1.导学案 03 第10章 10.1.2 事件的关系和运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 10.1.2　事件的关系和运算 内容概览 【学习目标】 1.了解随机事件的交、并含义.(数学抽象) 2.理解互斥事件、对立事件的概念.(数学抽象) 3.能结合实例进行随机事件的交、并运算.(逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 事件的关系和运算 项目 定义 符号和图形表示 包含 关系 一般地,对于事件A与事件B,若事件A发 生,则事件B_________,就称事件B包 含事件A(或事件A包含于事件B) _____(或_____) 相等 关系 如果事件B包含事件A,事件A也包含 事件B,则称事件A与事件B相等 若B⊇A且A⊇B,则A=B 一定发生 B⊇A A⊆B 返回 项目 定义 符号和图形表示 并 事 件 一般地,事件A与事件B至少有一个发生, 这样的一个事件中的样本点或者在事件 A中,或者在事件B中,称这个事件为事件 A与事件B的并事件(或和事件) ______(或_____) 交 事 件 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的 一个事件中的样本点既在事件A中,也在 事件B中,称这样的一个事件为事件A与 事件B的交事件(或积事件) _____(或____) A∪B A+B A∩B AB 返回 项目 定义 符号和图形表示 互 斥 事 件 一般地,如果事件A与事件B___________ ___,也就是说A∩B是一个___________,则 称事件A与事件B互斥(或互不相容) _______ 对 立 事 件 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生,那么称事件A与事 件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∪B=Ω,且A∩B=⌀ 不能同时发 生 不可能事件 A∩B=⌀ 返回 【思考】 互斥事件与对立事件的关系? 提示:对立事件是特殊的互斥事件,“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件.( ) 提示:反例:抛掷一枚骰子,事件A:向上的点数小于5,事件B:向上的点数大于2, 则事件A∪B是必然事件,但事件A和B不是对立事件. (2)只有当A中的样本点都发生了,事件A才发生.( ) 提示:在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生. (3)若事件A与B互为对立事件,则事件A与B一定为互斥事件.( ) 提示:互为对立事件一定互斥,但是互斥不一定互为对立. (4)两个相等的事件总是同时发生或同时不发生.( ) × × √ √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1判断两个事件的关系(数学抽象) 【典例1】(1)(2025·石家庄高一检测)同时抛掷两枚硬币,“向上的面都是正 面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则有(　　) A.A=B 　　B.A⊇B C.A⊆B 　　D.A与B之间没有关系 【解析】选C.由同时抛掷两枚硬币,样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正), (反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A⊆B. √ 返回 (2)抛掷一枚骰子,观察其向上的点数,可能得到以下事件:A=“出现1点”; B=“出现2点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出 现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请判断下列事件的关系: ①B　　　　H; ②D　　　　J;  ③E　　　　I; ④A　　　　G.  返回 【解析】①因为“出现的点数小于5”包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H. ②“出现偶数点”包括出现2点,出现4点,出现6点三种情况,所以事件D发生时,事件J必然发生,故D⊆J, ③“出现奇数点”包括出现1点,出现3点,出现5点三种情况,所以事件E发生时,事件I必然发生,故E⊆I. ④“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况,即事件A与事件G相等,故A=G. 答案:①⊆　②⊆　③⊆　④= 返回 【总结升华】 判断事件之间的关系的方法 (1)分别列出两事件所包含的样本点. (2)根据样本点的异同判断两事件的关系. 返回 【即学即练】 连续掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B 为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的 包含关系. 【解析】当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生, 因此有A⊆C,B⊆C; 当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生, 因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 返回 类型2事件的运算(数学抽象) 【典例2】(1)(多选)(2025·十堰高一检测)对空中飞行的飞机连续射击两次, 每次发射一枚炮弹,设事件A=“两弹都击中飞机”,事件B=“两弹都没击中飞 机”,事件C=“恰有一弹击中飞机”,事件D=“至少有一弹击中飞机”,下列关系 正确的是(　　) A.A⊆D　 B.B∩D=⌀ C.A∪C=D D.A∪C=B∪D √ √ √ 返回 【解析】选ABC.因为样本空间Ω为{两弹都没击中飞机,第一枚击中第二枚 没击中飞机,第一枚没击中第二枚击中飞机,两弹都击中飞机}, “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击 中; “至少有一弹击中飞机”包含两种情况:恰有一弹击中,两弹都击中. 所以A∪C=D,B∩D=⌀,B∪D=Ω, 所以A⊆D,A∪C≠B∪D,故选项A,B,C正确,D错误. 返回 (2)(2025·南京高一检测)抛掷一枚骰子,下列事件:A={出现奇数点},B={出 现偶数点},C={点数小于3},D={点数不大于2}.求: ①A∩B,BC;②A∪B,B+C;③D,AC. 【解析】①A事件包含的基本事件为{出现1,3,5点}, B事件包含的基本事件为{出现2,4,6点}, C事件包含的基本事件为{出现1,2点},故A∩B=⌀,BC={出现2点}; ②A∪B={出现1,2,3,4,5或6点},B+C={出现1,2,4或6点}. ③D={点数小于或等于2}={出现1或2点};AC={出现1点}. 返回 【总结升华】 事件间运算的方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有的样本点,分析并利 用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有的样本 点,把这些结果在图中列出,进行运算. 返回 【即学即练】 1.(多选)(2025·驻马店高一检测)某同学参加3次不同测试,用事件Ji(i=1,2,3) 表示随机事件“第i(i=1,2,3)次测试成绩及格”,则下列说法正确的是(　　) A.J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B.表示后两次测试成绩均不及格 C.J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格 D.∩∩表示三次测试成绩均不及格 √ √ √ 返回 【解析】选BCD.因为J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格,故A错 误; 因为J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格,所以表 示后两次测试成绩均不及格,故B正确; J1∩J2∩J3表示J1,J2,J3同时发生,即表示三次测试成绩均及格,故C正确; 表示测试成绩均不及格,所以∩∩表示三次测试成绩均不及格,故D正 确. 返回 2.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张形状大小一样的卡片上,并随机抽取1 张.设A:出现奇数,B:出现被3除余2的数.用集合的形式表示下列事件: (1)A,B至少有一个发生; (2)A,B同时发生. 【解析】(1)由题意可知A={1,3,5,7,9},B={2,5,8},所以A,B至少有一个发生 为A∪B={1,2,3,5,7,8,9}. (2)A∩B={5}. 返回 类型3互斥事件与对立事件(数学抽象、逻辑推理) 【典例3】判断下列各事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中: (1)恰有1名男生和恰有2名男生; (2)至少有1名男生和至少有1名女生; (3)至少有1名男生和全是男生; (4)至少有1名男生和全是女生. 返回 【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件. 理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”, 它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是 必然事件,所以不是对立事件; (2)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结 果. “至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们 可同时发生; 返回 (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全 是男生”可同时发生. (4)是互斥事件,也是对立事件. 理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结 果,它与“全是女生”不可能同时发生,所以是互斥事件,又其并事件是必然事 件,所以是对立事件. 返回 【总结升华】 辨析互斥事件与对立事件的方法 (1)从发生的角度看 ①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可 能同时发生. ②两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生,即两事件对立,必定互斥, 但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. (2)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件. 返回 【即学即练】 判断下列每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10)中任取1张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 返回 【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同 时发生的,所以是互斥事件.由于还可能抽出“方块”或“梅花”,因此二者不是 对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个 事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对 立事件. 返回 (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的 牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此二者不 是互斥事件,当然不可能是对立事件. 返回 $ 10.1.2　事件的关系和运算 【学习目标】 1.了解随机事件的交、并含义.(数学抽象) 2.理解互斥事件、对立事件的概念.(数学抽象) 3.能结合实例进行随机事件的交、并运算.(逻辑推理) 必备知识·自主导学 事件的关系和运算 项目 定义 符号和图形表示 包 含 关 系 一般地,对于事件A与事件B,若事件A发生,则事件B一定发生,就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相 等 关 系 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,则称事件A与事件B相等 若B⊇A且A⊇B,则A=B 并 事 件 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B) 交 事 件 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互 斥 事 件 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=⌀ 对 立 事 件 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∪B=Ω,且A∩B=⌀ 【思考】 互斥事件与对立事件的关系? 提示:对立事件是特殊的互斥事件,“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件. (×) 提示:反例:抛掷一枚骰子,事件A:向上的点数小于5,事件B:向上的点数大于2,则事件A∪B是必然事件,但事件A和B不是对立事件. (2)只有当A中的样本点都发生了,事件A才发生. (×) 提示:在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生. (3)若事件A与B互为对立事件,则事件A与B一定为互斥事件. (√) 提示:互为对立事件一定互斥,但是互斥不一定互为对立. (4)两个相等的事件总是同时发生或同时不发生. (√) 关键能力·师生共研 类型1判断两个事件的关系(数学抽象) 【典例1】(1)(2025·石家庄高一检测)同时抛掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则有 (　　) A.A=B 　　B.A⊇B C.A⊆B 　　D.A与B之间没有关系 【解析】选C.由同时抛掷两枚硬币,样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A⊆B. (2)抛掷一枚骰子,观察其向上的点数,可能得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请判断下列事件的关系: ①B　　　　H;②D　　　　J;  ③E　　　　I; ④A　　　　G.  【解析】①因为“出现的点数小于5”包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H. ②“出现偶数点”包括出现2点,出现4点,出现6点三种情况,所以事件D发生时,事件J必然发生,故D⊆J, ③“出现奇数点”包括出现1点,出现3点,出现5点三种情况,所以事件E发生时,事件I必然发生,故E⊆I. ④“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况,即事件A与事件G相等,故A=G. 答案:①⊆　②⊆　③⊆　④= 【总结升华】 判断事件之间的关系的方法 (1)分别列出两事件所包含的样本点. (2)根据样本点的异同判断两事件的关系. 【即学即练】 连续掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的包含关系. 【解析】当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A⊆C,B⊆C; 当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生, 因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 类型2事件的运算(数学抽象) 【典例2】(1)(多选)(2025·十堰高一检测)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A=“两弹都击中飞机”,事件B=“两弹都没击中飞机”,事件C=“恰有一弹击中飞机”,事件D=“至少有一弹击中飞机”,下列关系正确的是 (　　) A.A⊆D　 B.B∩D=⌀ C.A∪C=D D.A∪C=B∪D 【解析】选ABC.因为样本空间Ω为{两弹都没击中飞机,第一枚击中第二枚没击中飞机,第一枚没击中第二枚击中飞机,两弹都击中飞机}, “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中; “至少有一弹击中飞机”包含两种情况:恰有一弹击中,两弹都击中. 所以A∪C=D,B∩D=⌀,B∪D=Ω, 所以A⊆D,A∪C≠B∪D,故选项A,B,C正确,D错误. (2)(2025·南京高一检测)抛掷一枚骰子,下列事件:A={出现奇数点},B={出现偶数点},C={点数小于3},D={点数不大于2}.求: ①A∩B,BC;②A∪B,B+C;③D,AC. 【解析】①A事件包含的基本事件为{出现1,3,5点}, B事件包含的基本事件为{出现2,4,6点}, C事件包含的基本事件为{出现1,2点}, 故A∩B=⌀,BC={出现2点}; ②A∪B={出现1,2,3,4,5或6点}, B+C={出现1,2,4或6点}. ③D={点数小于或等于2}={出现1或2点}; AC={出现1点}. 【总结升华】 事件间运算的方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有的样本点,分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有的样本点,把这些结果在图中列出,进行运算. 【即学即练】 1.(多选)(2025·驻马店高一检测)某同学参加3次不同测试,用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次测试成绩及格”,则下列说法正确的是 (　　) A.J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B.表示后两次测试成绩均不及格 C.J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格 D.∩∩表示三次测试成绩均不及格 【解析】选BCD.因为J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格,故A错误; 因为J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格,所以表示后两次测试成绩均不及格,故B正确; J1∩J2∩J3表示J1,J2,J3同时发生,即表示三次测试成绩均及格,故C正确; 表示测试成绩均不及格,所以∩∩表示三次测试成绩均不及格,故D正确. 2.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张形状大小一样的卡片上,并随机抽取1张.设A:出现奇数,B:出现被3除余2的数.用集合的形式表示下列事件: (1)A,B至少有一个发生; (2)A,B同时发生. 【解析】(1)由题意可知A={1,3,5,7,9},B={2,5,8},所以A,B至少有一个发生为A∪B={1,2,3,5,7,8,9}. (2)A∩B={5}. 类型3互斥事件与对立事件(数学抽象、逻辑推理) 【典例3】判断下列各事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中: (1)恰有1名男生和恰有2名男生; (2)至少有1名男生和至少有1名女生; (3)至少有1名男生和全是男生; (4)至少有1名男生和全是女生. 【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件. 理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件; (2)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果. “至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生; (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生. (4)是互斥事件,也是对立事件. 理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,所以是互斥事件,又其并事件是必然事件,所以是对立事件. 【总结升华】 辨析互斥事件与对立事件的方法 (1)从发生的角度看 ①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生. ②两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生,即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. (2)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件. 【即学即练】 判断下列每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10)中任取1张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.由于还可能抽出“方块”或“梅花”,因此二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $