1.导学案 11 第8章 8.5.2 第1课时 直线与平面平行的判定定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.5.2　直线与平面平行 第1课时　直线与平面平行的判定定理 内容概览 【学习目标】 1.掌握直线与平面平行的判定定理.(数学抽象、直观想象) 2.能利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行问题.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与_______________________,那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α 图形语言 此平面内的一条直线平行 返回 【思考】 1.如果直线l与平面α内的一条直线平行,那么直线l与平面α一定平行吗? 提示:不一定,直线l也可能在平面α内. 2.当我们打开教室的门时,门扇转动的一边所在直线与门框所在的平面是怎样的位置关系? 提示:平行. 【点拨】 　应用线面平行的判定定理证明线面平行时,只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l与平面α平行.( ) 提示:l可能在α内. (2)若直线l上有无数个点不在平面α内,则直线l与平面α平行.( ) 提示:l与α可能相交. (3)若直线l与平面α相交,则平面α内不存在直线与直线l平行.( ) (4)若直线l∥直线a,直线a∥平面α,则直线l∥平面α.( ) 提示:直线l∥平面α或l⊂α. × × √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 直线与平面平行的判定定理的理解 (数学抽象) 【典例1】(多选)下列说法中正确的是(　　) A.若直线l与平面α内所有直线都无公共点,则l∥α B.若直线a在平面α外,则a∥α C.若直线a∥b,b⊂α,则a∥α D.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线 【解析】选AD.选项A正确;直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B不正确;选项C中直线a可能在平面α内;选项D正确. √ √ 返回 【总结升华】 判断直线与平面平行的方法 (1)直线与平面没有公共点; (2)直线与平面平行的判定定理. 返回 【即学即练】 　已知两条直线m,n与平面α,要由m∥n,推得m∥α,需要添加哪些条件,写出你认为正确的一个:　　　　　　　.  【解析】若添加条件m⊄α,n⊂α, 因为m∥n, 根据线面平行的判定定理,可得m∥α. 答案:m⊄α,b⊂α 返回 类型2 直线与平面平行的证明(逻辑推理) 【典例2】(一题多解) 如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD. 返回 【思路引领】 想 算 思 要用判定定理,怎样证明线线平行 平行四边形的对边 构造平行四边形 寻找并证明线线平行是关键 三角形的中位线 构造三角形 返回 【证明】方法一(平行四边形法): 如图,取PD的中点G,连接GA,GN. 因为G,N分别是△PDC的边PD,PC的中点, 所以GN∥DC,GN=DC. 因为M为平行四边形ABCD的边AB的中点, 所以AM=DC,AM∥DC, 所以AM∥GN,AM=GN, 所以四边形AMNG为平行四边形,所以MN∥AG. 又MN⊄平面PAD,AG⊂平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 返回 方法二(三角形中位线法): 如图,连接CM并延长,交DA的延长线于点Q,连接PQ, 因为在底面ABCD中,M为AB的中点,AB∥CD, 所以AM∥DC且AM=DC, 所以在△QCD中,AM为△QCD的中位线, 所以M为QC的中点. 因为在△PQC中,N为PC的中点, 所以MN∥PQ, 又因为MN⊄平面PAD,PQ⊂平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 返回 【总结升华】 应用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤 第一步“找”是证题的关键,其常用方法有: ①空间直线平行关系的传递性法;②三角形的中位线法;③平行四边形法; ④线段成比例法. 返回 【即学即练】 　(一题多解)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B. 返回 【证明】方法一:如图①,过点M作ME∥BC,交BB1于点E,过点N作NF∥AD,交AB于点F,连接EF, 则EF⊂平面AA1B1B, 且=,=. 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,B1C=BD,所以B1M=NB. 所以==.又AD=BC, 所以ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF, 所以四边形MEFN为平行四边形. 所以MN∥EF. 因为MN⊄平面AA1B1B,EF⊂平面AA1B1B, 所以MN∥平面AA1B1B. 返回 方法二:如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,则B1P⊂平面AA1B1B. 因为DC∥AB,所以△NDC∽△NBP,所以=. 又CM=DN,B1C=BD, 所以==. 所以MN∥B1P. 因为MN⊄平面AA1B1B,B1P⊂平面AA1B1B, 所以MN∥平面AA1B1B. 返回 $ 8.5.2　直线与平面平行 第1课时　直线与平面平行的判定定理 　【学习目标】 1.掌握直线与平面平行的判定定理.(数学抽象、直观想象) 2.能利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行问题.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α 图形语言 【思考】 1.如果直线l与平面α内的一条直线平行,那么直线l与平面α一定平行吗? 提示:不一定,直线l也可能在平面α内. 2.当我们打开教室的门时,门扇转动的一边所在直线与门框所在的平面是怎样的位置关系? 提示:平行. 【点拨】 　应用线面平行的判定定理证明线面平行时,只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l与平面α平行. (×) 提示:l可能在α内. 　(2)若直线l上有无数个点不在平面α内,则直线l与平面α平行. (×) 提示:l与α可能相交. 　(3)若直线l与平面α相交,则平面α内不存在直线与直线l平行. (√) 　(4)若直线l∥直线a,直线a∥平面α,则直线l∥平面α. (×) 提示:直线l∥平面α或l⊂α. 关键能力·师生共研 类型1直线与平面平行的判定定理的理解 (数学抽象) 【典例1】(多选)下列说法中正确的是 (　　) A.若直线l与平面α内所有直线都无公共点,则l∥α B.若直线a在平面α外,则a∥α C.若直线a∥b,b⊂α,则a∥α D.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线 【解析】选AD.选项A正确;直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B不正确;选项C中直线a可能在平面α内;选项D正确. 【总结升华】 判断直线与平面平行的方法 　(1)直线与平面没有公共点; (2)直线与平面平行的判定定理. 【即学即练】 　已知两条直线m,n与平面α,要由m∥n,推得m∥α,需要添加哪些条件,写出你认为正确的一个:　　　　　　　.  【解析】若添加条件m⊄α,n⊂α, 因为m∥n, 根据线面平行的判定定理,可得m∥α. 答案:m⊄α,b⊂α 类型2直线与平面平行的证明(逻辑推理) 【典例2】(一题多解) 如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD. 【思路引领】 想 算 思 要用判定定理,怎样证明线线平行 平行四边形的对边 构造平行四边形 寻找并证明线线平行是关键 三角形的中位线 构造三角形 【证明】方法一(平行四边形法): 如图,取PD的中点G,连接GA,GN. 因为G,N分别是△PDC的边PD,PC的中点, 所以GN∥DC,GN=DC. 因为M为平行四边形ABCD的边AB的中点, 所以AM=DC,AM∥DC, 所以AM∥GN,AM=GN, 所以四边形AMNG为平行四边形,所以MN∥AG. 又MN⊄平面PAD,AG⊂平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 方法二(三角形中位线法): 如图,连接CM并延长,交DA的延长线于点Q,连接PQ, 因为在底面ABCD中,M为AB的中点,AB∥CD, 所以AM∥DC且AM=DC, 所以在△QCD中,AM为△QCD的中位线, 所以M为QC的中点. 因为在△PQC中,N为PC的中点, 所以MN∥PQ, 又因为MN⊄平面PAD,PQ⊂平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 【总结升华】 应用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤 第一步“找”是证题的关键,其常用方法有: ①空间直线平行关系的传递性法;②三角形的中位线法;③平行四边形法;④线段成比例法. 【即学即练】 　(一题多解)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B. 【证明】方法一:如图①,过点M作ME∥BC,交BB1于点E,过点N作NF∥AD,交AB于点F,连接EF, 则EF⊂平面AA1B1B, 且=,=. 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,B1C=BD,所以B1M=NB. 所以==.又AD=BC, 所以ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF, 所以四边形MEFN为平行四边形. 所以MN∥EF. 因为MN⊄平面AA1B1B,EF⊂平面AA1B1B, 所以MN∥平面AA1B1B. 方法二:如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,则B1P⊂平面AA1B1B. 因为DC∥AB,所以△NDC∽△NBP,所以=. 又CM=DN,B1C=BD, 所以==. 所以MN∥B1P. 因为MN⊄平面AA1B1B,B1P⊂平面AA1B1B, 所以MN∥平面AA1B1B. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $