1.导学案 06 第9章 9.2.2 总体百分位数的估计(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 9.2.2　总体百分位数的估计 内容概览 【学习目标】 1.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.(数学运算) 2.能在具体情境中运用百分位数解决问题.(数据分析、数学建模) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 百分位数 1.总体百分位数的估计 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有 ____的数据小于或等于这个值,且至少有_________的数据大于或等于这个值. 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步:按_________排列原始数据. 第2步:计算i=_______. 第3步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据,若i 是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的_______. p% (100-p)% 从小到大 n×p% 平均数 返回 3.四分位数 第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数这三个分位数把一组由小到大 排列后的数据分成四等份,因此称为_________,其中第25百分位数也称为 第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上 四分位数等. 温馨提示:中位数是第50百分位数. 四分位数 返回 【教材深化】 百分位数的特点 (1)一组数据的百分位数可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数; (2)第0百分位数为这组数据中最小的数,第100百分位数为这组数据中最大的数; (3)一组数据的某些百分位数可能是同一数. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第p百分位数一定是样本中的一个数.( ) 提示:第p百分位数不一定是样本中的一个数. (2)样本容量越大,求出的第p百分位数对总体的估计越接近.( ) 提示:样本容量越大,样本越接近于总体,所以第p百分位数对总体的估计越 接近. (3)第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数 值.( ) 提示:符合第p百分位数的概念. × √ √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1百分位数的计算(数据分析、数学运算) 【典例1】(1)北京市5月份某一周的日最高气温(单位:℃)分别为 25,28,30,29,31,32,28,则这周的日最高气温的第75百分位数为(　　) A.28 ℃　 B.29 ℃ C.31 ℃　 D.32 ℃ 【解析】选C.将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32, 因为7×75%=5.25,所以这周的日最高气温的第75百分位数为31 ℃. √ 返回 (2)从某公司生产的产品中,任意抽取12件,得到它们的质量(单位:kg)如下: 7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0, 分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数. 【解析】将所有数据从小到大排列, 得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9, 因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4, 则25%分位数是=8.15,75%分位数是=8.75,95%分位数是第 12个数据9.9. 返回 【总结升华】 总体百分位数估计需要注意的两个问题 (1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算,因此计算准确是关键; (2)由于样本容量比较少,对总体的估计可能存在误差,因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值. 返回 【即学即练】 1.(2025·襄阳高一检测)已知一组数据:70,72,75,76,82,83,84,a,90,其中第70百 分位数是84,则该实数a的取值范围是(　　) A.(84,90)　 B.[84,90) C.[84,+∞)　 D.(84,+∞) 【解析】选C.由题意知前7个数据已按从小到大排列,共有9个数据, 9×70%=6.3, 又第70百分位数是84,而84刚好是第7个数, 所以a≥84.即实数a的取值范围为[84,+∞). √ 返回 2.(2025·徐州高一检测)第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月 11日在法国巴黎举行,金牌榜前10名的国家的金牌数依次为 40,40,20,18,16,15,14,13,12,12,则这10个数的60%分位数是 (　　) A.14.5 B.15 C.16 D.17 【解析】选D.将这10个数据从小到大排列得:12,12,13,14,15,16,18,20,40,40, 因为10×60%=6,所以这10个数的60%分位数是=17. √ 返回 类型2统计图表中的百分位数 (数据分析、数学运算) 【典例2】(一题多解)为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了100 名同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位:元),其频率分 布直方图如图所示,估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数.(结 果保留两位小数) 返回 【解析】方法一:由题频率分布直方图可得, (0.01+0.023)×10=0.33,(0.01+0.023+0.037)×10=0.7,所以第65百分位数应 位于[30,40)内, 所以样本数据的第65百分位数为30+10×≈38.65(元), 所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元. 方法二:由方法一知第65百分位数应位于[30,40), 设为x,则0.01×10+0.023×10+(x-30)×0.037=0.65, 解得x≈38.65(元), 所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元. 返回 【总结升华】 频率分布直方图中第p百分位数的求解方法 模仿中位数的求解思路 (1)确定第p百分位数所在的区间[a,b). (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,则第p百分位数 为a+×(b-a). 返回 【即学即练】 某企业成立的党史学习教育督查组为调研本单位的党史学习情况,采用比 例分配的分层随机抽样方法从该企业抽取一个容量为100的样本,经过数据 搜集与处理,得到如下频数分布表: 周学习党史时间 (单位:分钟) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 高层管理人员 0 0 1 0 2 中层管理人员 1 0 2 2 4 普通员工 9 12 45 20 2 返回 (1)已知该企业的中、高层管理人员共有120人,求该企业普通员工的人数; (2)为激励先进、鞭策后进,督查组拟公布该企业全体人员的周学习党史时 间的平均数P(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)、第25百分 位数M及第75百分位数N,试求P,M,N的估计值(精确到0.1). 【解析】(1)设该企业普通员工的人数为n,因为样本中普通员工有88人,高 层管理人员和中层管理人员共有12人,所以=,解得n=880,所以该企业 普通员工的人数为880. 返回 (2)根据样本数据可得频数分布表如下: 所以估计周学习党史时间的样本数据的平均数为 ×(15×10+45×12+75×48+105×22+135×8)=×7 680=76.8(分钟). 因为10+12<25<10+12+48,所以周学习党史时间的样本数据的第25百分位 数在区间[60,90)内, 周学习党史时间 (单位:分钟) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 企业人员 10 12 48 22 8 返回 由60+30×≈61.9,可以估计周学习党史时间的样本数据的第25百分位 数约为61.9. 因为10+12+48<75<10+12+48+22,所以周学习党史时间的样本数据的第 75百分位数在区间[90,120)内, 由90+30×≈96.8,可以估计周学习党史时间的样本数据的第75百分位 数约为96.8, 用样本估计总体,可知P的估计值为76.8,M的估计值为61.9,N的估计值为 96.8. 返回 类型3百分位数的应用(数据分析、数学建模) 【典例3】(2025·武汉高一检测)某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本 市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨), 用水量不超过x的部分按平价收费,超过x的部分按议价收费,为了了解全市 居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月用水量(单 位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率 分布直方图. 返回 (1)求频率分布直方图中a的值; (2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明 理由. 【解析】(1)由题频率分布直方图,可得 (0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30. (2)由题频率分布直方图可知,100位居民每人月用水量不低于3吨的频率为 (0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12, 由以上样本频率分布,可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 800 000×0.12=96 000. 返回 (3)因为前6组的频率之和为 (0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85, 而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85, 所以2.5≤x<3, 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9, 因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 返回 【即学即练】 (2025·上海高一检测)某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校100名女大学生平均每日摄取的热量(单位:千大卡,1千大卡=1 000千卡),这组数据的频率分布直方图如图所示. 返回 (1)健康的成年女性每天需要摄取1.80~1.90千大卡(不含1.90千大卡)的热量, 试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内; (2)已知摄取热量范围在[1.90,2.00)的数据为: 1.90,1.90,1.91,1.91,1.91,1.93,1.94,1.94,1.95,1.95, 1.96,1.96,1.97,1.98,1.99.若1.91是这100个样本数据的第k百分位数,求正整 数k的值. 返回 【解析】(1)因为小长方形面积和为1, 所以0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+a+1.5+0.8+0.6+0.4)=1, 解得a=2.1,故比例为2.1×0.1×100%=21%, 综上,有21%的女大学生摄取的热量在此范围之内. (2)在区间[1.40,1.90)内有100×0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+2.1)=67(个)数, 所以1.91是这100个样本数据的第70,71,72个数, 则第70,71个数的平均数,或第71,72个数的平均数为1.91, 同时,第69,70个数的平均数,或第72,73个数的平均数皆不是1.91, 因为k∈Z*,所以100×k%=k为整数, 所以当1.91是这100个样本数据的第k百分位数时,必有k=70或k=71, 故k的值为70或71. 返回 $ 9.2.2　总体百分位数的估计 【学习目标】 1.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.(数学运算) 2.能在具体情境中运用百分位数解决问题.(数据分析、数学建模) 必备知识·自主导学 百分位数 1.总体百分位数的估计 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步:按从小到大排列原始数据. 第2步:计算i=n×p%. 第3步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据,若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 3.四分位数 第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数,其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 温馨提示:中位数是第50百分位数. 【教材深化】 百分位数的特点 　(1)一组数据的百分位数可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数; (2)第0百分位数为这组数据中最小的数,第100百分位数为这组数据中最大的数; (3)一组数据的某些百分位数可能是同一数. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第p百分位数一定是样本中的一个数.(×) 提示:第p百分位数不一定是样本中的一个数. (2)样本容量越大,求出的第p百分位数对总体的估计越接近. (√) 提示:样本容量越大,样本越接近于总体,所以第p百分位数对总体的估计越接近. (3)第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数值. (√) 提示:符合第p百分位数的概念. 关键能力·师生共研 类型1百分位数的计算(数据分析、数学运算) 【典例1】(1)北京市5月份某一周的日最高气温(单位:℃)分别为25,28,30,29,31,32,28,则这周的日最高气温的第75百分位数为 (　　) A.28 ℃　 B.29 ℃ C.31 ℃　 D.32 ℃ 【解析】选C.将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32,因为7×75%=5.25,所以这周的日最高气温的第75百分位数为31 ℃. (2)从某公司生产的产品中,任意抽取12件,得到它们的质量(单位:kg)如下: 7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0, 分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数. 【解析】将所有数据从小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9, 因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4, 则25%分位数是=8.15,75%分位数是=8.75,95%分位数是第12个数据9.9. 【总结升华】 总体百分位数估计需要注意的两个问题 (1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算,因此计算准确是关键; (2)由于样本容量比较少,对总体的估计可能存在误差,因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值. 【即学即练】 1.(2025·襄阳高一检测)已知一组数据:70,72,75,76,82,83,84,a,90,其中第70百分位数是84,则该实数a的取值范围是 (　　) A.(84,90)　 B.[84,90) C.[84,+∞)　 D.(84,+∞) 【解析】选C.由题意知前7个数据已按从小到大排列,共有9个数据,9×70%=6.3, 又第70百分位数是84,而84刚好是第7个数, 所以a≥84.即实数a的取值范围为[84,+∞). 2.(2025·徐州高一检测)第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行,金牌榜前10名的国家的金牌数依次为40,40,20,18,16,15,14,13,12,12,则这10个数的60%分位数是 (　　) A.14.5 B.15 C.16 D.17 【解析】选D.将这10个数据从小到大排列得:12,12,13,14,15,16,18,20,40,40,因为10×60%=6,所以这10个数的60%分位数是=17. 类型2统计图表中的百分位数 (数据分析、数学运算) 【典例2】(一题多解)为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了100名同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位:元),其频率分布直方图如图所示,估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数.(结果保留两位小数) 【解析】方法一:由题频率分布直方图可得,(0.01+0.023)×10=0.33,(0.01+0.023+0.037)×10=0.7,所以第65百分位数应位于[30,40)内, 所以样本数据的第65百分位数为30+10×≈38.65(元), 所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元. 方法二:由方法一知第65百分位数应位于[30,40), 设为x,则0.01×10+0.023×10+(x-30)×0.037=0.65, 解得x≈38.65(元), 所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元. 【总结升华】 频率分布直方图中第p百分位数的求解方法 模仿中位数的求解思路 (1)确定第p百分位数所在的区间[a,b). (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,则第p百分位数为a+×(b-a). 【即学即练】 某企业成立的党史学习教育督查组为调研本单位的党史学习情况,采用比例分配的分层随机抽样方法从该企业抽取一个容量为100的样本,经过数据搜集与处理,得到如下频数分布表: 周学习党史时间 (单位:分钟) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 高层管理人员 0 0 1 0 2 中层管理人员 1 0 2 2 4 普通员工 9 12 45 20 2 (1)已知该企业的中、高层管理人员共有120人,求该企业普通员工的人数; (2)为激励先进、鞭策后进,督查组拟公布该企业全体人员的周学习党史时间的平均数P(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)、第25百分位数M及第75百分位数N,试求P,M,N的估计值(精确到0.1). 【解析】(1)设该企业普通员工的人数为n,因为样本中普通员工有88人,高层管理人员和中层管理人员共有12人,所以=,解得n=880,所以该企业普通员工的人数为880. (2)根据样本数据可得频数分布表如下: 周学习党史时间 (单位:分钟) [0, 30) [30, 60) [60, 90) [90, 120) [120, 150] 企业人员 10 12 48 22 8 所以估计周学习党史时间的样本数据的平均数为 ×(15×10+45×12+75×48+105×22+135×8)=×7 680=76.8(分钟). 因为10+12<25<10+12+48,所以周学习党史时间的样本数据的第25百分位数在区间[60,90)内, 由60+30×≈61.9,可以估计周学习党史时间的样本数据的第25百分位数约为61.9. 因为10+12+48<75<10+12+48+22,所以周学习党史时间的样本数据的第75百分位数在区间[90,120)内, 由90+30×≈96.8,可以估计周学习党史时间的样本数据的第75百分位数约为96.8, 用样本估计总体,可知P的估计值为76.8,M的估计值为61.9,N的估计值为96.8. 类型3百分位数的应用(数据分析、数学建模) 【典例3】(2025·武汉高一检测)某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),用水量不超过x的部分按平价收费,超过x的部分按议价收费,为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由. 【解析】(1)由题频率分布直方图,可得 (0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30. (2)由题频率分布直方图可知,100位居民每人月用水量不低于3吨的频率为 (0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12, 由以上样本频率分布,可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 800 000×0.12=96 000. (3)因为前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85, 而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85, 所以2.5≤x<3, 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9, 因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 【即学即练】 (2025·上海高一检测)某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校100名女大学生平均每日摄取的热量(单位:千大卡,1千大卡=1 000千卡),这组数据的频率分布直方图如图所示. (1)健康的成年女性每天需要摄取1.80~1.90千大卡(不含1.90千大卡)的热量,试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内; (2)已知摄取热量范围在[1.90,2.00)的数据为:1.90,1.90,1.91,1.91,1.91,1.93,1.94,1.94,1.95,1.95, 1.96,1.96,1.97,1.98,1.99.若1.91是这100个样本数据的第k百分位数,求正整数k的值. 【解析】(1)因为小长方形面积和为1,所以0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+a+1.5+0.8+0.6+0.4)=1, 解得a=2.1,故比例为2.1×0.1×100%=21%, 综上,有21%的女大学生摄取的热量在此范围之内. (2)在区间[1.40,1.90)内有100×0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+2.1)=67(个)数, 所以1.91是这100个样本数据的第70,71,72个数, 则第70,71个数的平均数,或第71,72个数的平均数为1.91, 同时,第69,70个数的平均数,或第72,73个数的平均数皆不是1.91, 因为k∈Z*,所以100×k%=k为整数, 所以当1.91是这100个样本数据的第k百分位数时,必有k=70或k=71, 故k的值为70或71. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $