1.导学案 19 第8章 8.6.2 直线与平面垂直(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.6.2　直线与平面垂直(2) 内容概览 【学习目标】 1.理解直线与平面垂直的性质定理.(数学抽象) 2.能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明.(逻辑推理) 3.理解空间距离相关定义并会求相应的距离.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 符号语言 a⊥α,b⊥α⇒a∥b 图形语言 平行 返回 【思考】 1.两条异面直线能垂直于同一平面吗? 提示:不能.由线面垂直的性质知,垂直于同一平面的两条直线平行,不能是异面直线. 【点拨】 　线面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的一种方法(证明这两条直线都与同一个平面垂直). 返回 二、空间距离 1.直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上_________到这个平面的距离. 2.平面与平面之间的距离 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_____,我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【思考】 2.任意的直线与平面、平面与平面间都有距离吗? 提示:不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题. 任意一点 相等 返回 教材深化 　平行关系与垂直关系之间的相互转化 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)到已知平面距离相等的两条直线平行.( ) 提示:两直线平行、相交、异面都有可能. (2)如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和另一个平面垂直.( ) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行.( ) (4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α.( ) 提示:直线b也可能在平面α中. × √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 线面垂直性质定理的应用(逻辑推理) 【典例1】如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:EF∥BD. 返回 【证明】因为PA⊥平面ABD,所以PA⊥BD. 因为PC⊥平面BCD,所以PC⊥BD,PC⊥EF. 又PA∩PC=P, PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. 又EF⊥AC,PC∩AC=C, PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, 所以EF⊥平面PAC, 所以EF∥BD. 返回 【总结升华】 　线面垂直性质定理应用的关注点 (1)题目原型:已知线线、线面垂直,证明线线平行; (2)证明方法:证明两条直线都与同一个平面垂直,利用线面垂直的性质定理得到结论. 返回 【即学即练】 　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1. 返回 【证明】因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1⊥A1D. 因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1, 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,A1D,CD⊂平面A1DC, 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC, 所以MN∥AD1. 返回 类型2 空间中的距离(直观想象、数学运算) 【典例2】(易错·对对碰) 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)点P是平面ABCD内一点,则点P到平面A1B1C1D1的距离为　　　　　;  (2)点P是棱BB1上一点,则点P到平面AA1C1C的距离为　　　　　;  (3)点P是截面A1DB内一点,则线段AP的最小值为　　　　　.  返回 【解析】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以点P到平面A1B1C1D1的距离等于棱长2. (2)如图,连接A1C1,B1D1,交于点O,连接AC,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1, 又AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1, 所以AA1⊥B1D1,又AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面AA1C1C, 所以B1D1⊥平面AA1C1C, 因为BB1∥平面AA1C1C, 所以B1O的长即点P到平面AA1C1C的距离,B1O=. 返回 (3)如图,当AP⊥平面A1DB时,线段AP取得最小值,设为h,易知A1D=BD=A1B=2, =×2×2×sin =2, 由=,得×(×2×2)×2=×2×h,解得h=,线段AP的最小值为. 答案:(1)2　(2)　(3) 返回 【总结升华】 求点面距的常用方法 (1)构造法:根据定义构造垂直于平面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解; (2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(如棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解. 返回 【即学即练】 　在三棱锥V-ABC中,VA,VB,VC两两垂直,VA=VB=VC=1,则点V到平面ABC的距离为(　　) A.1 B. C. D. √ 返回 【解析】选D.设点V到平面ABC的距离为h, 因为VA,VB,VC两两垂直,且VA=VB=VC=1, 所以AB=BC=AC=,S△VBC=×1×1=, 所以S△ABC=×sin =, 又VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V,VB,VC⊂平面VBC,所以VA⊥平面VBC, 因为VA-VBC=VV-ABC, 即S△VBC·VA=S△ABC·h, 所以×1=×h, 所以h=,即点V到平面ABC的距离为. 返回 类型3线面垂直的综合应用(逻辑推理) 【典例3】斜边为AB的Rt△ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图. (1)求证:EF⊥PB; (2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l. 返回 【证明】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC. 又因为△ABC为直角三角形, 所以BC⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. 又因为AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF. 又AF⊥PC,且PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC, 所以AF⊥平面PBC. 又PB⊂平面PBC,所以AF⊥BP. 又AE⊥PB,且AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF, 所以PB⊥平面AEF. 又EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB. (2)由(1)知,PB⊥平面AEF, 而l⊥平面AEF,所以PB∥l. 返回 【总结升华】 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面; (2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来. 返回 【即学即练】 　已知α∩β=AB,PQ⊥α于点Q,PO⊥β于点O,OR⊥α于点R,求证:QR⊥AB. 【证明】如图,因为α∩β=AB, 所以AB⊂α,AB⊂β, 因为PO⊥β,所以PO⊥AB. 因为PQ⊥α,所以PQ⊥AB. 因为PO∩PQ=P,PO,PQ⊂平面PQO, 所以AB⊥平面PQO. 因为OR⊥α,所以PQ∥OR. 所以PQ与OR确定平面PQRO. 又因为QR⊂平面PQRO,所以QR⊥AB. 返回 $ 8.6.2　直线与平面垂直(2) 　【学习目标】 1.理解直线与平面垂直的性质定理.(数学抽象) 2.能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明.(逻辑推理) 3.理解空间距离相关定义并会求相应的距离.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a⊥α,b⊥α⇒a∥b 图形语言 【思考】 1.两条异面直线能垂直于同一平面吗? 提示:不能.由线面垂直的性质知,垂直于同一平面的两条直线平行,不能是异面直线. 【点拨】 　线面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的一种方法(证明这两条直线都与同一个平面垂直). 二、空间距离 1.直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离. 2.平面与平面之间的距离 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【思考】 2.任意的直线与平面、平面与平面间都有距离吗? 提示:不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题. 教材深化 　平行关系与垂直关系之间的相互转化 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)到已知平面距离相等的两条直线平行.(×) 提示:两直线平行、相交、异面都有可能. 　(2)如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和另一个平面垂直. (√) 　(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (√) 　(4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α. (×) 提示:直线b也可能在平面α中. 关键能力·师生共研 类型1线面垂直性质定理的应用(逻辑推理) 【典例1】如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:EF∥BD. 【证明】因为PA⊥平面ABD,所以PA⊥BD. 因为PC⊥平面BCD,所以PC⊥BD,PC⊥EF. 又PA∩PC=P, PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. 又EF⊥AC,PC∩AC=C, PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, 所以EF⊥平面PAC, 所以EF∥BD. 【总结升华】 　线面垂直性质定理应用的关注点 (1)题目原型:已知线线、线面垂直,证明线线平行; (2)证明方法:证明两条直线都与同一个平面垂直,利用线面垂直的性质定理得到结论. 【即学即练】 　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1. 【证明】因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1⊥A1D. 因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1, 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,A1D,CD⊂平面A1DC, 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC, 所以MN∥AD1. 类型2空间中的距离(直观想象、数学运算) 【典例2】(易错·对对碰) 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)点P是平面ABCD内一点,则点P到平面A1B1C1D1的距离为　　　　　;  (2)点P是棱BB1上一点,则点P到平面AA1C1C的距离为　　　　　;  (3)点P是截面A1DB内一点,则线段AP的最小值为　　　　　.  【解析】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以点P到平面A1B1C1D1的距离等于棱长2. (2)如图,连接A1C1,B1D1,交于点O,连接AC,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1, 又AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1, 所以AA1⊥B1D1,又AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面AA1C1C, 所以B1D1⊥平面AA1C1C, 因为BB1∥平面AA1C1C, 所以B1O的长即点P到平面AA1C1C的距离,B1O=. (3)如图,当AP⊥平面A1DB时,线段AP取得最小值,设为h,易知A1D=BD=A1B=2, =×2×2×sin =2, 由=,得×(×2×2)×2=×2×h,解得h=,线段AP的最小值为. 答案:(1)2　(2)　(3) 【总结升华】 求点面距的常用方法 　(1)构造法:根据定义构造垂直于平面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解; (2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(如棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解. 【即学即练】 　在三棱锥V-ABC中,VA,VB,VC两两垂直,VA=VB=VC=1,则点V到平面ABC的距离为 (　　) A.1 B. C. D. 【解析】选D.设点V到平面ABC的距离为h, 因为VA,VB,VC两两垂直,且VA=VB=VC=1, 所以AB=BC=AC=,S△VBC=×1×1=, 所以S△ABC=×sin =, 又VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V,VB,VC⊂平面VBC,所以VA⊥平面VBC, 因为VA-VBC=VV-ABC, 即S△VBC·VA=S△ABC·h, 所以×1=×h, 所以h=,即点V到平面ABC的距离为. 类型3线面垂直的综合应用(逻辑推理) 【典例3】斜边为AB的Rt△ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图. (1)求证:EF⊥PB; (2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l. 【证明】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC. 又因为△ABC为直角三角形, 所以BC⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. 又因为AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF. 又AF⊥PC,且PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC, 所以AF⊥平面PBC. 又PB⊂平面PBC,所以AF⊥BP. 又AE⊥PB,且AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF, 所以PB⊥平面AEF. 又EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB. (2)由(1)知,PB⊥平面AEF, 而l⊥平面AEF,所以PB∥l. 【总结升华】 线线、线面垂直问题的解题策略 　(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面; (2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来. 【即学即练】 　已知α∩β=AB,PQ⊥α于点Q,PO⊥β于点O,OR⊥α于点R,求证:QR⊥AB. 【证明】如图,因为α∩β=AB, 所以AB⊂α,AB⊂β, 因为PO⊥β,所以PO⊥AB. 因为PQ⊥α,所以PQ⊥AB. 因为PO∩PQ=P,PO,PQ⊂平面PQO, 所以AB⊥平面PQO. 因为OR⊥α,所以PQ∥OR. 所以PQ与OR确定平面PQRO. 又因为QR⊂平面PQRO,所以QR⊥AB. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $