1.导学案 10 第10章 阶段提升课(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

阶段提升课 知识网络·体系构建 重点题型·深研突破 题型一　频率与概率 常考题型 掌握随机事件概率的应用 解题关键 通过具体实例,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.了解概率的意义及频率与概率的区别 核心素养 数学抽象、数学运算 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到如表: 电影 类型 第一 类 第二 类 第三 类 第四 类 第五 类 第六 类 电影 部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)? 【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000(部), 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50(部),故所求概率为=0.025; (2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372(部), 故所求概率估计为1-=0.814; (3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率. 题型二　古典概型 常考题型 古典概型概率的计算 解题关键 抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.在应用公式P(A)=时,关键在于正确理解试验的发生过程,求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k 核心素养 数学抽象、数据分析 1.(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有21种不同的取法,分别是(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8), 若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P==. 2.(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法;在符合上述要求的选法中,选中方格中的四个数之和的最大值是　　　　.  11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【解析】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有1个方格被选中,则第一行有4个方格可选,第二行有3个方格可选,第三行有2个方格可选,第四行有1个方格可选,所以共有4×3×2×1=24种选法. 最大值为15+21+33+43=112. 答案:24　112 3.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为　　　　.  【解析】设这5名同学分别为甲,乙,1,2,3,从这5名同学中随机选3名, 共有10种选法,分别是:(甲,乙,1),(甲,乙,2),(甲,乙,3),(甲,1,2),(甲,1,3),(甲,2,3),(乙,1,2),(乙,1,3), (乙,2,3),(1,2,3).其中,甲、乙都入选的选法有3种,故所求概率P=. 答案: 题型三　互斥事件、对立事件和相互独立事件 常考题型 互斥事件的概率加法公式的应用;复杂事件的概率的求解 解题关键 判断事件彼此是否互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和 核心素养 逻辑推理、数学运算 1.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 【解析】选B.P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)==, P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), P(甲丁)==P(甲)P(丁), P(乙丙)=≠P(乙)P(丙), P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁). 2.(多选)甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以事件A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列命题正确的是 (　　) A.事件A1,A2互斥 B.事件B与事件A1相互独立 C.P(A1B)= D.P(B)= 【解析】选ACD.根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点个数, 所以事件A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故A正确; P(A1)=,P(A2)=,P(B)==, P(A1B)==,故C,D正确; 因为P(A1B)=,P(A1)P(B)=×=,则P(A1B)≠P(A1)P(B),事件B与事件A1不相互独立,故B错误. 题型四　概率与统计的综合问题 常考题型 概率和统计的交会 解题关键 古典概型的知识 核心素养 逻辑推理、数学运算 1.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率; (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【解析】(1)由题中两分厂产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4; 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28. (2)由题意和题中表格知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数如表所示: 利润 65 25 -5 -75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为×(65×40+25×20-5×20-75×20)=15. 由题意和题中表格知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数如表所示: 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为×(70×28+30×17+0×34-70×21)=10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润可知,应选甲分厂承接加工业务. 2.(2022·新高考Ⅱ卷节选)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据的频率分布直方图: (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组数据用该组区间的中点值为代表); (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)内的概率. 【解析】(1)平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁); (2)设事件A=“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)内”,则P(A)=1-P()=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 知识网络·体系构建 重点题型·深研突破 阶段提升课 内容概览 01 知识网络·体系构建 返回 返回 02 重点题型·深研突破 返回 题型一　频率与概率 常考题型 掌握随机事件概率的应用 解题关键 通过具体实例,了解随机事件发生的不确定性和频率 的稳定性.了解概率的意义及频率与概率的区别 核心素养 数学抽象、数学运算 返回 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到如表: 电影 类型 第一 类 第二 类 第三 类 第四 类 第五 类 第六 类 电影 部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 返回 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四 类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好 评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类 电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总 部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)? 返回 【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2 000(部), 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50(部), 故所求概率为=0.025; (2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372(部), 故所求概率估计为1-=0.814; (3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率. 返回 题型二　古典概型 常考题型 古典概型概率的计算 解题关键 抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.在应 用公式P(A)=时,关键在于正确理解试验的发生过程,求出 试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k 核心素养 数学抽象、数据分析 返回 1.(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概 率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有21种不同的取法, 分别是 (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6), (5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8), 若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求 概率P==. √ 返回 2.(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰 有一个方格被选中,则共有　　　　种选法;在符合上述要求的选法中,选中 方格中的四个数之和的最大值是　　　　.  11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 返回 【解析】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有1个方格被选中,则第一行 有4个方格可选,第二行有3个方格可选,第三行有2个方格可选,第四行有1个 方格可选,所以共有4×3×2×1=24种选法. 最大值为15+21+33+43=112. 答案:24　112 返回 3.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则 甲、乙都入选的概率为　　　　.  【解析】设这5名同学分别为甲,乙,1,2,3,从这5名同学中随机选3名, 共有10种选法,分别是:(甲,乙,1),(甲,乙,2),(甲,乙,3),(甲,1,2),(甲,1,3), (甲,2,3),(乙,1,2),(乙,1,3), (乙,2,3),(1,2,3).其中,甲、乙都入选的选法有3种,故所求概率P=. 答案: 返回 题型三　互斥事件、对立事件和相互独立事件 常考题型 互斥事件的概率加法公式的应用;复杂事件的概率的 求解 解题关键 判断事件彼此是否互斥,然后求出各事件分别发生的 概率,再求和 核心素养 逻辑推理、数学运算 返回 1.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次 取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出 的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件 “两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 √ 返回 【解析】选B.P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)==, P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), P(甲丁)==P(甲)P(丁), P(乙丙)=≠P(乙)P(丙), P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁). 返回 2.(多选)甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲 罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以事件A1,A2表示由甲罐中取出的球是红 球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以事件B表示从乙罐中取出的 球是红球的事件,下列命题正确的是 (　　) A.事件A1,A2互斥 B.事件B与事件A1相互独立 C.P(A1B)= D.P(B)= √ √ √ 返回 【解析】选ACD.根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点个数, 所以事件A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故A正确; P(A1)=,P(A2)=,P(B)==, P(A1B)==,故C,D正确; 因为P(A1B)=,P(A1)P(B)=×=,则P(A1B)≠P(A1)P(B),事件B与事件A1不 相互独立,故B错误. 返回 题型四　概率与统计的综合问题 常考题型 概率和统计的交会 解题关键 古典概型的知识 核心素养 逻辑推理、数学运算 返回 1.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D 四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加 工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有 甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工 成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加 工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 返回 乙分厂产品等级的频数分布表 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率; (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为 依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务? 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 返回 【解析】(1)由题中两分厂产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一 件产品为A级品的概率的估计值为=0.4; 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28. (2)由题意和题中表格知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数如表所示: 利润 65 25 -5 -75 频数 40 20 20 20 返回 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 ×(65×40+25×20-5×20-75×20)=15. 由题意和题中表格知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数如表所示: 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 ×(70×28+30×17+0×34-70×21)=10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润可知,应选甲分厂承接加工业务. 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 返回 2.(2022·新高考Ⅱ卷节选)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这 种疾病患者的年龄,得到如下样本数据的频率分布直方图: (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同 一组数据用该组区间的中点值为代表); (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于 区间[20,70)内的概率. 返回 【解析】(1)平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017 +75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁); (2)设事件A=“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)内”, 则P(A)=1-P()=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89. 返回 $