1.导学案 08 第9章 9.2.4 总体离散程度的估计(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

9.2.4　总体离散程度的估计 【学习目标】 1.理解样本数据方差、标准差的意义与作用,会计算样本数据的方差与标准差.(数学抽象、数学运算) 2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).(数据分析) 必备知识·自主导学 一、总体离散程度的估计 1.方差:给定一组数据x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数,则s2=(xi-)2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=-为这组数据的方差. 2.标准差:方差的算术平方根,即为这组数据的标准差. 3.总体方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则总体方差为S2=(Yi-)2,总体标准差为S=. 如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频率为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=fi. 二、分层随机抽样的方差 假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2,则=xi,s2=(xi-)2,=yi,t2=(yi-)2. 若记样本平均数值为,样本方差为b2,则可以算出=(xi+yi)=,b2==[(ms2+nt2)+(-)2]. 【思考】 1.数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差为s2,数据x1,x2,…,xn,的方差为,那么s2与的大小关系如何? 提示:因为数据x1,x2,…,xn,比数据x1,x2,…,xn更加相对集中,所以方差变小了,即<s2. 三、方差和标准差的意义和性质 1.意义 方差和标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 2.若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,标准差为s,则 (1)x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数为+b,方差仍为s2,标准差仍为s; (2)ax1,ax2,…,axn的平均数为a,方差为a2s2,标准差为as; (3)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b,方差为a2s2,标准差为as. 【教材深化】 方差的简化计算公式:s2=[(++…+)-n]或写成s2=(++…+)-.即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方. 【思考】 2.标准差的取值范围是什么?标准差为0的一组数据有什么特点? 提示:标准差的取值范围是[0,+∞),标准差为0的一组数据各项都相同,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)计算分层随机抽样的方差时,没必要知道各层的样本量与总体的个体数的比值. (×) 提示:需要知道各层的样本量与总体中个体数的比值. (2)方差是标准差的平方. (√) 提示:标准差的平方s2叫做方差. (3)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. (×) 提示:标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中. 关键能力·师生共研 类型1方差、标准差的计算(数学运算) 【典例1】(2025·重庆高一检测)某中学校园歌手决赛中,由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组,给参赛选手打分,下面是两组评委对同一名选手的打分: 小组A:85　86　92　87　89　95　82　91　85 小组B:95　93　51　88　90　89　91　92　94 (1)分别求两组评委打分的平均数. (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成,根据所学的统计知识,说明理由. 【解析】(1)记小组A的数据依次为xi,小组B的数据依次为yi,i=1,2,…,9,由题意可得:每组的平均数分别为:=xi=88,=yi=87. (2)A组更像是由专业人士组成,理由如下: 两组的方差分别为:=(xi-88)2≈14.9, =(yi-87)2≈166.7. 由于专业人士给分更符合专业规则,相似程度更高,≈14.9,≈166.7,因而14.9<166.7, 根据方差越大数据波动越大,因此A组更像是由专业人士组成的. 【总结升华】 计算方差、标准差的步骤 (1)计算样本的平均数; (2)计算每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n); (3)计算(xi-)2(i=1,2,…,n); (4)计算(xi-)2(i=1,2,…,n)这n个数据的平均数,即为样本方差s2; (5)计算方差的算术平方根,即为样本的标准差s. 【即学即练】 1.某公司10位员工的月工资(单位:元)分别为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为和s2.若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为 (　　) A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2 【解析】选D.方法一:因为每个数据都加上100,故平均数也增加100,而离散程度应保持不变,那这10位员工下月工资的平均数为+100,方差为s2. 方法二:由题意知,x1+x2+…+x10=10,s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2],则所求平均数为=[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=(10+10×100)=+100, 所求方差为=[(x1+100-)2+(x2+100-)2+…+(x10+100-)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2. 2.已知数据x1,x2,x3,…,x8的平均数为8,方差为6,则3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x8+2的平均数和方差分别为 (　　) A.26,54　 B.26,56 C.24,54　 D.24,56 【解析】选A.由题意数据x1,x2,x3,…,x8的平均数为=8,方差为s2=6, 根据平均数和方差性质可得 数据3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x8+2的平均数为3+2=3×8+2=26,方差为32s2=9×6=54. 类型2方差标准差统计图的综合应用(数学运算) 【典例2】(1)(2025·湖北高一检测)现有甲、乙两个AI大模型,在对甲、乙两个大模型进行深度体验后,6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分),得到如图所示的统计表格,则下列结论不正确的是 (　　) 项目 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B.甲得分的众数大于乙得分的众数 C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 【解析】选A.甲、乙的得分从小到大排列如下: 甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3, 乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1, 甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确,不符合题意; 甲得分的众数8.9,乙得分的众数为8.6,甲得分的众数大于乙得分的众数,故B正确,不符合题意; 甲得分的平均数=8.6, 乙得分的平均数=8.6,所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数,故A错误,符合题意; 甲的方差=[(7.0-8.6)2+(8.3-8.6)2+(8.9-8.6)2+(8.9-8.6)2+(9.2-8.6)2+(9.3-8.6)2]≈0.613 3, 乙的方差为=[(8.1-8.6)2+(8.5-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.7-8.6)2+(9.1-8.6)2]≈0.086 7, 故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D正确,不符合题意. (2)某地区教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答,该地区有小学生4 500人,初中生4 300人,高中生2 200人,按学段比例分层抽样,从中抽取220名学生,对其成绩进行统计分析,得到如图所示的频率分布直方图. ①求频率分布直方图中a的值; ②用样本估计总体,估计该地区成绩的中位数(保留小数点后两位),并估计该地区学生成绩大于等于90分的人数; ③教育局的工作人员在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数:x1,x2,x3,…,x10,已知这10个分数的平均数=90,方差s2=25,若去掉其中的最高分98和最低分86,求剩余8个分数的平均数与方差.(参考数据:982=9 604,862=7 396,89.52=8 010.25) 【解析】①由10×(0.010+0.015+0.015+0.025+a+0.005)=1,解得a=0.030. ②因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5, 所以中位数在区间[70,80)内,设中位数为x, 由(x-70)×0.030=0.5-0.4,解得x=≈73.33,即估计该地区成绩的中位数为73.33分; 估计该地区学生成绩大于等于90分的人数为(4 500+4 300+2 200)×0.05=550(人). ③由题意,剩余8个分数的平均值为===89.5, 因为10个分数的方差s2==25, 所以+…+=10×25+10×(90)2=81 250, 所以剩余8个分数的方差 ====21, 即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5,21. 【总结升华】 根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系的两种方法 (1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值,然后比较大小; (2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为烦琐,可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小. 【即学即练】 1.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋,称得质量如条形图所示.s1,s2,s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差,则有 (　　) A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1 【解析】选C.根据题意,甲厂的平均数=×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差=×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=1.25,标准差s1=; 乙厂的平均数=×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差=×[4×(7-8.5)2+6×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+4×(10-8.5)2]=1.05,标准差s2=; 丙厂的平均数=×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8.5, 方差=×[6×(7-8.5)2+4×(8-8.5)2+4×(9-8.5)2+6×(10-8.5)2]=1.45,标准差s3=. 所以s3>s1>s2. 2.甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温(单位:℃)如下: 项目 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 甲地 19 17 8 4 6 4 9 乙地 20 17 11 10 9 9 11 记这7天甲地每天最低气温的平均数为,标准差为s1;记这7天乙地每天最低气温的平均数为,标准差为s2.根据上述信息,下列结论中正确的是 (　　) A.<,s1<s2 B.<,s1>s2 C.>,s1<s2 D.>,s1>s2 【解析】选B.依题意,==,==,则<; =[(19-)2+(17-)2++(4-)2+(6-)2+(4-)2+(9-)2], 故s1=, =[(20-)2+(17-)2+(11-)2+(10-)2+(9-)2+(9-)2+(11-)2],s2=,s1>s2. 类型3分层随机抽样的方差(数学运算) 【典例3】甲、乙两名射击手在相同条件下共射靶18次,每次命中的环数分别如下. 甲:8,9,7,8,6,7,9,10; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)求甲、乙两名射击手这18次射击命中环数的平均数和方差(精确到0.01). 【解析】(1)由题意知=×(8+9+7+8+6+7+9+10)=8,=×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7. (2)由方差公式得=×[(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=1.5, =×[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2]=1.2. (3)由题意可知甲射击手的射击次数与甲、乙射击总次数的比值w甲=,乙射击手的射击次数与甲、乙射击总次数的比值w乙=,甲、乙两名射击手这18次射击命中环数的平均数=w甲+w乙=×8+×7≈7.44,方差s2=w甲[+(-)2]+w乙[+(-)2]=×[1.5+(8-7.44)2]+×[1.2+(7-7.44)2]≈1.58. 【即学即练】 志愿者的服务工作是马拉松比赛成功举办的重要保障,某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了200名侯选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同. (1)求a,b的值; (2)若面试成绩前68名为优秀,请估计优秀成绩的最低分; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人,担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40,据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差. (注:若将总体划分为若干层,随机抽取两层,通过分层随机抽样,每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:m,,,n,,.记这两层总的样本平均数为,样本方差为s2,则s2={m[+]+n[+]}) 【解析】(1)由题意可知, ,解得. (2)由(1)可知每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,设优秀成绩的最低分为x, 因为=0.34,故优秀成绩的最低分x∈[65,75), 所以0.2+0.05+(75-x)×0.045=0.34, 可得x=73,所以优秀成绩的最低分为73. (3)设第二组、第四组的平均数分别为,,方差分别为,, 且各组频率之比为:(0.005×10)∶(0.025×10)∶(0.045×10)∶(0.02×10)∶(0.005×10)=1∶5∶9∶4∶1, 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者×20=5人, 第四组面试者×20=4人, 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数:==70, 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差: s2=[+]+[+]=×[30+(62-70)2]+×[40+(80-70)2]=, 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 9.2.4　总体离散程度的估计 内容概览 【学习目标】 1.理解样本数据方差、标准差的意义与作用,会计算样本数据的方差与标准差.(数学抽象、数学运算) 2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).(数据分析) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、总体离散程度的估计 1.方差:给定一组数据x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数,则s2=(xi-)2 =[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=为这组数据的方差. 2.标准差:方差的算术平方根,即为这组数据的标准差. - 返回 3.总体方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则总体方 差为S2=,总体标准差为S=. 如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中 Yi出现的频率为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=. (Yi-)2 fi 返回 二、分层随机抽样的方差 假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2,则=xi,s2=(xi-)2,=yi, t2=(yi-)2. 若记样本平均数值为,样本方差为b2,则可以算出 =(xi+yi)=,b2= =. [(ms2+nt2)+(-)2] 返回 【思考】 1.数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差为s2,数据x1,x2,…,xn,的方差为,那么s2与的大小关系如何? 提示:因为数据x1,x2,…,xn,比数据x1,x2,…,xn更加相对集中,所以方差变小了,即<s2. 返回 三、方差和标准差的意义和性质 1.意义 方差和标准差刻画了数据的___________________,标准差越大,数据的离 散程度越___;标准差越小,数据的离散程度越___. 2.若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,标准差为s,则 (1)x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数为+b,方差仍为___,标准差仍为__; (2)ax1,ax2,…,axn的平均数为a,方差为____,标准差为___; (3)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b,方差为____,标准差为___. 离散程度或波动幅度 大 小 s2 s a2s2 as a2s2 as 返回 【教材深化】 方差的简化计算公式:s2=[(++…+)-n]或写成 s2=(++…+)-.即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的 平方. 返回 【思考】 2.标准差的取值范围是什么?标准差为0的一组数据有什么特点? 提示:标准差的取值范围是[0,+∞),标准差为0的一组数据各项都相同,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)计算分层随机抽样的方差时,没必要知道各层的样本量与总体的个体数的比 值.( ) 提示:需要知道各层的样本量与总体中个体数的比值. (2)方差是标准差的平方.( ) 提示:标准差的平方s2叫做方差. (3)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各 个样本数据在样本平均数周围越分散.( ) 提示:标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散;标准差越小,表明 各个样本数据在样本平均数周围越集中. × √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1方差、标准差的计算(数学运算) 【典例1】(2025·重庆高一检测)某中学校园歌手决赛中,由9名专业人士和9 名观众代表各组成一个评委小组,给参赛选手打分,下面是两组评委对同一 名选手的打分: 小组A:85　86　92　87　89　95　82　91　85 小组B:95　93　51　88　90　89　91　92　94 (1)分别求两组评委打分的平均数. (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成,根据所学的统计知 识,说明理由. 返回 【解析】(1)记小组A的数据依次为xi,小组B的数据依次为yi,i=1,2,…,9,由题 意可得:每组的平均数分别为:=xi=88,=yi=87. (2)A组更像是由专业人士组成,理由如下: 两组的方差分别为:=(xi-88)2≈14.9,=(yi-87)2≈166.7. 由于专业人士给分更符合专业规则,相似程度更高,≈14.9,≈166.7,因而 14.9<166.7, 根据方差越大数据波动越大,因此A组更像是由专业人士组成的. 返回 【总结升华】 计算方差、标准差的步骤 (1)计算样本的平均数; (2)计算每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n); (3)计算(xi-)2(i=1,2,…,n); (4)计算(xi-)2(i=1,2,…,n)这n个数据的平均数,即为样本方差s2; (5)计算方差的算术平方根,即为样本的标准差s. 返回 【即学即练】 1.某公司10位员工的月工资(单位:元)分别为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分 别为和s2.若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工 资的平均数和方差分别为(　　) A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2 √ 返回 【解析】选D.方法一:因为每个数据都加上100,故平均数也增加100,而离散 程度应保持不变,那这10位员工下月工资的平均数为+100,方差为s2. 方法二:由题意知,x1+x2+…+x10=10,s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2],则所求平均数为=[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=(10+10×100)=+100, 所求方差为=[(x1+100-)2+(x2+100-)2+…+(x10+100-)2]=[(x1-)2 +(x2-)2+…+(x10-)2]=s2. 返回 2.已知数据x1,x2,x3,…,x8的平均数为8,方差为6, 则3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x8+2的平均数和方差分别为 (　　) A.26,54　 B.26,56 C.24,54　 D.24,56 【解析】选A.由题意数据x1,x2,x3,…,x8的平均数为=8,方差为s2=6, 根据平均数和方差性质可得 数据3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x8+2的平均数为3+2=3×8+2=26, 方差为32s2=9×6=54. √ 返回 类型2方差标准差统计图的综合应用(数学运算) 【典例2】(1)(2025·湖北高一检测)现有甲、乙两个AI大模型,在对甲、乙 两个大模型进行深度体验后,6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分),得 到如图所示的统计表格,则下列结论不正确的是(　　) A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B.甲得分的众数大于乙得分的众数 C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 项目 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 √ 返回 【解析】选A.甲、乙的得分从小到大排列如下: 甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3, 乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1, 甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,甲得分的中位数大于乙得分 的中位数,故C正确,不符合题意; 甲得分的众数8.9,乙得分的众数为8.6,甲得分的众数大于乙得分的众数,故 B正确,不符合题意; 甲得分的平均数=8.6, 返回 乙得分的平均数=8.6,所以甲得分的平均数等于乙得 分的平均数,故A错误,符合题意; 甲的方差=[(7.0-8.6)2+(8.3-8.6)2+(8.9-8.6)2+(8.9-8.6)2+(9.2-8.6)2+ (9.3-8.6)2]≈0.613 3, 乙的方差为=[(8.1-8.6)2+(8.5-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.7-8.6)2+ (9.1-8.6)2]≈0.086 7, 故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D正确,不符合题意. 返回 (2)某地区教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答,该地区有小学生4 500人, 初中生4 300人,高中生2 200人,按学段比例分层抽样,从中抽取220名学生,对其成 绩进行统计分析,得到如图所示的频率分布直方图. ①求频率分布直方图中a的值; ②用样本估计总体,估计该地区成绩的中位数(保留小数 点后两位),并估计该地区学生成绩大于等于90分的人数; ③教育局的工作人员在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数:x1,x2,x3,…,x10,已 知这10个分数的平均数=90,方差s2=25,若去掉其中的最高分98和最低分86,求 剩余8个分数的平均数与方差.(参考数据:982=9 604,862=7 396,89.52=8 010.25) 返回 【解析】①由10×(0.010+0.015+0.015+0.025+a+0.005)=1,解得a=0.030. ②因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5, 所以中位数在区间[70,80)内,设中位数为x, 由(x-70)×0.030=0.5-0.4,解得x=≈73.33,即估计该地区成绩的中位数为 73.33分; 估计该地区学生成绩大于等于90分的人数为(4 500+4 300+2 200)×0.05 =550(人). 返回 ③由题意,剩余8个分数的平均值为===89.5, 因为10个分数的方差s2==25, 所以+…+=10×25+10×(90)2=81 250, 所以剩余8个分数的方差 ====21, 即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5,21. 返回 【总结升华】 根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系的两种方法 (1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值,然后比较大小; (2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为烦琐,可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小. 返回 【即学即练】 1.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋,称得质量如条形 图所示.s1,s2,s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差,则有 (　　) A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1 √ 返回 【解析】选C.根据题意,甲厂的平均数=×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差=×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=1.25,标准差s1=; 乙厂的平均数=×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差=×[4×(7-8.5)2+6×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+4×(10-8.5)2]=1.05,标准差s2=; 丙厂的平均数=×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8.5, 方差=×[6×(7-8.5)2+4×(8-8.5)2+4×(9-8.5)2+6×(10-8.5)2]=1.45,标准差s3=. 所以s3>s1>s2. 返回 2.甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温(单位:℃)如下: 记这7天甲地每天最低气温的平均数为,标准差为s1;记这7天乙地每天最 低气温的平均数为,标准差为s2.根据上述信息,下列结论中正确的是(　　) A.<,s1<s2 B.<,s1>s2 C.>,s1<s2 D.>,s1>s2 项目 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 甲地 19 17 8 4 6 4 9 乙地 20 17 11 10 9 9 11 √ 返回 【解析】选B.依题意,==,==, 则<; =[(19-)2+(17-)2++(4-)2+(6-)2+(4-)2+(9-)2], 故s1=, =[(20-)2+(17-)2+(11-)2+(10-)2+(9-)2+(9-)2+(11-)2], s2=,s1>s2. 返回 类型3分层随机抽样的方差(数学运算) 【典例3】甲、乙两名射击手在相同条件下共射靶18次,每次命中的环数分 别如下. 甲:8,9,7,8,6,7,9,10; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)求甲、乙两名射击手这18次射击命中环数的平均数和方差(精确到0.01). 返回 【解析】(1)由题意知=×(8+9+7+8+6+7+9+10)=8,=×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7. (2)由方差公式得=×[(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=1.5, =×[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2]=1.2. (3)由题意可知甲射击手的射击次数与甲、乙射击总次数的比值w甲=,乙射击手的射击 次数与甲、乙射击总次数的比值w乙=,甲、乙两名射击手这18次射击命中环数的平均数=w甲+w乙=×8+×7≈7.44,方差s2=w甲[+(-)2]+w乙[+(-)2]=×[1.5+(8-7.44)2]+×[1.2+(7-7.44)2]≈1.58. 返回 【即学即练】 志愿者的服务工作是马拉松比赛成功举办的重要保障,某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了200名侯选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同. 返回 (1)求a,b的值; (2)若面试成绩前68名为优秀,请估计优秀成绩的最低分; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人,担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40,据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差. (注:若将总体划分为若干层,随机抽取两层,通过分层随机抽样,每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:m,,,n,,.记这两层总的样本平均数为,样本方差为s2,则s2={m[+]+n[+]}) 返回 【解析】(1)由题意可知, ,解得. (2)由(1)可知每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,设优秀成绩的最低分 为x, 因为=0.34,故优秀成绩的最低分x∈[65,75), 所以0.2+0.05+(75-x)×0.045=0.34, 可得x=73,所以优秀成绩的最低分为73. 返回 (3)设第二组、第四组的平均数分别为,,方差分别为,, 且各组频率之比为: (0.005×10)∶(0.025×10)∶(0.045×10)∶(0.02×10)∶(0.005×10)=1∶5∶9∶4∶1, 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者×20=5人, 第四组面试者×20=4人, 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数:==70, 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差: s2=[+]+[+]=×[30+(62-70)2]+×[40+(80-70)2]=, 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是. 返回 $