1.导学案 09 第9章 阶段提升课(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

阶段提升课 知识网络·体系构建 重点题型·深研突破 题型一　抽样方法的应用 常考题型 抽样方法的选择 解题关键 掌握两种抽样方法的区别 核心素养 直观想象、逻辑推理 1.完成下列抽样调查,较为合理的抽样方法依次是 (　　) ①从30件产品中抽取3件进行检查; ②某校高中三个年级共有2 460人,其中高一830人、高二820人、高三810人,为了了解学生对教学的建议,拟抽取一个样本量为300的样本. A.简单随机抽样,简单随机抽样 B.分层随机抽样,简单随机抽样 C.分层随机抽样,分层随机抽样 D.简单随机抽样,分层随机抽样 【解析】选D.对于①,从30件产品中抽取3件进行检查,总体的数量较少,且个体差异不明显,符合简单随机抽样的特点; 对于②,某校高中的三个年级,是差异明显的三个部分,符合分层随机抽样的特点. 2.在1 000个球中有红球50个,从中抽取100个进行分析,如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样,则应抽取红球的个数为 (　　) A.33　 B.20　 C.5　 D.10 【解析】选C.设应抽取红球x个,则=,解得x=5. 题型二　频率分布表、直方图的应用 常考题型 根据样本量的大小,我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图、频率折线图对总体情况作出估计 解题关键 掌握频率分布直方图的绘制及应用 核心素养 数学运算 1.(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并部分整理如表所示: 亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200] 生产数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论正确的是 (　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg到300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg到1 000 kg之间 【解析】选C.中位数在[1 050,1 100)内,A错; 亩产量低于1 100 kg的稻田有66块,达不到80%,B错; 1 150-950=200,1 200-900=300,极差在200 kg到300 kg之间,C正确; 亩产量小于1 000 kg的只有18块,平均值必定大于1 000 kg,D错. 2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 (　　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【解析】选C.因为频率分布直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率分布直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A项正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B项正确; 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%,故D项正确; 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13× 0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故C项错误. 题型三　总体集中趋势与离散程度的估计 常考题型 通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计;用方差s2反映样本数据离散程度的大小 解题关键 样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法 核心素养 数学运算 1.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 (　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差 【解析】选BD.对于选项A,如1,2,2,2,3,5的平均数为2.5,而2,2,2,3的平均数为2.25,不相等,故A错误;对于B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,其中位数为,x2,x3,x4,x5的中位数为,所以B正确;对于选项C,x1,x2,x3,x4,x5,x6的波动更大,所以C错误;对于D,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x5-x2≤x6-x1,故D正确. 2.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有 (　　) A. x1,x2,…,xn的标准差 B. x1,x2,…,xn的中位数 C. x1,x2,…,xn的极差 D. x1,x2,…,xn的平均数 【解析】选AC.由标准差的定义可知,标准差考察的是数据的离散程度;由中位数的定义可知,中位数考察的是数据的集中趋势;由极差的定义可知,极差考察的是数据的离散程度;由平均数的定义可知,平均数考察的是数据的集中趋势. 3.某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图: 则 (　　) A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【解析】选B.讲座前中位数为>70%,所以A错; 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对; 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差,所以C错; 讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%, 讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 知识网络·体系构建 重点题型·深研突破 阶段提升课 内容概览 01 知识网络·体系构建 返回 返回 02 重点题型·深研突破 返回 题型一　抽样方法的应用 常考题型 抽样方法的选择 解题关键 掌握两种抽样方法的区别 核心素养 直观想象、逻辑推理 返回 1.完成下列抽样调查,较为合理的抽样方法依次是 (　　) ①从30件产品中抽取3件进行检查; ②某校高中三个年级共有2 460人,其中高一830人、高二820人、高三810 人,为了了解学生对教学的建议,拟抽取一个样本量为300的样本. A.简单随机抽样,简单随机抽样 B.分层随机抽样,简单随机抽样 C.分层随机抽样,分层随机抽样 D.简单随机抽样,分层随机抽样 √ 返回 【解析】选D.对于①,从30件产品中抽取3件进行检查,总体的数量较少,且个体差异不明显,符合简单随机抽样的特点; 对于②,某校高中的三个年级,是差异明显的三个部分,符合分层随机抽样的特点. 返回 2.在1 000个球中有红球50个,从中抽取100个进行分析,如果用分层随机抽 样的方法对球进行抽样,则应抽取红球的个数为 (　　) A.33　 B.20　 C.5　 D.10 【解析】选C.设应抽取红球x个,则=,解得x=5. √ 返回 题型二　频率分布表、直方图的应用 常考题型 根据样本量的大小,我们可以选择利用样本的频率分布表、 频率分布直方图、频率折线图对总体情况作出估计 解题关键 掌握频率分布直方图的绘制及应用 核心素养 数学运算 返回 1.(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻,得 到各块稻田的亩产量(单位:kg)并部分整理如表所示: 根据表中数据,下列结论正确的是 (　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg到300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg到1 000 kg之间 亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200] 生产数 6 12 18 30 24 10 √ 返回 【解析】选C.中位数在[1 050,1 100)内,A错; 亩产量低于1 100 kg的稻田有66块,达不到80%,B错; 1 150-950=200,1 200-900=300,极差在200 kg到300 kg之间,C正确; 亩产量小于1 000 kg的只有18块,平均值必定大于1 000 kg,D错. 返回 2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年 收入的调查数据整理得到如图所示频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计 为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率 估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 √ 返回 【解析】选C.因为频率分布直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样 本频率分布直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入 低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A项正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B 项正确; 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%,故D项正确; 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12× 0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故C项错误. 返回 题型三　总体集中趋势与离散程度的估计 常考题型 通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数 字特征对总体的数字特征作出估计;用方差s2反映样本 数据离散程度的大小 解题关键 样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法 核心素养 数学运算 返回 1.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,其中x1是最小值,x6是最大 值,则 (　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差 【解析】选BD.对于选项A,如1,2,2,2,3,5的平均数为2.5,而2,2,2,3的平均数为2.25,不 相等,故A错误;对于B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,其中位数为,x2,x3,x4,x5的中位数 为,所以B正确;对于选项C,x1,x2,x3,x4,x5,x6的波动更大,所以C错误;对于D,不妨设 x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x5-x2≤x6-x1,故D正确. √ √ 返回 2.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程 度的有 (　　) A. x1,x2,…,xn的标准差 B. x1,x2,…,xn的中位数 C. x1,x2,…,xn的极差 D. x1,x2,…,xn的平均数 【解析】选AC.由标准差的定义可知,标准差考察的是数据的离散程度;由 中位数的定义可知,中位数考察的是数据的集中趋势;由极差的定义可知,极 差考察的是数据的离散程度;由平均数的定义可知,平均数考察的是数据的 集中趋势. √ √ 返回 3.某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果, 随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知 识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图: 则(　　) A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座 后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 √ 返回 【解析】选B.讲座前中位数为>70%,所以A错; 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%, 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对; 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准 差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差,所以C错; 讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%, 讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错. 返回 $