1.导学案 07 第9章 9.2.3 总体集中趋势的估计(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

9.2.3　总体集中趋势的估计 【学习目标】 1.会求样本数据的众数、中位数、平均数.(数据分析) 2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、众数、中位数、平均数的定义 1.众数:一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数:把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 3.平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数. 版本交融 (人BP66尝试与发现) 中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点?如果不能,有什么补救的办法? 提示:当数据个数较多时,中位数是不足以体现数据的分布特征的,此时可以借助多个百分位数了解数据的分布特征. 教材挖掘(P205) 中位数一定是样本数据中的一个数吗? 提示:不一定.一组数据按从大到小(或从小到大)的顺序排列后,如果有奇数个数据,处于中间位置的数是中位数;如果有偶数个数据,则中间两个数据的平均数是中位数. 【教材深化】 众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均 数 与中位数相比,平均数反映出样本数据中更多的信息,对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分,对极端值不敏感 二、众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系 1.平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 2.中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. 3.众数:众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 【思考】 频率分布直方图中计算出的众数、中位数、平均数是精确值吗? 提示:不是. 三、总体集中趋势的估计 1.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关. 2.单峰频率分布直方图的平均数与中位数的关系 形状 关系 对称 平均数与中位数差不多,如图(1) 右边“拖尾” 平均数大于中位数,如图(2) 左边“拖尾” 平均数小于中位数,如图(3) 平均数总是在“长尾巴”那边 3.对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用平均数、中位数;对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用众数. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平均数与每一个数据都有关,受极端值的影响. (√) 提示:根据平均数的计算公式可知正确. (2)若直方图单峰且形状对称,则平均数与中位数基本一致. (√) 提示:根据直方图的对称性可知,平均数与中位数可能一致. (3)一组数据的众数只有一个. (×) 提示:一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,中位数只有一个. 关键能力·师生共研 类型1根据样本数据求众数、中位数和平均数(数学运算) 【典例1】(1)(2025·天津高一检测)从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试,测试成绩为68,81,79,81,90,86,74,84,69,78,设学生测试成绩的平均数、中位数、众数分别为a,b,c,则 (　　) A.a=b<c B.a<b=c C.a<b<c D.b<a<c 【解析】选C.平均数a=(68+81+79+81+90+86+74+84+69+78)=79, 数据从小到大排列为68,69,74,78,79,81,81,84,86,90.第五个数为79,第六个数为81,所以中位数b=×(79+81)=80, 出现次数最多的是众数,所以众数c=81, 所以a<b<c. (2)有一组数据24,29,x,25,22,x+1,20,24,28,25.若该组数据的中位数与众数相等,则平均数为 (　　) A.24.4 B.25.8 C.24.4或25.8 D.24.4或24.8 【解析】选D.将已知数据从小到大排列为20,22,24,24,25,25,28,29. 因为原组数据的中位数与众数相等, 且每组数据的中位数是唯一的,所以该组数据的众数也是唯一确定的. 又已知的数据中除24,25外其他数据均只出现一次,且x与x+1不可能相等,故众数只能是24和25中的一个. 若中位数与众数均为24,则x+1=24,x=23,此时平均数为×(20+22+23+24+24+24+25+25+28+29)=24.4; 若中位数与众数均为25,则x=25, 此时平均数为×(20+22+24+24+25+25+25+26+28+29)=24.8,故该组数据的平均数为24.4或24.8. 【即学即练】 1.一组数据a,5,6,7,7,8,11,12的平均数为8,则这组数据的中位数为 (　　) A.6.5 B.7 C.7.5 D.8 【解析】选C.由题意得=8,解得a=8.将题中数据按从小到大的顺序排列为5,6,7,7,8,8,11,12,则中位数为=7.5. 2.已知一组数据为5,2,x,5,8,9,且5<x<8.若该组数据的众数是中位数的,则该组数据的平均数为 (　　) A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 【解析】选A.因为5<x<8,所以这组数据按从小到大的顺序排列为2,5,5,x,8,9,则该组数据的众数是5.又该组数据的众数是中位数的,所以中位数是6,即=6,解得x=7,则该组数据的平均数为×(2+5+5+7+8+9)=6. 类型2根据频率分布表或直方图求众数、中位数和平均数(数学运算) 【典例2】某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. (1)求某户居民的用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份用电费用小于260元的占80%,求a,b的值; (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数和平均数. 【解析】(1)当0≤x≤200时,y=0.5x; 当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60; 当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140. 所以y与x之间的函数解析式为 y=. (2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量小于400千瓦时的占80%, 结合频率分布直方图可知, , 解得a=0.001 5,b=0.002 0. (3)设75%分位数为m, 由题图知,用电量低于300千瓦时的频率为 (0.001 0+0.002 0+0.003 0)×100=0.6, 用电量低于400千瓦时的频率为0.8, 所以75%分位数在[300,400)内, 所以0.6+(m-300)×0.002 0=0.75,解得m=375, 即用电量的75%分位数为375千瓦时. 平均数=50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.002×100+450×0.001 5×100 +550×0.000 5×100=275(千瓦时). 【总结升华】 利用频率分布直方图求数字特征的方法 (1)众数即为出现次数最多的数,所以它的频率最大,在最高的小矩形中.中位数把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标.平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和. (2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数. 【即学即练】 (2025·邯郸高一检测)在一次数学智力测验中,将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图(每组为左闭右开的区间),根据此频率分布直方图,下列结论正确的是 (　　) A.这100名参赛者中成绩在[80,90)内的频率为0.012 B.这100名参赛者中成绩在[70,90)内的人数为14 C.这100名参赛者的平均成绩为68.2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表) D.这100名参赛者成绩的中位数为75 【解析】选C.由题中频率分布直方图可得(0.008+a+0.020+0.032+0.020+0.008)×10=1,解得a=0.012, 所以成绩在[80,90)内的频率为0.012×10=0.12,故A不正确; 这100名参赛者中,成绩在[70,90)内的频率为(0.020+0.012)×10=0.32,100×0.32=32(人), 所以成绩在[70,90)内的人数为32,故B不正确; 根据题中频率分布直方图及平均数的计算公式可得=45×0.08+55×0.2+65×0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2,故C正确; 根据题中频率分布直方图可得,中位数在[60,70)之间,故D不正确. 类型3总体集中趋势的估计(数据分析) 【典例3】(1)如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图①为对称形态,图②为“右拖尾”形态,图③为“左拖尾”形态,根据所给图作出以下判断,正确的是 (　　) A.图①的平均数=中位数>众数 B.图②的众数<中位数<平均数 C.图②的平均数<众数<中位数 D.图③的中位数<平均数<众数 【解析】选B.题图①的分布直方图是对称的,所以平均数=中位数=众数,故A错误; 题图②频率直方图可得,单峰不对称且“右拖尾”,最高峰偏左,众数最小, 平均数易受极端值的影响,与中位数相比,平均数总是在“拖尾”那边,平均数大于中位数,故B正确,C错误; 同理题图③“左拖尾”,众数最大,平均数小于中位数,故D错误. (2)据了解,某公司的33名职工月工资(单位:元)如下: 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000 ①求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; ②假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元,董事长的工资从11 000元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到1元) ③你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法. 【解析】①平均数是=4 000+×(7 000+6 000+5 000×2+4 000+2 500×5+1 500×3+0×20)≈ 4 000+1 333=5 333(元). 中位数是4 000元,众数是4 000元. ②新的平均数是'=4 000+×(26 000+16 000+5 000×2+4 000+2 500×5+1 500×3+0×20)≈4 000+2 212=6 212(元),中位数是4 000元,众数是4 000元. ③在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司职工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平. 【即学即练】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄(单位:岁)如下: 甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17 乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57 (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征? 【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁), 中位数为15岁,众数为15岁,平均数、中位数和众数相等, 因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁), 中位数为5.5岁,众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童, 所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 9.2.3　总体集中趋势的估计 内容概览 【学习目标】 1.会求样本数据的众数、中位数、平均数.(数据分析) 2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、众数、中位数、平均数的定义 1.众数:一组数据中出现_____最多的数. 2.中位数:把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在_____位 置的数(或中间两个数的_______)叫做这组数据的中位数. 3.平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的 平均数. 次数 中间 平均数 返回 版本交融 (人BP66尝试与发现) 中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点?如果不能,有什么补救的办法? 提示:当数据个数较多时,中位数是不足以体现数据的分布特征的,此时可以借助多个百分位数了解数据的分布特征. 返回 教材挖掘(P205) 中位数一定是样本数据中的一个数吗? 提示:不一定.一组数据按从大到小(或从小到大)的顺序排列后,如果有奇数个数据,处于中间位置的数是中位数;如果有偶数个数据,则中间两个数据的平均数是中位数. 返回 【教材深化】 众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均 数 与中位数相比,平均数反映出样 本数据中更多的信息,对样本中 的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引 起平均数的改变.数据越“离群”, 对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序 靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息 的很少一部分,对极端值不敏感 返回 二、众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系 1.平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的 横坐标与小矩形的_____的乘积之和近似代替. 2.中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该 _____. 3.众数:众数是_____小矩形底边的中点所对应的数据. 【思考】 频率分布直方图中计算出的众数、中位数、平均数是精确值吗? 提示:不是. 面积 相等 最高 返回 三、总体集中趋势的估计 1.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布 的形态有关. 返回 2.单峰频率分布直方图的平均数与中位数的关系 形状 关系 对称 平均数与中位数差不多,如图(1) 右边“拖尾” 平均数大于中位数,如图(2) 左边“拖尾” 平均数小于中位数,如图(3) 平均数总是在“长尾巴”那边 返回 3.对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用 平均数、中位数;对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集 中趋势的描述,可以用_____. 众数 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平均数与每一个数据都有关,受极端值的影响.( ) 提示:根据平均数的计算公式可知正确. (2)若直方图单峰且形状对称,则平均数与中位数基本一致.( ) 提示:根据直方图的对称性可知,平均数与中位数可能一致. (3)一组数据的众数只有一个.( ) 提示:一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,中位数只有一个. √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1根据样本数据求众数、中位数和平均数(数学运算) 【典例1】(1)(2025·天津高一检测)从某学校高二年级随机抽取10名学生进 行数学能力测试,测试成绩为68,81,79,81,90,86,74,84,69,78,设学生测试成绩 的平均数、中位数、众数分别为a,b,c,则(　　) A.a=b<c B.a<b=c C.a<b<c D.b<a<c √ 返回 【解析】选C.平均数a=(68+81+79+81+90+86+74+84+69+78)=79, 数据从小到大排列为68,69,74,78,79,81,81,84,86,90.第五个数为79,第六个数 为81,所以中位数b=×(79+81)=80, 出现次数最多的是众数,所以众数c=81, 所以a<b<c. 返回 (2)有一组数据24,29,x,25,22,x+1,20,24,28,25.若该组数据的中位数与众数相 等,则平均数为 (　　) A.24.4 B.25.8 C.24.4或25.8 D.24.4或24.8 √ 返回 【解析】选D.将已知数据从小到大排列为20,22,24,24,25,25,28,29. 因为原组数据的中位数与众数相等, 且每组数据的中位数是唯一的,所以该组数据的众数也是唯一确定的. 又已知的数据中除24,25外其他数据均只出现一次,且x与x+1不可能相等,故众数只能是 24和25中的一个. 若中位数与众数均为24,则x+1=24,x=23,此时平均数为×(20+22+23+24+24+24+25+25+28+29)=24.4; 若中位数与众数均为25,则x=25, 此时平均数为×(20+22+24+24+25+25+25+26+28+29)=24.8,故该组数据的平均数为 24.4或24.8. 返回 【即学即练】 1.一组数据a,5,6,7,7,8,11,12的平均数为8,则这组数据的中位数为(　　) A.6.5 B.7 C.7.5 D.8 【解析】选C.由题意得=8,解得a=8.将题中数据按从小 到大的顺序排列为5,6,7,7,8,8,11,12,则中位数为=7.5. √ 返回 2.已知一组数据为5,2,x,5,8,9,且5<x<8.若该组数据的众数是中位数的,则该 组数据的平均数为(　　) A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 【解析】选A.因为5<x<8,所以这组数据按从小到大的顺序排列为 2,5,5,x,8,9,则该组数据的众数是5.又该组数据的众数是中位数的,所以中位 数是6,即=6,解得x=7,则该组数据的平均数为×(2+5+5+7+8+9)=6. √ 返回 类型2根据频率分布表或直方图求众数、中位数和平均数(数学运算) 【典例2】某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民 的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时 收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过 400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. 返回 (1)求某户居民的用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数 解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的 用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今 年1月份用电费用小于260元的占80%,求a,b的值; (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数和平均数. 返回 【解析】(1)当0≤x≤200时,y=0.5x; 当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60; 当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140. 所以y与x之间的函数解析式为y=. (2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量小于400千瓦时的占80%, 结合频率分布直方图可知, , 解得a=0.001 5,b=0.002 0. 返回 (3)设75%分位数为m, 由题图知,用电量低于300千瓦时的频率为 (0.001 0+0.002 0+0.003 0)×100=0.6, 用电量低于400千瓦时的频率为0.8, 所以75%分位数在[300,400)内, 所以0.6+(m-300)×0.002 0=0.75,解得m=375, 即用电量的75%分位数为375千瓦时. 平均数 =50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.002×100+450×0.001 5 ×100+550×0.000 5×100=275(千瓦时). 返回 【总结升华】 利用频率分布直方图求数字特征的方法 (1)众数即为出现次数最多的数,所以它的频率最大,在最高的小矩形中.中位数把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标.平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和. (2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数. 返回 【即学即练】 (2025·邯郸高一检测)在一次数学智力测验中,将100名参赛者的成绩进行分 组整理后得到如下频率分布直方图(每组为左闭右开的区间),根据此频率 分布直方图,下列结论正确的是(　　) A.这100名参赛者中成绩在[80,90)内的频率为0.012 B.这100名参赛者中成绩在[70,90)内的人数为14 C.这100名参赛者的平均成绩为68.2(同一组中的数 据用该组区间的中点值代表) D.这100名参赛者成绩的中位数为75 √ 返回 【解析】选C.由题中频率分布直方图可得(0.008+a+0.020+0.032+0.020+0.008)×10=1,解得a=0.012, 所以成绩在[80,90)内的频率为0.012×10=0.12,故A不正确; 这100名参赛者中,成绩在[70,90)内的频率为(0.020+0.012)×10=0.32,100×0.32=32(人), 所以成绩在[70,90)内的人数为32,故B不正确; 根据题中频率分布直方图及平均数的计算公式可得=45×0.08+55×0.2+65×0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2,故C正确; 根据题中频率分布直方图可得,中位数在[60,70)之间,故D不正确. 返回 类型3总体集中趋势的估计(数据分析) 【典例3】(1)如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图① 为对称形态,图②为“右拖尾”形态,图③为“左拖尾”形态,根据所给图作出以 下判断,正确的是(　　) A.图①的平均数=中位数>众数 B.图②的众数<中位数<平均数 C.图②的平均数<众数<中位数 D.图③的中位数<平均数<众数 √ 返回 【解析】选B.题图①的分布直方图是对称的,所以平均数=中位数=众数,故A错误; 题图②频率直方图可得,单峰不对称且“右拖尾”,最高峰偏左,众数最小, 平均数易受极端值的影响,与中位数相比,平均数总是在“拖尾”那边,平均数大于中位数,故B正确,C错误; 同理题图③“左拖尾”,众数最大,平均数小于中位数,故D错误. 返回 (2)据了解,某公司的33名职工月工资(单位:元)如下: ①求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; ②假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元,董事长的工资从11 000元提 升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到1元) ③你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平?结合此问题谈一谈你 的看法. 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000 返回 【解析】①平均数是=4 000+×(7 000+6 000+5 000×2+4 000+2 500 ×5+1 500×3+0×20)≈4 000+1 333=5 333(元). 中位数是4 000元,众数是4 000元. ②新的平均数是'=4 000+×(26 000+16 000+5 000×2+4 000+2 500×5+ 1 500×3+0×20)≈4 000+2 212=6 212(元),中位数是4 000元,众数是4 000元. ③在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司职工的工资水平,因为公司 中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位 数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平. 返回 【即学即练】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄(单位:岁) 如下: 甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17 乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57 (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能 较好地反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能 较好地反映乙群市民的年龄特征? 返回 【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁), 中位数为15岁,众数为15岁,平均数、中位数和众数相等, 因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁), 中位数为5.5岁,众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童, 所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差. 返回 $