1.导学案 16 第8章 专题突破课六 空间中的平行关系(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破课六　空间中的平行关系 　　空间中的平行关系是本单元的重点,也是高考的命题热点.利用图形,结合判定与性质定理,作出相应的辅助线,灵活转化线面关系是解决这类问题的关键. 　　常见以下三种类型的题目:(1)直线与平面平行的判定与性质;(2)平面与平面平行的判定与性质;(3)平行关系的探索问题. 返回 类型1直线与平面平行的判定与性质 【典例1】(一题多解) 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,P为BB1的中点,M为B1C1的中点,求证:D1M∥平面A1DP. 返回 【证明】方法一:取CC1的中点N,连接D1N,MN,PN,B1C, 因为M为B1C1的中点,所以MN∥B1C, 而B1C∥A1D,所以MN∥A1D, 又MN⊄平面A1DP,A1D⊂平面A1DP, 所以MN∥平面A1DP, 又因为P为BB1的中点,所以NP B1C1 A1D1, 则四边形A1D1NP为平行四边形, 则D1N∥A1P,又D1N⊄平面A1DP,A1P⊂平面A1DP, 所以D1N∥平面A1DP,且D1N∩MN=N, 所以平面D1MN∥平面A1DP,因为D1M⊂平面D1MN, 所以D1M∥平面A1DP. 返回 方法二:连接AD1,交A1D于点O,连接OP,PM,BC1, 因为M为B1C1的中点,P为BB1的中点, 所以PM BC1, 又因为AD1 BC1,所以PM OD1, 所以四边形OD1MP为平行四边形, 则D1M∥OP,又D1M⊄平面A1DP,OP⊂平面A1DP,所以D1M∥平面A1DP. 返回 【即学即练】 　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别在棱BB1和AC上,AC=3AE,BE∥平面A1CD,求的值. 返回 【解析】在三棱柱ABC-A1B1C1中,过E点作EF∥AA1交A1C于点F,连接DF,如图, 因为BB1∥AA1,则EF∥BB1,即EF与BB1确定一个平面DBEF, 因为BE∥平面A1CD,平面A1CD∩平面DBEF=DF,则BE∥DF, 于是得四边形DBEF为平行四边形,即BD=EF,又=3,则==,因此==, 所以=. 返回 类型2 平面与平面平行的判定与性质 【典例2】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AD=4, AB=BC=2,∠PAB=90°,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF∥平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,求线段CH的长. 返回 【解析】因为直线PD与平面CEF交于点H, 所以平面CEF∩平面PCD=CH. 因为EF∥平面PCD,所以EF∥CH, 过点H作HM∥AP交AD于点M,连接CM,因为EF∩AP=F,CH∩HM=H, 所以平面AEF∥平面CHM. 因为平面AEF∩平面ABCD=AE,平面CHM∩平面ABCD=CM, 所以AE∥CM.又因为BC∥AM, 所以四边形ABCM为平行四边形, 所以AM=2.又因为AD=4, 所以M是AD的中点,则H为PD的中点, 因为∠PAB=90°,所以∠HMC=90°, 所以CH===2. 返回 【总结升华】 1.判定面面平行的四种方法 (1)面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两平面平行. (4)平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线. 返回 【即学即练】 　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F分别是D1C和A1C1上的点,CE=C1F=,求证:EF∥平面AA1D1D. 【证明】A1C1=D1C=a,由于CE=C1F=, 所以E,F分别是D1C,A1C1的三等分点,点E靠近点C,点F靠近点C1, 设G是棱C1D1上靠近C1的三等分点,连接FG,EG,则FG∥A1D1,GE∥CC1∥DD1, 由于FG⊄平面AA1D1D,A1D1⊂平面AA1D1D, 所以FG∥平面AA1D1D, 同理可证得GE∥平面AA1D1D, 由于FG∩GE=G,FG,GE⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面AA1D1D, 由于EF⊂平面EFG,所以EF∥平面AA1D1D. 返回 类型3平行关系的探索问题 【典例3】如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点. (1)求证:GF∥平面ABC; (2)线段BC上是否存在一点H, 使得平面GFH∥平面ACD?若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由. 返回 【解析】(1)由四边形ABED为正方形可知,连接AE必与BD相交于中点F,故GF∥AC. 因为GF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC, 所以GF∥平面ABC. 返回 (2)线段BC上存在一点H满足题意,且点H是BC的中点. 理由如下: 取BC的中点H,连接GH, 由点G,H分别为CE,CB的中点, 得GH∥EB∥AD. 因为GH⊄平面ACD,AD⊂平面ACD, 所以GH∥平面ACD. 因为GF∥AC,AC⊂平面ACD,GF⊄平面ACD, 所以GF∥平面ACD. 又GF∩GH=G,GH,GF⊂平面GFH, 所以平面GFH∥平面ACD. 返回 【总结升华】 关于平行关系探索问题的解题技法 　(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法: ①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性; ③把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件. (2)对命题结论的探索常采用以下方法: 首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设. 返回 【即学即练】 　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置. 返回 【解析】若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于点N,连接MN,NF. 因为BF∥平面AA1C1C,BF⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AA1C1C=MN,所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF,MB⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN, 所以BFNM是平行四边形,所以MN=BF=1. 而EC∥FB,EC=2FB=2, 所以MN∥EC,MN=EC, 故MN是△ACE的中位线, 所以当M是AC的中点时,MB∥平面AEF. 返回 $ 专题突破课六　空间中的平行关系 　　空间中的平行关系是本单元的重点,也是高考的命题热点.利用图形,结合判定与性质定理,作出相应的辅助线,灵活转化线面关系是解决这类问题的关键. 　　常见以下三种类型的题目:(1)直线与平面平行的判定与性质;(2)平面与平面平行的判定与性质;(3)平行关系的探索问题. 类型1直线与平面平行的判定与性质 【典例1】(一题多解) 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,P为BB1的中点,M为B1C1的中点,求证:D1M∥平面A1DP. 【证明】方法一:取CC1的中点N,连接D1N,MN,PN,B1C, 因为M为B1C1的中点,所以MN∥B1C, 而B1C∥A1D,所以MN∥A1D, 又MN⊄平面A1DP,A1D⊂平面A1DP, 所以MN∥平面A1DP, 又因为P为BB1的中点,所以NP B1C1A1D1, 则四边形A1D1NP为平行四边形, 则D1N∥A1P,又D1N⊄平面A1DP,A1P⊂平面A1DP, 所以D1N∥平面A1DP,且D1N∩MN=N, 所以平面D1MN∥平面A1DP,因为D1M⊂平面D1MN, 所以D1M∥平面A1DP. 方法二:连接AD1,交A1D于点O,连接OP,PM,BC1, 因为M为B1C1的中点,P为BB1的中点, 所以PM BC1, 又因为AD1 BC1,所以PM OD1, 所以四边形OD1MP为平行四边形, 则D1M∥OP,又D1M⊄平面A1DP,OP⊂平面A1DP,所以D1M∥平面A1DP. 【即学即练】 　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别在棱BB1和AC上,AC=3AE,BE∥平面A1CD,求的值. 【解析】在三棱柱ABC-A1B1C1中,过E点作EF∥AA1交A1C于点F,连接DF,如图, 因为BB1∥AA1,则EF∥BB1,即EF与BB1确定一个平面DBEF, 因为BE∥平面A1CD,平面A1CD∩平面DBEF=DF,则BE∥DF, 于是得四边形DBEF为平行四边形,即BD=EF,又=3,则==,因此==, 所以=. 类型2平面与平面平行的判定与性质 【典例2】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AD=4,AB=BC=2,∠PAB=90°,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF∥平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,求线段CH的长. 【解析】因为直线PD与平面CEF交于点H, 所以平面CEF∩平面PCD=CH. 因为EF∥平面PCD,所以EF∥CH, 过点H作HM∥AP交AD于点M,连接CM,因为EF∩AP=F,CH∩HM=H, 所以平面AEF∥平面CHM. 因为平面AEF∩平面ABCD=AE,平面CHM∩平面ABCD=CM, 所以AE∥CM.又因为BC∥AM, 所以四边形ABCM为平行四边形, 所以AM=2.又因为AD=4, 所以M是AD的中点,则H为PD的中点, 因为∠PAB=90°,所以∠HMC=90°, 所以CH===2. 【总结升华】 1.判定面面平行的四种方法 (1)面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两平面平行. (4)平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线. 【即学即练】 　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F分别是D1C和A1C1上的点,CE=C1F=,求证:EF∥平面AA1D1D. 【证明】A1C1=D1C=a,由于CE=C1F=, 所以E,F分别是D1C,A1C1的三等分点,点E靠近点C,点F靠近点C1, 设G是棱C1D1上靠近C1的三等分点,连接FG,EG,则FG∥A1D1,GE∥CC1∥DD1, 由于FG⊄平面AA1D1D,A1D1⊂平面AA1D1D, 所以FG∥平面AA1D1D, 同理可证得GE∥平面AA1D1D, 由于FG∩GE=G,FG,GE⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面AA1D1D, 由于EF⊂平面EFG,所以EF∥平面AA1D1D. 类型3平行关系的探索问题 【典例3】如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点. (1)求证:GF∥平面ABC; (2)线段BC上是否存在一点H,使得平面GFH∥平面ACD?若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由四边形ABED为正方形可知,连接AE必与BD相交于中点F,故GF∥AC. 因为GF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC, 所以GF∥平面ABC. (2)线段BC上存在一点H满足题意,且点H是BC的中点. 理由如下: 取BC的中点H,连接GH, 由点G,H分别为CE,CB的中点, 得GH∥EB∥AD. 因为GH⊄平面ACD,AD⊂平面ACD, 所以GH∥平面ACD. 因为GF∥AC,AC⊂平面ACD,GF⊄平面ACD, 所以GF∥平面ACD. 又GF∩GH=G,GH,GF⊂平面GFH, 所以平面GFH∥平面ACD. 【总结升华】 关于平行关系探索问题的解题技法 　(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法: ①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性; ③把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件. (2)对命题结论的探索常采用以下方法: 首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设. 【即学即练】 　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置. 【解析】若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于点N,连接MN,NF. 因为BF∥平面AA1C1C,BF⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AA1C1C=MN,所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF,MB⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN, 所以BFNM是平行四边形,所以MN=BF=1. 而EC∥FB,EC=2FB=2, 所以MN∥EC,MN=EC, 故MN是△ACE的中位线, 所以当M是AC的中点时,MB∥平面AEF. - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $