1.导学案 17 第8章 8.6.1 直线与直线垂直(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 　【学习目标】 1.理解异面直线所成角的概念,会求两异面直线所成的角.(数学抽象、数学运算) 2.了解空间中直线与直线垂直的关系,会证明空间中两直线的垂直.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 一、异面直线所成的角 1.定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.取值范围:0°<α≤90°. 3.互相垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条异面直线互相垂直. 【思考】 1.在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗? 提示:根据等角定理可知,异面直线a'与b'所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等). 【点拨】 　找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 二、空间两直线所成的角范围 　当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°,所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 【思考】 2.两条直线所成的角与异面直线所成的角是一样的吗? 提示:不是. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°. (×) 提示:异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°. 　(2)若两条直线垂直,则它们一定相交且所成的角是90°. (×) 提示:也可能是异面直线. 　(3)若两条直线所成的角为0°,则这两条直线平行. (√) 　(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直. (√) 关键能力·师生共研 类型1求异面直线所成的角(数学运算) 【典例1】(一题多变) [母题](2025·青岛高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是C1D1,D1D的中点,则直线CE与直线AG所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.如图, 取CD的中点F,再取DF的中点H,连接D1F,GH,AH, 因为点E是C1D1的中点,易证四边形D1ECF为平行四边形,所以D1F∥EC, 又因为点G是D1D的中点,故GH∥D1F, 则EC∥GH,故直线GH与直线AG所成的角即为直线CE与直线AG所成的角. 不妨设正方体的棱长为4,在△AGH中, AG==2,GH==, AH==, 由余弦定理,得cos∠AGH= ==, 即直线CE与直线AG所成角的余弦值为. [变式1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点,则直线CD1与直线EF所成的角为　　　　　.  【解析】如图,连接A1D,BD,A1B, 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点,所以EF∥A1D, 因为A1B∥D1C, 所以∠DA1B是直线CD1与直线EF所成的角, 因为A1D=A1B=BD,所以∠DA1B=60°. 所以直线CD1与直线EF所成的角为60°. 答案:60° [变式2]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若N为DD1的中点,异面直线AN与BD所成角的余弦值为　　　　　.  【解析】如图,取CC1的中点M,连接BM,DM,NM,连接AC交BD于点O,连接OM. 设正方体的棱长为2,由题意知,AN∥BM,∠MBO就是异面直线AN与BD所成的角, 在Rt△MOB中,∠MOB=90°,BM=,BO=, 所以cos∠MBO===. 答案: 【总结升华】 　求两条异面直线所成角的步骤 (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角. (2)证:证明作出的角就是要求的角,其实质是证明线线平行,并指出所作的角就是要求的角. (3)计算:求角的值,常利用解三角形得出. (4)结论:可用“一作二证三计算四结论”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<α≤90°. 【即学即练】 　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,且AB=AC=AA1=1,则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为 (　　) A. B. C.- D. 【解析】选B.将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, 连接B1D,AD,则B1D∥A1C,则异面直线AB1与A1C所成角的平面角为∠DB1A(或其补角), 又DB1=B1A==, AD==, 由余弦定理可得: cos∠DB1A==, 所以sin∠DB1A==. 类型2证明直线与直线垂直(逻辑推理) 【典例2】如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC. 【证明】如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH. 因为E是AB的中点,且AD=2, 所以EH∥AD,EH=1. 同理FH∥BC,FH=1. 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角. 因为EF=,所以EH2+FH2=EF2, 所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边, 所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°, 所以AD⊥BC. 【总结升华】 　直线与直线垂直的证明 要证明两异面直线垂直,可根据两条异面直线垂直的定义,证明这两条异面直线所成的角为90°. 【即学即练】 　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D. 【证明】如图,连接BD,交AC于点O, 设BB1的中点为E,连接OE,则OE∥DB1, 所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角. 连接AE,CE,易证AE=CE, 又O是AC的中点,所以AC⊥OE, 所以B1D与AC所成的角为90°, 所以AC⊥B1D. 类型3异面直线所成角的应用(数学运算) 【典例3】(2025·邯郸高一检测)如图,已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1,B,A分别为上、下底面圆周上的点,若异面直线O1B,O2A所成的角为,则AB= (　　) A.1 B.C.1或2 D.2或 【解析】选D.如图,过点A作AD⊥平面O1于点D,则AD是母线,连接DB,DO1,O1O2, 因为O1O2⊥底面,所以AD∥O1O2,AD=O1O2, 则四边形ADO1O2是平行四边形,O1D∥O2A, 所以O2A与O1B所成的角就是∠DO1B或其补角. 当∠DO1B=时,△DO1B是等边三角形,BD=1,在Rt△ABD中,AB==; 当∠DO1B=时,在△O1DB中,BD=2×=,在Rt△ABD中,AB==2. 综上,AB=2或. 【总结升华】 关于异面直线所成角的应用 　当已知条件中含有异面直线所成的角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角,也可能是其补角,应分情况讨论. 【即学即练】 　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为,则该三棱柱的高为　　　　　　.  【解析】连接B1C,如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1, 则∠B1AC(或其补角)是异面直线AB1与A1C1所成的角,所以cos∠B1AC=, 设三棱柱的高为h,在Rt△ABB1和Rt△CBB1中,AB1=CB1=, 所以△B1AC是等腰三角形. 因为cos∠B1AC==,所以=,所以h=2,所以该三棱柱的高为2. 答案:2 - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 内容概览 【学习目标】 1.理解异面直线所成角的概念,会求两异面直线所成的角.(数学抽象、数学运算) 2.了解空间中直线与直线垂直的关系,会证明空间中两直线的垂直.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、异面直线所成的角 1.定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把__________________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.取值范围:0°<α≤90°. 3.互相垂直:如果两条异面直线所成的角是_____,那么就说这两条异面直线互相垂直. 直线a'与b'所成的角 直角 返回 【思考】 1.在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗? 提示:根据等角定理可知,异面直线a'与b'所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等). 【点拨】 　找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 返回 二、空间两直线所成的角范围 　当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为___,所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 【思考】 2.两条直线所成的角与异面直线所成的角是一样的吗? 提示:不是. 0° 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°.( ) 提示:异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°. (2)若两条直线垂直,则它们一定相交且所成的角是90°.( ) 提示:也可能是异面直线. (3)若两条直线所成的角为0°,则这两条直线平行.( ) (4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直.( ) × × √ √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 求异面直线所成的角(数学运算) 【典例1】(一题多变) [母题](2025·青岛高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是C1D1,D1D的中点,则直线CE与直线AG所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. √ 返回 【解析】选C.如图, 取CD的中点F,再取DF的中点H,连接D1F,GH,AH, 因为点E是C1D1的中点,易证四边形D1ECF为平行四边形,所以D1F∥EC, 又因为点G是D1D的中点,故GH∥D1F, 则EC∥GH,故直线GH与直线AG所成的角即为直线CE与直线AG所成的角. 不妨设正方体的棱长为4,在△AGH中, AG==2,GH==, AH==, 由余弦定理,得cos∠AGH= ==, 即直线CE与直线AG所成角的余弦值为. 返回 [变式1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点,则直线CD1与直线EF所成的角为　　　　　.  返回 【解析】如图,连接A1D,BD,A1B, 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点,所以EF∥A1D, 因为A1B∥D1C, 所以∠DA1B是直线CD1与直线EF所成的角, 因为A1D=A1B=BD,所以∠DA1B=60°. 所以直线CD1与直线EF所成的角为60°. 答案:60° 返回 [变式2]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若N为DD1的中点,异面直线AN与BD所成角的余弦值为　　　　　.  返回 【解析】如图,取CC1的中点M,连接BM,DM,NM,连接AC交BD于点O,连接OM. 设正方体的棱长为2,由题意知,AN∥BM,∠MBO就是异面直线AN与BD所成的角, 在Rt△MOB中,∠MOB=90°,BM=,BO=, 所以cos∠MBO===. 答案: 返回 【总结升华】 　求两条异面直线所成角的步骤 (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角. (2)证:证明作出的角就是要求的角,其实质是证明线线平行,并指出所作的角就是要求的角. (3)计算:求角的值,常利用解三角形得出. (4)结论:可用“一作二证三计算四结论”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<α≤90°. 返回 【即学即练】 　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,且AB=AC=AA1=1,则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为(　　) A. B. C.- D. √ 返回 【解析】选B.将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, 连接B1D,AD,则B1D∥A1C,则异面直线AB1与A1C所成角的平面角为∠DB1A(或其补角), 又DB1=B1A==, AD==, 由余弦定理可得: cos∠DB1A==, 所以sin∠DB1A==. 返回 类型2证明直线与直线垂直(逻辑推理) 【典例2】如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC. 返回 【证明】如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH. 因为E是AB的中点,且AD=2, 所以EH∥AD,EH=1. 同理FH∥BC,FH=1. 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角. 因为EF=,所以EH2+FH2=EF2, 所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边, 所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°, 所以AD⊥BC. 返回 【总结升华】 　直线与直线垂直的证明 要证明两异面直线垂直,可根据两条异面直线垂直的定义,证明这两条异面直线所成的角为90°. 返回 【即学即练】 　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D. 返回 【证明】如图,连接BD,交AC于点O, 设BB1的中点为E,连接OE,则OE∥DB1, 所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角. 连接AE,CE,易证AE=CE, 又O是AC的中点,所以AC⊥OE, 所以B1D与AC所成的角为90°, 所以AC⊥B1D. 返回 类型3异面直线所成角的应用(数学运算) 【典例3】(2025·邯郸高一检测)如图,已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1,B,A分别为上、下底面圆周上的点,若异面直线O1B,O2A所成的角为,则AB=(　　) A.1 B. C.1或2 D.2或 √ 返回 【解析】选D.如图,过点A作AD⊥平面O1于点D,则AD是母线,连接DB,DO1,O1O2, 因为O1O2⊥底面,所以AD∥O1O2,AD=O1O2, 则四边形ADO1O2是平行四边形,O1D∥O2A, 所以O2A与O1B所成的角就是∠DO1B或其补角. 当∠DO1B=时,△DO1B是等边三角形,BD=1,在Rt△ABD中,AB==; 当∠DO1B=时,在△O1DB中,BD=2×=,在Rt△ABD中,AB==2. 综上,AB=2或. 返回 【总结升华】 关于异面直线所成角的应用 　当已知条件中含有异面直线所成的角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角,也可能是其补角,应分情况讨论. 返回 【即学即练】 　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为,则该三棱柱的高为　　　　　　.  返回 【解析】连接B1C,如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1, 则∠B1AC(或其补角)是异面直线AB1与 A1C1所成的角,所以cos∠B1AC=, 设三棱柱的高为h,在Rt△ABB1和Rt△CBB1中,AB1=CB1=, 所以△B1AC是等腰三角形. 因为cos∠B1AC==,所以=,所以h=2,所以该三棱柱的高为2. 答案:2 返回 $