1.导学案 04 第10章 10.1.3 古典概型(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 10.1.3　古典概型(1) 内容概览 【学习目标】 1.理解古典概型及其概率计算公式.(数学抽象) 2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率.(数学运算) 3.掌握利用概率的计算公式求古典概型的概率的方法.(数学建模) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、随机事件的概率 对随机事件_____________________(数值)称为事件的概率,事件A的概率 用_____表示. 二、古典概率模型的概念(古典概型) 如果试验具有如下共同特征: (1)_______:样本空间的样本点只有有限个; (2)_________:每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典 概率模型,简称古典概型. 发生可能性大小的度量 P(A) 有限性 等可能性 返回 三、古典概率模型的计算 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k 个样本点,则定义事件A的概率____________. 其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. P(A)== 返回 【思考】 如何从集合的角度理解古典概型的概率公式? 提示:如图所示,把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合U,其中 每一个结果就是U中的一个元素,把含m个结果的随机事件A看作含有m个 元素的集合,则随机事件A是集合U的一个子集,则有P(A)==. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)古典概型中,试验中出现的样本点可以无限多.( ) 提示:古典概型中,试验中出现的样本点是有限的. (2)古典概型每个样本点发生的可能性相等.( ) 提示:这是古典概型的特征之一. (3)抛一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面是古典概型.( ) 提示:符合古典概型的特征. (4)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为.( ) 提示:从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种情况,其中甲被选中 的情况有2种,故甲被选中的概率P=. × √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1古典概型的判断(数学抽象) 【典例1】下列概率模型是古典概型吗?为什么? (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率; (2)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求正面朝上的概率; (3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率. 【解析】(1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多 种结果,与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾; (2)不是古典概型,因为硬币质地不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性 不相等,与古典概型定义中“每一个样本点发生的可能性相等”矛盾; (3)是古典概型,因为在试验中样本点是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等. 返回 【总结升华】 判断古典概型的两个依据 (1)样本点总数有限.(有限性) (2)各个样本点出现的可能性相等.(等可能性) 返回 【即学即练】 1.(多选)下列试验中,是古典概型的为(　　) A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点 B.在正方形ABCD的四个顶点中,任意取一点,求该点恰是点C的概率 C.从1,2,3,4四个数字中,任取两个数字,求所取两个数字之一是2的概率 D.在区间[0,5]上任取一个数,求此数小于2的概率 【解析】选BC.A项中,由于点数之和出现的可能性不相等,故不是古典概 型;B,C项符合古典概型的特征,是古典概型;D项中,在区间[0,5]上任取一个 数有无限个,不是古典概型. √ √ 返回 2.判断下列试验是不是古典概型. (1)口袋中有2个红球、2个白球,每次从中任取1球,观察颜色后放回,直到取 出红球; (2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表; (3)射击运动员向一靶子射击5次,脱靶的次数. 【解析】(1)每次摸出1个球后,仍放回袋中,再摸1个球.显然,这是有放回抽 样,依次摸出的球可以重复,且摸球可无限地进行下去,即所有可能结果有无 限个.因此该试验不是古典概型. 返回 (2)从5名同学中任意抽取1名,有5种等可能发生的结果:抽到学生甲,抽到学生乙,抽到学生丙,抽到学生丁,抽到学生戊.因此该试验是古典概型. (3)射击的结果:脱靶0次,脱靶1次,脱靶2次,…,脱靶5次.样本点的个数有限,但每个样本点发生的可能性不相等,因此该试验不是古典概型. 返回 类型2简单的古典概型概率的计算(数学运算) 【典例2】(1)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球 和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于(　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】选B.标记红球为A,白球分别为B1,B2,黑球分别为C1,C2,C3,则样本点有 (A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2), (B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3),共15个.记事件M为“取出的两球一白一黑”,则事件 M包含的样本点有(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),共6个.根据古典概 型的概率计算公式可得其概率P(M)==. √ 返回 (2)(教材P238例9提升)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同 号码的3个黑球,从中摸出两个球,求: ①样本空间的样本点的总数n; ②事件“摸出两个黑球”包含的样本点的个数; ③摸出两个黑球的概率. 返回 【解析】由于4个球的大小相等,摸出的每个球的可能性是均等的,所以是 古典概型. ①将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出两个球, 样本空间Ω={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)},共有6个 样本点,即n=6; ②事件“摸出两个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共有3个样本点; ③样本点总数为6,事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数为3,故摸出两个 黑球的概率为=. 返回 【总结升华】 求解古典概型“四步”法 返回 【即学即练】 1.甲、乙、丙三人玩传球游戏,每个人都等可能地把球传给另一人,由甲开 始传球,作为第一次传球,经过3次传球后,球回到甲手中的概率为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.设甲、乙、丙三人用a,b,c表示, 由题意可知:传球的方式有以下形式, (a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,b,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),(a,c,b,a),(a,c,b,c), 所求概率为=. √ 返回 2.随着国潮的兴起,消费者对汉服的接受度日渐提高,数据显示,目前中国大 众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞 台表演、婚庆典礼6类,某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大 众穿汉服的照片,则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中 的概率为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. √ 返回 【解析】选C.记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、 婚庆典礼这6类场景分别为A,B,C,D,E,F, 从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有 (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E), (D,F),(E,F),共15种, 设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”, 则事件M包含的基本事件有 (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(C,D),(D,E),(D,F),共9种, 故所求概率P(M)==. 返回 类型3较复杂的古典概型计算(数学运算) 【典例3】(教材P237例8提升)将一枚骰子先后抛掷两次,记录向上的点数, 求: (1)点数之和为7的概率; (2)掷出两个4点的概率; (3)点数之和能被3整除的概率. 返回 【解析】如图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和, 样本点与所描点一一对应. 由图知,样本点总数为36个. 返回 (1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有6个 (已用虚线圈出), 故P(A)==; (2)记“掷出两个4点”为事件B,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4),故 P(B)=; (3)记“点数之和能被3整除”为事件C,从图中可以看出,事件C包含的样本点 共有12个(已用实线圈出), 故P(C)==. 返回 【即学即练】 1.(多选)5张奖券中有2张是中奖的,甲先抽取一张,然后乙抽取一张,则下列 结论正确的是(　　) A.甲中奖的概率P(A)= B.乙中奖的概率P(B)= C.只有乙中奖的概率P(C)= D.甲、乙都中奖的概率P(D)= √ √ 返回 【解析】选AD.设中奖奖券为1,2,不中奖的奖券为3,4,5,则随机试验的样本 空间为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2), (4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个样本点, 事件甲中奖包含(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),共8个样本点, 所以事件甲中奖的概率P(A)==,A正确; 事件乙中奖包含(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共8个样本点, 所以事件乙中奖的概率P(B)==,B错误; 返回 事件只有乙中奖包含(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共6个样本点,所以事件 只有乙中奖的概率P(C)==,C错误; 事件甲、乙都中奖包含(1,2),(2,1),共2个样本点,所以事件甲、乙都中奖的 概率P(D)==,D正确. 返回 2.(2025·景德镇高一检测)有甲、乙两个盒子,其中甲盒中装有四张卡片,分 别写有:奇函数、偶函数、增函数、减函数,乙盒中也装有四张卡片,分别写 有函数:f1(x)=x2,f2(x)=-x+1,f3(x)=,f4(x)=. (1)若从乙盒中任取两张卡片,求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率; (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片,乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒 中的卡片上的函数的性质时,则称为一个“奇遇”,现从两盒中各取一张卡片, 求它们恰好“奇遇”的概率. 返回 【解析】(1)乙盒中的4个函数, f1(x)=x2,f2(x)=-x+1,f3(x)=,f4(x)=分别记为1,2,3,4, 从乙盒中任取两张卡片,所有的取法为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种, 又函数f1(x),f2(x)的定义域均为R,函数f3(x)的定义域为[0,+∞),函数f4(x)的定 义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 所取函数的定义域不同的取法有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5种, 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为. 返回 (2)把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减, 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有(奇,1),(奇,2),(奇,3),(奇,4),(偶,1),(偶,2),(偶,3),(偶,4),(增,1),(增,2),(增,3),(增,4), (减,1),(减,2),(减,3),(减,4),共16种取法. 又f1(x)是偶函数,f4(x)是奇函数,f2(x)是减函数,f3(x)是增函数, 恰为“奇遇”的有(偶,1),(奇4),(减,2),(增,3),共4种,所以“奇遇”的概率为=. 返回 $ 10.1.3　古典概型(1) 【学习目标】 1.理解古典概型及其概率计算公式.(数学抽象) 2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率.(数学运算) 3.掌握利用概率的计算公式求古典概型的概率的方法.(数学建模) 必备知识·自主导学 一、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示. 二、古典概率模型的概念(古典概型) 如果试验具有如下共同特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 三、古典概率模型的计算 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==. 其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【思考】 如何从集合的角度理解古典概型的概率公式? 提示:如图所示,把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合U,其中每一个结果就是U中的一个元素,把含m个结果的随机事件A看作含有m个元素的集合,则随机事件A是集合U的一个子集,则有P(A)==. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)古典概型中,试验中出现的样本点可以无限多. (×) 提示:古典概型中,试验中出现的样本点是有限的. (2)古典概型每个样本点发生的可能性相等.(√) 提示:这是古典概型的特征之一. (3)抛一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面是古典概型. (√) 提示:符合古典概型的特征. (4)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为. (×) 提示:从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种情况,其中甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率P=. 关键能力·师生共研 类型1古典概型的判断(数学抽象) 【典例1】下列概率模型是古典概型吗?为什么? (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率; (2)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求正面朝上的概率; (3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率. 【解析】(1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾; (2)不是古典概型,因为硬币质地不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等,与古典概型定义中“每一个样本点发生的可能性相等”矛盾; (3)是古典概型,因为在试验中样本点是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等. 【总结升华】 判断古典概型的两个依据 (1)样本点总数有限.(有限性) (2)各个样本点出现的可能性相等.(等可能性) 【即学即练】 1.(多选)下列试验中,是古典概型的为 (　　) A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点 B.在正方形ABCD的四个顶点中,任意取一点,求该点恰是点C的概率 C.从1,2,3,4四个数字中,任取两个数字,求所取两个数字之一是2的概率 D.在区间[0,5]上任取一个数,求此数小于2的概率 【解析】选BC.A项中,由于点数之和出现的可能性不相等,故不是古典概型;B,C项符合古典概型的特征,是古典概型;D项中,在区间[0,5]上任取一个数有无限个,不是古典概型. 2.判断下列试验是不是古典概型. (1)口袋中有2个红球、2个白球,每次从中任取1球,观察颜色后放回,直到取出红球; (2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表; (3)射击运动员向一靶子射击5次,脱靶的次数. 【解析】(1)每次摸出1个球后,仍放回袋中,再摸1个球.显然,这是有放回抽样,依次摸出的球可以重复,且摸球可无限地进行下去,即所有可能结果有无限个.因此该试验不是古典概型. (2)从5名同学中任意抽取1名,有5种等可能发生的结果:抽到学生甲,抽到学生乙,抽到学生丙,抽到学生丁,抽到学生戊.因此该试验是古典概型. (3)射击的结果:脱靶0次,脱靶1次,脱靶2次,…,脱靶5次.样本点的个数有限,但每个样本点发生的可能性不相等,因此该试验不是古典概型. 类型2简单的古典概型概率的计算(数学运算) 【典例2】(1)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】选B.标记红球为A,白球分别为B1,B2,黑球分别为C1,C2,C3,则样本点有(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3),共15个.记事件M为“取出的两球一白一黑”,则事件M包含的样本点有(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),共6个.根据古典概型的概率计算公式可得其概率P(M)==. (2)(教材P238例9提升)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出两个球,求: ①样本空间的样本点的总数n; ②事件“摸出两个黑球”包含的样本点的个数; ③摸出两个黑球的概率. 【解析】由于4个球的大小相等,摸出的每个球的可能性是均等的,所以是古典概型. ①将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出两个球, 样本空间Ω={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)},共有6个样本点,即n=6; ②事件“摸出两个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共有3个样本点; ③样本点总数为6,事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数为3,故摸出两个黑球的概率为=. 【总结升华】 求解古典概型“四步”法 【即学即练】 1.甲、乙、丙三人玩传球游戏,每个人都等可能地把球传给另一人,由甲开始传球,作为第一次传球,经过3次传球后,球回到甲手中的概率为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.设甲、乙、丙三人用a,b,c表示, 由题意可知:传球的方式有以下形式, (a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,b,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),(a,c,b,a),(a,c,b,c), 所求概率为=. 2.随着国潮的兴起,消费者对汉服的接受度日渐提高,数据显示,目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类,某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片,则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A,B,C,D,E,F, 从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有 (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种, 设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”, 则事件M包含的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(C,D),(D,E),(D,F),共9种, 故所求概率P(M)==. 类型3较复杂的古典概型计算(数学运算) 【典例3】(教材P237例8提升)将一枚骰子先后抛掷两次,记录向上的点数,求: (1)点数之和为7的概率; (2)掷出两个4点的概率; (3)点数之和能被3整除的概率. 【解析】如图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,样本点与所描点一一对应. 由图知,样本点总数为36个. (1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有6个(已用虚线圈出), 故P(A)==; (2)记“掷出两个4点”为事件B,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4),故P(B)=; (3)记“点数之和能被3整除”为事件C,从图中可以看出,事件C包含的样本点共有12个(已用实线圈出), 故P(C)==. 【即学即练】 1.(多选)5张奖券中有2张是中奖的,甲先抽取一张,然后乙抽取一张,则下列结论正确的是 (　　) A.甲中奖的概率P(A)= B.乙中奖的概率P(B)= C.只有乙中奖的概率P(C)= D.甲、乙都中奖的概率P(D)= 【解析】选AD.设中奖奖券为1,2,不中奖的奖券为3,4,5,则随机试验的样本空间为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个样本点, 事件甲中奖包含(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),共8个样本点,所以事件甲中奖的概率P(A)==,A正确; 事件乙中奖包含(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共8个样本点,所以事件乙中奖的概率P(B)==,B错误; 事件只有乙中奖包含(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),共6个样本点,所以事件只有乙中奖的概率P(C)==,C错误; 事件甲、乙都中奖包含(1,2),(2,1),共2个样本点,所以事件甲、乙都中奖的概率P(D)==,D正确. 2.(2025·景德镇高一检测)有甲、乙两个盒子,其中甲盒中装有四张卡片,分别写有:奇函数、偶函数、增函数、减函数,乙盒中也装有四张卡片,分别写有函数:f1(x)=x2,f2(x)=-x+1,f3(x)=,f4(x)=. (1)若从乙盒中任取两张卡片,求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率; (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片,乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时,则称为一个“奇遇”,现从两盒中各取一张卡片,求它们恰好“奇遇”的概率. 【解析】(1)乙盒中的4个函数, f1(x)=x2,f2(x)=-x+1,f3(x)=,f4(x)=分别记为1,2,3,4, 从乙盒中任取两张卡片,所有的取法为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种, 又函数f1(x),f2(x)的定义域均为R,函数f3(x)的定义域为[0,+∞),函数f4(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 所取函数的定义域不同的取法有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5种, 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为. (2)把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减, 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有(奇,1),(奇,2),(奇,3),(奇,4),(偶,1),(偶,2),(偶,3),(偶,4),(增,1),(增,2),(增,3),(增,4),(减,1),(减,2),(减,3),(减,4), 共16种取法. 又f1(x)是偶函数,f4(x)是奇函数,f2(x)是减函数,f3(x)是增函数, 恰为“奇遇”的有(偶,1),(奇4),(减,2),(增,3),共4种,所以“奇遇”的概率为=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $