1.导学案 03 第6章 6.2.1 向量的加法运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量加法运算专题，将向量加法的概念、三角形法则、平行四边形法则及运算律等核心考点按“概念-法则-运算律-应用”逻辑构建知识网络，通过问题链和对比表格引导学生自主辨析法则差异与联系，形成结构化认知框架。 亮点在于自主诊断与分层提升设计，开篇“明辨是非”判断题帮助学生自测概念理解，“即学即练”题分基础应用与综合拓展层次，培养直观想象和数学运算素养。每个模块配有法则对比表和错题归因提示，助力学生个性化查漏补缺，教师可通过学情反馈精准指导，有效提升复习效率。

6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 【学习目标】 1.掌握向量加法的概念.(数学抽象) 2.了解向量加法的运算法则,理解其几何意义.(直观想象) 3.会利用向量加法解决简单的实际问题.(数学建模) 必备知识·自主导学 一、向量的加法及法则 1.定义:求两个向量和的运算. 2.向量加法的三角形法则 (1)作法:两个非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b; (2)结论:向量叫做a与b的和; (3)记法:a+b,即a+b=+=. 3.向量加法的平行四边形法则 (1)作法:以同一个起点O作两个向量=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB(OC为对角线); (2)结论:以O为起点的向量叫做a与b的和; (3)记法:a+b,即a+b=+=. 4.规定:a+0=0+a=a. 5.|a+b|,|a|,|b|的关系 一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立. 【点拨】 1.向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,再首尾连”,平行四边形法则强调起点相同; 2.三角形法则适用于不共线向量,也可适用于共线向量,而平行四边形法则只适用于不共线向量. 3.向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接,其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点,即++…+=. 二、向量加法的运算律 1.交换律:a+b=b+a. 2.结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)+=. (√) 提示:根据向量加法的三角形法则知+=正确. (2)两个向量的和不可能与这两个向量共线. (×) 提示:当两向量共线时,这两个向量的和与这两个向量共线,所以错误. (3)++=0.(×) 提示:向量的和还是一个向量,++=0,所以错误. (4)小张向东走3 km,接着向北走3 km,则小张走的位移是向东北走3 km.(√) 提示:位移是向量,向东和向北走的都是3 km,由向量加法的三角形法则知,小张走的位移是东北方向3 km. 关键能力·师生共研 类型1向量加法运算(数学运算) 【典例1】(1)点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则++=(　　) A.　 B.　 C.　 D.0 【解析】选A.++=. (2)在四边形ABCD中,若=+,则(　　) A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 【解析】选D.因为=+,=+,所以+=+, 所以=,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形. 【总结升华】 向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系 项目 区别 联系 三角形法则 (1)首尾顺次相接 (2)适用于任意两个非零向量求和 当两个向量不共线时,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边 形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 提醒:求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单. 【即学即练】 1.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++=(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=. 2.根据图示填空: (1)a+b=　　　　　　　　;  (2)c+d=　　　　　　　　  ; (3)a+b+d=　　　　　　  ; (4)c+d+e=　　　　　　  . 答案:(1)c　(2)f　(3)f　(4)g 类型2向量加法的运算律(逻辑推理) 【典例2】(1)四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.++=++=+=. (2)(多选)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算正确的是(　　) A.+= B.++= C.++= D.++=0 【解析】选AD.由向量加法的平行四边形法则可知+=,故A正确; ++=+=≠,故B不正确; ++=+=,故C不正确; ++=++=+=0,故D正确. 【总结升华】 利用向量加法化简的依据 (1)向量加法的运算法则:三角形法则和平行四边形法则,多个向量的和同样遵循“首尾相接,首尾连”,当多个向量首尾相连形成封闭图形时,各向量和为零向量; (2)向量加法的运算律:交换律和结合律. 【即学即练】 1.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的向量的个数为(　　) A.5　 B.4　 C.3　 D.2 【解析】选A.因为向量的加法满足交换律和结合律, 所以(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)都等于a+b+c. 2.向量++++化简后等于(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.由++++=++=. 类型3向量加法的应用(逻辑推理、数学建模) 角度1　几何中的应用 【典例3】若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　) A.正三角形　 B.锐角三角形 C.斜三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选D.由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=, 则|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2+||2=,所以△ABC为等腰直角三角形. 【总结升华】 向量加法的几何应用 利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合向量模长之间的关系,可以判断三角形、四边形的形状. 【即学即练】 在△ABC中,||=||=|+|,则△ABC是(　　) A.直角三角形　 B.等边三角形 C.钝角三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选B.+=,则||=||=||,故△ABC是等边三角形. 角度2　实际应用 【典例4】(一题多变) [母题](教材提升·例2)已知船在静水中的速度为40 m/min,水流的速度为20 m/min. (1)若船沿垂直于水流的方向航行,求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角的正切值). (2)若船沿垂直于水流的航线到达对岸,那么船行进方向应指向何处?实际航速为多少? 【解析】(1)如图所示, 表示船速,表示水速,以AD,AB为邻边作▱ABCD,则表示船实际航行的方向, 所以||=||=40,||=20, 在Rt△ABC中,tan∠BAC==2, 所以船实际行进的方向的正切值为2. (2)设表示水流的速度,表示船实际航行的速度,表示船航行的速度, 则四边形ABCD为平行四边形, 所以=,∠DCA=90°, 因为∠DCA=90°,于是||===20, 所以∠DAC=30°,∠DAB=120°, 故船的行进方向与水流方向成120°,船的实际航速为20 m/min. [变式]如图,小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处,此时水流的速度为6 km/h,测得小船正以8 km/h的速度沿垂直水流的方向向河对岸行驶,求小船在静水中速度的大小及方向. 【解析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度,表示水流的速度,如图: 连接BC,过点B作AC的平行线,过点A作BC的平行线,两条直线交于点D, 则四边形ACBD为平行四边形, 所以就是小船在静水中的速度. 在Rt△BAC中,||=8 km/h,||=6 km/h, 所以||=||==10(km/h). 因为∠DAB=∠ABC, 所以tan∠DAB=tan∠ABC==, 所以小船在静水中的速度的大小为10 km/h,方向与水流方向的夹角为+∠DAB, 其中tan∠DAB=,∠DAB∈(0,). 【总结升华】 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题. (3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题. 【即学即练】 　如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计) 【解析】如图所示,设,分别表示A,B所受的力,重力10 N的物体W的重力用表示, 则+=. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°, ∠FCG=180°-120°=60°. 所以||=||cos 30°=10×=5(N), ||=||cos 60°=10×=5(N). 所以A处所受力的大小为5 N,B处所受力的大小为5 N. - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.2　 平面向量的运算 6.2.1　 向量的加法运算 内容概览 【学习目标】 1.掌握向量加法的概念.(数学抽象) 2.了解向量加法的运算法则,理解其几何意义.(直观想象) 3.会利用向量加法解决简单的实际问题.(数学建模) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、向量的加法及法则 1.定义:求两个向量和的运算. 2.向量加法的三角形法则 (1)作法:两个非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作 =a, =b; (2)结论:向量________叫做a与b的和; (3)记法:a+b,即a+b= + = . 返回 3.向量加法的平行四边形法则 (1)作法:以同一个起点O作两个向量 =a, =b,以OA,OB为_____ 作▱OACB(OC为对角线); (2)结论:以O为起点的向量______叫做a与b的和; (3)记法:a+b,即a+b= + = . 邻边 返回 4.规定:a+0=0+a=a. 5.|a+b|,|a|,|b|的关系 一般地,我们有|a+b|≤______,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立. |a|+|b| 返回 返回 二、向量加法的运算律 1.交换律:a+b=____. 2.结合律:(a+b)+c=________. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) + = . ( ) 提示:根据向量加法的三角形法则知 + = 正确. (2)两个向量的和不可能与这两个向量共线. ( ) 提示:当两向量共线时,这两个向量的和与这两个向量共线,所以错误. b+a a+(b+c) √ × 返回 (3) + + =0.( ) 提示:向量的和还是一个向量, + + =0,所以错误. (4)小张向东走3 km,接着向北走3 km,则小张走的位移是向东北走 3 km.( ) 提示:位移是向量,向东和向北走的都是3 km,由向量加法的三角形法则知,小张走的位移是东北方向3 km. × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 √ 返回 √ 返回 【总结升华】 向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系 提醒:求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单. 项目 区别 联系 三角形 法则 (1)首尾顺次相接 (2)适用于任意两个非零向量求和 当两个向量不共线时,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边 形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 返回 √ 返回 2.根据图示填空: (1)a+b=　　　　　　　　;  (2)c+d=　　　　　　　　  ; (3)a+b+d=　　　　　　  ; (4)c+d+e=　　　　　　  . 答案:(1)c　(2)f　(3)f　(4)g 返回 √ 返回 √ √ 返回 返回 【总结升华】 利用向量加法化简的依据 (1)向量加法的运算法则:三角形法则和平行四边形法则,多个向量的和同样遵循“首尾相接,首尾连”,当多个向量首尾相连形成封闭图形时,各向量和为零向量; (2)向量加法的运算律:交换律和结合律. 返回 【即学即练】 1.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的向量的个数为(　　) A.5　 B.4　 C.3　 D.2 【解析】选A.因为向量的加法满足交换律和结合律, 所以(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)都等于a+b+c. √ 返回 √ 返回 类型3向量加法的应用(逻辑推理、数学建模) 角度1　几何中的应用 √ 返回 【总结升华】 向量加法的几何应用 利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合向量模长之间的关系,可以判断三角形、四边形的形状. 返回 √ 返回 角度2　实际应用 【典例4】(一题多变) [母题](教材提升·例2)已知船在静水中的速度为40 m/min,水流的速度为 20 m/min. (1)若船沿垂直于水流的方向航行,求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角的正切值). (2)若船沿垂直于水流的航线到达对岸,那么船行进方向应指向何处?实际航速为多少? 返回 返回 返回 [变式]如图,小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处,此时水流的速度为6 km/h,测得小船正以8 km/h的速度沿垂直水流的方向向河对岸行驶,求小船在静水中速度的大小及方向. 返回 返回 【总结升华】 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题. (3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题. 返回 【即学即练】 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°, ∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计) 返回 返回 【点拨】 1.向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,再首尾连”,平行四边形法则强调起点相同; 2.三角形法则适用于不共线向量,也可适用于共线向量,而平行四边形法则只适用于不共 线向量. 3.向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接,其和为由第一个向量的起点到最后一 个向量的终点,即++…+=. 类型1向量加法运算(数学运算) 【典例1】(1)点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则++=(　　) A.　 B.　 C.　 D.0 【解析】选A.++=. (2)在四边形ABCD中,若=+,则(　　) A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 【解析】选D.因为=+,=+,所以+=+, 所以=,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形. 【即学即练】 1.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++=(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则, 得++=+=. 类型2向量加法的运算律(逻辑推理) 【典例2】(1)四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.++=++=+=. (2)(多选)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算正确的是(　　) A.+= B.++= C.++= D.++=0 【解析】选AD.由向量加法的平行四边形法则可知+=,故A正确; ++=+=≠,故B不正确; ++=+=,故C不正确; ++=++=+=0,故D正确. 2.向量++++化简后等于(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.由++++=++=. 【典例3】若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　) A.正三角形　 B.锐角三角形 C.斜三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选D.由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=, 则|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2+||2=,所以△ABC为等腰直角三角形. 【即学即练】 在△ABC中,||=||=|+|,则△ABC是(　　) A.直角三角形　 B.等边三角形 C.钝角三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选B.+=,则||=||=||,故△ABC是等边三角形. 【解析】(1)如图所示, 表示船速,表示水速,以AD,AB为邻边作▱ABCD, 则表示船实际航行的方向, 所以||=||=40,||=20, 在Rt△ABC中,tan∠BAC==2, 所以船实际行进的方向的正切值为2. (2)设表示水流的速度,表示船实际航行的速度,表示船航行的速度, 则四边形ABCD为平行四边形, 所以=,∠DCA=90°, 因为∠DCA=90°,于是||===20, 所以∠DAC=30°,∠DAB=120°, 故船的行进方向与水流方向成120°,船的实际航速为20 m/min. 【解析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度,表示水流的速度,如图: 连接BC,过点B作AC的平行线,过点A作BC的平行线,两条直线交于点D, 则四边形ACBD为平行四边形, 所以就是小船在静水中的速度. 在Rt△BAC中,||=8 km/h,||=6 km/h, 所以||=||==10(km/h). 因为∠DAB=∠ABC, 所以tan∠DAB=tan∠ABC==, 所以小船在静水中的速度的大小为10 km/h,方向与水流方向的夹角为+∠DAB, 其中tan∠DAB=,∠DAB∈(0,). 【解析】如图所示,设,分别表示A,B所受的力,重力10 N的物体W的重力用表示, 则+=. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°, ∠FCG=180°-120°=60°. 所以||=||cos 30°=10×=5(N), ||=||cos 60°=10×=5(N). 所以A处所受力的大小为5 N,B处所受力的大小为5 N. $