1.导学案 02 第9章 9.1.1 简单随机抽样(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

9.1　随机抽样 9.1.1　简单随机抽样 【学习目标】 1.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.(数学抽象) 2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.(数学抽象) 3.会计算样本均值和总体均值,了解样本与总体的关系.(数据分析) 必备知识·自主导学 一、全面调查和抽样调查 调查 方式 全面调查 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查 相关 概念 总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体. 个体:组成总体的每一个调查对象称为个体 样本:我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本. 样本容量:样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量 特点 花费巨大财力、物力、人力 花费少、效率高 二、简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法称为放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法称为不放回简单随机抽样 简单随机抽样:放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 【思考】 1.简单随机抽样有什么特点? 提示:(1)有限性:总体中个体数有限; (2)逐一性:从总体中逐一抽取,这样便于在抽样试验中进行操作; (3)等可能性:简单随机抽样是一种等可能抽样,在整个抽样过程中每个个体被抽取到的可能性相等,从而保证了这种抽样方式的公平性. 2.用简单随机抽样抽取样本,样本量是否越大越好? 提示:用简单随机抽样的方法抽取样本时,一般说来,样本量大的会好于样本量小的,尤其是样本量不大时,增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是,在实际抽样中,样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加.因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并不一定是越大越好. 三、简单随机抽样的方法 1.抽签法 先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数. 2.随机数法 (1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数. (2)产生随机数的方法: ①用随机试验生成随机数,②用信息技术生成随机数:(ⅰ)用计算器生成随机数;(ⅱ)用电子表格软件生成随机数;(ⅲ)用R统计软件生成随机数. 四、用样本平均数估计总体的平均数 1.总体平均数 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称=Yi为总体均值,又称总体平均数. 2.样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称=yi为样本均值,又称样本平均数. 我们常用样本平均数去估计总体平均数. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)科学的抽样所得到的样本能真实地反映总体. (×) 提示:一般通过样本去估计总体,所以样本只能近似地反映总体. (2)简单随机抽样就是随便抽取样本. (×) 提示:简单随机抽样要保证每个个体被抽到的可能性相同,并不是随便抽取样本. (3)抽签法中确保样本代表性的关键是逐一抽取. (×) 提示:搅拌均匀是确保样本代表性的关键. (4)已知总体容量为106,若用随机数法抽取一个容量为10的样本,则总体的编号是000,001,…,105. (√) 提示:对总体中每个个体编号的数字位数应相同,这样才能用随机数法抽样. 关键能力·师生共研 类型1全面调查与抽样调查(数学抽象) 【典例1】(2025·上海高一检测)在以下调查中,适合用全面调查的是 (　　) A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的使用寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况 【解析】选D.A选项,每个批次生产的汽车的数量非常多,且调查汽车抗撞击能力具有破坏性,不适合采用全面调查,应采用抽样调查; B选项,调查一批LED灯的使用寿命具有破坏性,不适合采用全面调查,应采用抽样调查; C选项,某城市居民数量非常多,不适合采用全面调查,应采用抽样调查; D选项,一个班级学生的身高情况,人数较少,适合采用全面调查. 【总结升华】 一般地,如果调查对象比较少,容易调查,则适合全面调查;如果调查对象较多或者具有破坏性,则适合抽样调查. 【即学即练】 为了了解全年级240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,根据调查目的,下列说法正确的是 (　　) A.总体是240 B.个体是40名学生 C.样本量是40名学生 D.样本量是40 【解析】选D.本题调查的对象是240名学生,调查的指标是“学生的身高”,故A,B项不正确,而样本量是数量,故C项不正确. 类型2简单随机抽样(数学抽象) 【典例2】(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的是 (　　) A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B.仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C.某学校从1 000名高一学生中挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞赛 D.某人从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签 【解析】选BD. 选项 原因 正误 A 因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体中的个数是有限的,所以不是 × B “一次性抽取”和“逐个不放回地抽取”等价,符合简单随机抽样的要求 √ C 因为这20名学生是从中挑选出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求 × D 因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样 √ 【总结升华】 简单随机抽样的特点 (1)被抽取的样本的总体个数N是有限的. (2)逐个抽取n个个体作为样本. (3)题目中不加以说明则抽取是不放回的. (4)每个个体入样的可能性均为. 【即学即练】 (多选)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法,其中正确的是 (　　) A.要求总体中的个体数有限 B.从总体中逐个抽取 C.这是一种放回或不放回抽样 D.每个个体被抽到的机会不一样,与先后顺序有关 【解析】选ABC.简单随机抽样,除了具有A,B,C三个特点外,还具有等可能性,每个个体被抽取的机会相等,与先后顺序无关. 类型3简单随机抽样的方法(数学抽象) 角度1　抽签法 【典例3】要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试,请选择合适的抽样方法,并写出抽样过程. 【解析】应使用抽签法,步骤如下: ①将30辆汽车编号,号码是1,2,3,…,30; ②将1~30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上; ③将写好的号签放入一个不透明的容器中,并搅拌均匀; ④从容器中每次抽取一个号签,连续抽取3次,并记录上面的编号; ⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象. 【总结升华】 抽签法的操作步骤 (1)编号:将N个个体编号(号码可以从1到N,也可以使用已有的号码); (2)写签:将N个号码写到外观、质地等无差别的号签上; (3)抽签:将号签搅拌均匀,每次从中抽取一个号签,连续不放回地抽取n次,并记录其编号; (4)定样:从总体中找出与号签上的号码对应的个体,组成样本. 提醒:当样本量和总体容量较小时,可用抽签法. 角度2　随机数法 【典例4】假设要考察某公司生产的500 g袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数法抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,若从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则得到的第4个个体的编号是　　　　.  (下面摘取了随机数表第7行到第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【解析】根据随机数表可得,样本的前4个个体的编号依次为331,572,455,068. 答案:068 【总结升华】 随机数法抽样的步骤 (1)编号:将总体中的每个个体进行编号; (2)生成随机数:用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数; (3)选择个体:把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本; (4)确定样本:重复步骤(2)(3),直到抽足样本所需要的数量. 提醒:若有重复编号,需再取一个. 【即学即练】 1.下列抽样方法是简单随机抽样的是 (　　) A.将500个零件逐个做质量检验 B.课上,李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的学生 C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 【解析】选D.选项A是全面调查,选项B老师表扬的是发言积极的学生,对每一个个体而言,不具备“等可能性”,选项C总体容量是无限的,不是简单随机抽样,只有选项D是简单随机抽样. 2.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 (　　) 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A.19 B.25 C.26 D.27 【解析】选B.由随机数法可知,样本的前5个个体的编号分别为23、20、26、24、25,因此,选出的第5个个体的编号为25. 类型4简单随机抽样的综合应用(数学抽象) 【典例5】中国古典数学先后经历了三次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期,并在宋元时期达到顶峰,而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物.作为秦九韶的集大成之作,《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般.可以说,但凡是实际生活中需要运用数学知识的地方,《数书九章》一书皆有所涉及,例如“验米夹谷”问题:今有谷3 318石,抽样取谷一把,数得168粒内有秕谷22粒,则粮仓内的秕谷约为 (　　) A.321石 B.166石 C.434石 D.623石 【解析】选C.设粮仓内的秕谷有x石,依题意,=,解得x=434.5, 所以粮仓内的秕谷约为434石. 【即学即练】 中国农历的二十四节气是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶,某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”,只能说出两句的有32人,能说出三句或三句以上的有45人,据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数为 (　　) A.23 B.92 C.128 D.180 【解析】选B.由题意,抽查的100名学生中只能说出一句或一句也说不出的人数为100-32-45=23, 故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为×23=92. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 9.1　随机抽样 9.1.1　简单随机抽样 内容概览 【学习目标】 1.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.(数学抽象) 2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.(数学抽象) 3.会计算样本均值和总体均值,了解样本与总体的关系.(数据分析) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、全面调查和抽样调查 调查方式 全面调查 抽样调查 定义 对_______调查对象都进行 调查的方法,称为_________, 又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一 部分_____进行调查,并以此为 依据对总体的情况作出估计和 推断的调查方法,称为抽样调查 每一个 全面调查 个体 返回 调查方式 全面调查 抽样调查 相关 概念 总体:在一个调查中,我们把调 查对象的_____称为总体. 个体:组成总体的_______调查 对象称为个体 样本:我们把从总体中抽 取的_______个体称为样本. 样本容量:样本中包含的 _______称为样本容量,简称 样本量 特点 花费巨大财力、物力、人力 花费少、效率高 全体 每一个 那部分 个体数 返回 二、简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中_____抽取n(1≤n<N)个个 体作为样本 如果抽取是放回的,且每次抽取时总体 内的各个个体被抽到的概率都_____, 这样的抽样方法称为放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时 总体内_____________________被 抽到的概率都相等,这样的抽样方 法称为不放回简单随机抽样 简单随机抽样:_____简单随机抽样和_______简单随机抽样统称为简单随机 抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 逐个 相等 未进入样本的各个个体 放回 不放回 返回 【思考】 1.简单随机抽样有什么特点? 提示:(1)有限性:总体中个体数有限; (2)逐一性:从总体中逐一抽取,这样便于在抽样试验中进行操作; (3)等可能性:简单随机抽样是一种等可能抽样,在整个抽样过程中每个个体被抽取到的可能性相等,从而保证了这种抽样方式的公平性. 返回 2.用简单随机抽样抽取样本,样本量是否越大越好? 提示:用简单随机抽样的方法抽取样本时,一般说来,样本量大的会好于样本量小的,尤其是样本量不大时,增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是,在实际抽样中,样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加.因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并不一定是越大越好. 返回 三、简单随机抽样的方法 1.抽签法 先把总体中的个体_____,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小 纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不 透明的盒里,_________.最后从盒中_________________号签,使与号签上的 编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数. 编号 充分搅拌 不放回地逐个抽取 返回 2.随机数法 (1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生与总体中个体_______ ___的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,并剔除重复的编号,直 到抽足样本所需要的个体数. (2)产生随机数的方法: ①用随机试验生成随机数,②用信息技术生成随机数:(ⅰ)用计算器生成随 机数;(ⅱ)用电子表格软件生成随机数;(ⅲ)用R统计软件生成随机数. 数量相 等 返回 四、用样本平均数估计总体的平均数 1.总体平均数 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN, 则称=为总体均值,又称总体平均数. 2.样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn, 则称=为样本均值,又称样本平均数. 我们常用样本平均数去估计总体平均数. Yi yi 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)科学的抽样所得到的样本能真实地反映总体.( ) 提示:一般通过样本去估计总体,所以样本只能近似地反映总体. (2)简单随机抽样就是随便抽取样本.( ) 提示:简单随机抽样要保证每个个体被抽到的可能性相同,并不是随便抽取样本. (3)抽签法中确保样本代表性的关键是逐一抽取.( ) 提示:搅拌均匀是确保样本代表性的关键. (4)已知总体容量为106,若用随机数法抽取一个容量为10的样本,则总体的编号是 000,001,…,105.( ) 提示:对总体中每个个体编号的数字位数应相同,这样才能用随机数法抽样. × × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1全面调查与抽样调查(数学抽象) 【典例1】(2025·上海高一检测)在以下调查中,适合用全面调查的是(　　) A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的使用寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况 √ 返回 【解析】选D.A选项,每个批次生产的汽车的数量非常多,且调查汽车抗撞 击能力具有破坏性,不适合采用全面调查,应采用抽样调查; B选项,调查一批LED灯的使用寿命具有破坏性,不适合采用全面调查,应采 用抽样调查; C选项,某城市居民数量非常多,不适合采用全面调查,应采用抽样调查; D选项,一个班级学生的身高情况,人数较少,适合采用全面调查. 【总结升华】 一般地,如果调查对象比较少,容易调查,则适合全面调查;如果调查对象较 多或者具有破坏性,则适合抽样调查. 返回 【即学即练】 为了了解全年级240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,根据 调查目的,下列说法正确的是(　　) A.总体是240 B.个体是40名学生 C.样本量是40名学生 D.样本量是40 【解析】选D.本题调查的对象是240名学生,调查的指标是“学生的身高”,故 A,B项不正确,而样本量是数量,故C项不正确. √ 返回 类型2简单随机抽样(数学抽象) 【典例2】(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　) A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B.仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C.某学校从1 000名高一学生中挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞 赛 D.某人从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号 签 √ √ 返回 【解析】选BD. 选项 原因 正误 A 因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体中的个数是有限的, 所以不是 × B “一次性抽取”和“逐个不放回地抽取”等价,符合简单随机抽样 的要求 √ C 因为这20名学生是从中挑选出来的,是最优秀的,每个个体被抽 到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求 × D 因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取 的,是不放回、等可能的抽样 √ 返回 【总结升华】 简单随机抽样的特点 (1)被抽取的样本的总体个数N是有限的. (2)逐个抽取n个个体作为样本. (3)题目中不加以说明则抽取是不放回的. (4)每个个体入样的可能性均为. 返回 【即学即练】 (多选)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法,其中正确的是(　　) A.要求总体中的个体数有限 B.从总体中逐个抽取 C.这是一种放回或不放回抽样 D.每个个体被抽到的机会不一样,与先后顺序有关 【解析】选ABC.简单随机抽样,除了具有A,B,C三个特点外,还具有等可能 性,每个个体被抽取的机会相等,与先后顺序无关. √ √ √ 返回 类型3简单随机抽样的方法(数学抽象) 角度1　抽签法 【典例3】要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试,请选择合适的 抽样方法,并写出抽样过程. 【解析】应使用抽签法,步骤如下: ①将30辆汽车编号,号码是1,2,3,…,30; ②将1~30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上; ③将写好的号签放入一个不透明的容器中,并搅拌均匀; ④从容器中每次抽取一个号签,连续抽取3次,并记录上面的编号; ⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象. 返回 【总结升华】 抽签法的操作步骤 (1)编号:将N个个体编号(号码可以从1到N,也可以使用已有的号码); (2)写签:将N个号码写到外观、质地等无差别的号签上; (3)抽签:将号签搅拌均匀,每次从中抽取一个号签,连续不放回地抽取n次,并 记录其编号; (4)定样:从总体中找出与号签上的号码对应的个体,组成样本. 提醒:当样本量和总体容量较小时,可用抽签法. 返回 角度2　随机数法 【典例4】假设要考察某公司生产的500 g袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中 抽取60袋进行检验,利用随机数法抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编 号,若从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则得到的第4个个体的编号是　　　　.  (下面摘取了随机数表第7行到第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【解析】根据随机数表可得,样本的前4个个体的编号依次为331,572,455,068. 答案:068 返回 【总结升华】 随机数法抽样的步骤 (1)编号:将总体中的每个个体进行编号; (2)生成随机数:用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数; (3)选择个体:把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样 本; (4)确定样本:重复步骤(2)(3),直到抽足样本所需要的数量. 提醒:若有重复编号,需再取一个. 返回 【即学即练】 1.下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　) A.将500个零件逐个做质量检验 B.课上,李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的学生 C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 【解析】选D.选项A是全面调查,选项B老师表扬的是发言积极的学生,对每 一个个体而言,不具备“等可能性”,选项C总体容量是无限的,不是简单随机 抽样,只有选项D是简单随机抽样. √ 返回 2.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个 个体,选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到 右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 (　　) 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A.19 B.25 C.26 D.27 【解析】选B.由随机数法可知,样本的前5个个体的编号分别为23、20、26、 24、25,因此,选出的第5个个体的编号为25. √ 返回 类型4简单随机抽样的综合应用(数学抽象) 【典例5】中国古典数学先后经历了三次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时 期和宋元时期,并在宋元时期达到顶峰,而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的 代表人物.作为秦九韶的集大成之作,《数书九章》一书所承载的数学成就非同 一般.可以说,但凡是实际生活中需要运用数学知识的地方,《数书九章》一书皆 有所涉及,例如“验米夹谷”问题:今有谷3 318石,抽样取谷一把,数得168粒内有秕 谷22粒,则粮仓内的秕谷约为(　　) A.321石 B.166石 C.434石 D.623石 【解析】选C.设粮仓内的秕谷有x石,依题意,=,解得x=434.5, 所以粮仓内的秕谷约为434石. √ 返回 【即学即练】 中国农历的二十四节气是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶,某小学一年 级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”,只能说出两句的有32人,能说出三 句或三句以上的有45人,据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌” 只能说出一句或一句也说不出的人数为(　　) A.23 B.92 C.128 D.180 【解析】选B.由题意,抽查的100名学生中只能说出一句或一句也说不出的人数 为100-32-45=23, 故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出 的人数约为×23=92. √ 返回 $