时,n=6,共3种情况,所以P(BD)==. 而P(B)P(D)=×==P(BD),所以B与D是相互独立事件. 故A与B,A与D,B与D是相互独立事件,B与C不是相互独立事件. 返回 类型2相互独立事件的性质(数学抽象) 【典例2】(1)(多选)设M,N为两个随机事件,给出以下命题正确的是(　　) A.若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 B.若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 C.若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件 D.若P(M)=,P(N)=,P()=,则M,N为相互独立事件 √ √ √ 返回 【解析】选ABD.若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则P(MN)=P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故A正确; 若P()=,P(N)=,P(MN)=,则P(M)=1-P()=,P(MN)=P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故B正确; 若P(M)=,P()=, 则P(N)=1-P()=,P(MN)=×=≠,则M,N不是相互独立事件,故C错误; 若P(M)=,P(N)=,P()=,则P(MN)=1-P()==P(M)P(N), 则M,N为相互独立事件,故D正确. 返回 (2)(多选)(2025·杭州高一检测)已知事件A,B,C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则下列说法正确的有 (　　) A.若事件A,B独立,则事件AB,C独立 B.若事件A,B独立,则事件A,B,C独立 C.若事件AB,C独立,则事件A,B独立 D.若事件AB,C独立,则事件A,B,C独立 √ √ 返回 【解析】选AC.A.由事件A,B独立得P(AB)=P(A)P(B), P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)=P(ABC),故事件AB,C独立,A正确; B.要使事件A,B,C独立,则需事件A,B,C两两独立, 且满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 条件中只给出事件A,B独立,没有说明事件A,C和事件B,C独立,B错误; C.因为事件AB,C独立,所以P(ABC)=P(AB)P(C),又P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 因为P(C)>0,所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B独立,故C正确; D.由选项C可知根据事件AB,C独立可得事件A,B独立,结合选项B可得选项D 错误. 返回 【即学即练】 (多选)(2025·衡阳高一检测)如图,一个正八面体,八个面分别标有数字1到8, 任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空 间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},设事件A={1,2,7,8},事件B=“得到的点数为偶数”, 事件C=“得到的点数为质数”,则下列说法正确的是(　　) A.事件B与C互斥 B.P(A∪B)= C.事件A与C相互独立 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) √ √ √ 返回 【解析】选BCD.事件A={1,2,7,8},事件B={2,4,6,8},事件C={2,3,5,7}, P(A)=P(B)=P(C)=,对于A,事件B,C有相同的样本点2,事件B与C不互斥, A错误;对于B,P(AB)==,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,B正确; 对于C,P(AC)===P(A)P(C),事件A与C相互独立,C正确; 对于D,P(ABC)==P(A)P(B)P(C),D正确. 返回 类型3相互独立事件同时发生的概率(数学运算) 【典例3】计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩 只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格 证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中 “合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的 可能性最大? (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求只有甲、丙两人获得合格证书的 概率. 返回 【解析】(1)记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙 获得合格证书”为事件C, 则P(A)=×=,P(B)=×=,P(C)=×=. 因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大. (2)设“三人考试后只有甲、丙两人获得合格证书”为事件D,由题易知三人 是否获得合格证书相互独立,则P(D)=P(AC)=××=. 返回 【总结升华】 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的. (2)求出每个事件的概率,再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时,要掌握公式的适用条件, 即各个事件是相互独立的. 返回 【即学即练】 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某市公益自行车 租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的 部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别 来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率 分别为,;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,;两人租车时间 互不影响且都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率. 返回 【解析】由题意知甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概 率分别为1--=,1--=. 租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P1=×=; 都付2元的概率为P2=×=; 都付4元的概率为P3=×=. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3=. 返回 $