1.导学案 15 第8章 专题突破课五 截面问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破课五　截面问题 　　“截面”问题是立体几何问题中最具创新意识的题型,它渗透了一些动态的线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力.解决截面问题的关键是作出截面,作截面就是找交线的过程,其依据主要是平面的基本事实及推论、线面、面面平行的判定与性质,常用的方法有两种:(1)延长线法;(2)平行线法. 返回 类型1 延长线法作截面 【典例1】(2025·随州高一检测改编)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则过点D1,E,F的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面多边形的周长为　　　　.  返回 【解析】如图,延长DA,DC,与直线EF分别交于点M,Q,连接D1M,D1Q与A1A,C1C分别交于点P,H,连接PE,HF,则五边形D1PEFH所在平面即为截面. 因为正方体的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,所以EF==. 由Rt△BEF≌Rt△CQF≌Rt△AEM,得AM=CQ=BE=BF=1,EF=ME=FQ=,所以P,H分别为靠近A,C的三等分点,故A1P=C1H=,所以由勾股定理得D1P=D1H==,PE=FH==, 所以截面多边形的周长为D1P+PE+EF+FH+D1H=×2+ ×2+=2+. 答案:2+ 返回 【总结升华】 延长线法作截面 　若同一个平面上有两个点,连接这两点即为几何体与截面的交线,连接并延长至与其他平面相交,会找到下一个交点. 返回 【即学即练】 　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,E,F分别为BB1,A1C1的中点,作过点A,E,F的三棱柱的截面α,并写出画法. 返回 【解析】如图所示,将该三棱柱视为正方体ACBD-A1C1B1D1的一部分,延长AF与CC1交于点P,连接PE,交B1C1于M,连接FM, 则平面AEMF即为截面α. 返回 类型2 平行线法作截面 【典例2】如图,已知正三棱柱木料ABC-A1B1C1各棱长都为2,O1,O分别为△A1B1C1和△ABC的中心,Q为线段O1O上的点,且=,过A,B,Q三点的截面把该木料截成两部分,则截面面积为　　　　.  返回 【解析】如图,连接CO,C1O1并延长分别交AB,A1B1于点D,D1,易知CD∥C1D1,连接DQ并延长交C1D1于点P,过点P作EF∥A1B1分别交B1C1,A1C1于点E,F,连接BE,AF. 因为EF∥A1B1,所以EF∥AB,故梯形ABEF为过A,B,Q三点的平面截正三棱柱ABC-A1B1C1的截面. 因为O1,O分别为△A1B1C1和△ABC的中心,=,又CD∥C1D1,所以O1P=OD=O1D1. 又△A1B1C1是等边三角形,所以O1D1=D1C1,故D1P=D1C1,即P是D1C1的中点,所以EF=A1B1,易知四边形ABEF为等腰梯形,所以PD为等腰梯形的高. 返回 又正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为2,所以EF=1,BE==,PD===, 所以S梯形ABEF=(AB+EF)×PD=×3×=. 答案: 返回 【总结升华】 平行线法作截面 　过直线与直线外一点作截面,若直线所在的面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线,找到几何体的截面的交线. 返回 【即学即练】 　如图,在正方体木块ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点. 现要经过点A将该木块锯开,使截面平行于平面BD1E,在该木块的表面应该怎样画线?请在图中作图,写出画法,并说明理由. 返回 【解析】取棱DD1的中点F,连接AF,CF,AC,则FC,FA,CA就是所求作的线,如图: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF, E是CC1的中点,F为DD1的中点,则EF∥CD∥BA,且EF=CD=BA, 于是得四边形ABEF是平行四边形,有AF∥BE, 而BE⊂平面BD1E,AF⊄平面BD1E,因此AF∥平面BD1E, 又FD1∥CE,FD1=CE,即四边形CED1F为平行四边形,则CF∥ED1,又ED1⊂平面BD1E,CF⊄平面BD1E,于是有CF∥平面BD1E, 而CF∩AF=F,CF,AF⊂平面AFC,从而得平面AFC∥平面BD1E, 所以FC,FA,CA就是所求作的线. 返回 $ 专题突破课五　截面问题 　　“截面”问题是立体几何问题中最具创新意识的题型,它渗透了一些动态的线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力.解决截面问题的关键是作出截面,作截面就是找交线的过程,其依据主要是平面的基本事实及推论、线面、面面平行的判定与性质,常用的方法有两种:(1)延长线法;(2)平行线法. 类型1延长线法作截面 【典例1】(2025·随州高一检测改编)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则过点D1,E,F的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面多边形的周长为　　　　.  【解析】如图,延长DA,DC,与直线EF分别交于点M,Q,连接D1M,D1Q与A1A,C1C分别交于点P,H,连接PE,HF,则五边形D1PEFH所在平面即为截面. 因为正方体的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,所以EF==. 由Rt△BEF≌Rt△CQF≌Rt△AEM,得AM=CQ=BE=BF=1,EF=ME=FQ=,所以P,H分别为靠近A,C的三等分点,故A1P=C1H=,所以由勾股定理得D1P=D1H==,PE=FH==,所以截面多边形的周长为D1P+PE+EF+FH+D1H=×2+×2+=2+. 答案:2+ 【总结升华】 延长线法作截面 　若同一个平面上有两个点,连接这两点即为几何体与截面的交线,连接并延长至与其他平面相交,会找到下一个交点. 【即学即练】 　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,E,F分别为BB1,A1C1的中点,作过点A,E,F的三棱柱的截面α,并写出画法. 【解析】如图所示,将该三棱柱视为正方体ACBD-A1C1B1D1的一部分,延长AF与CC1交于点P,连接PE,交B1C1于M,连接FM, 则平面AEMF即为截面α. 类型2平行线法作截面 【典例2】如图,已知正三棱柱木料ABC-A1B1C1各棱长都为2,O1,O分别为△A1B1C1和△ABC的中心,Q为线段O1O上的点,且=,过A,B,Q三点的截面把该木料截成两部分,则截面面积为　　　　.  【解析】如图,连接CO,C1O1并延长分别交AB,A1B1于点D,D1,易知CD∥C1D1,连接DQ并延长交C1D1于点P,过点P作EF∥A1B1分别交B1C1,A1C1于点E,F,连接BE,AF. 因为EF∥A1B1,所以EF∥AB,故梯形ABEF为过A,B,Q三点的平面截正三棱柱ABC-A1B1C1的截面. 因为O1,O分别为△A1B1C1和△ABC的中心,=,又CD∥C1D1,所以O1P=OD=O1D1. 又△A1B1C1是等边三角形,所以O1D1=D1C1,故D1P=D1C1,即P是D1C1的中点,所以EF=A1B1,易知四边形ABEF为等腰梯形,所以PD为等腰梯形的高. 又正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为2,所以EF=1,BE==,PD===, 所以S梯形ABEF=(AB+EF)×PD=×3×=. 答案: 【总结升华】 平行线法作截面 　过直线与直线外一点作截面,若直线所在的面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线,找到几何体的截面的交线. 【即学即练】 　如图,在正方体木块ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点. 现要经过点A将该木块锯开,使截面平行于平面BD1E,在该木块的表面应该怎样画线?请在图中作图,写出画法,并说明理由. 【解析】取棱DD1的中点F,连接AF,CF,AC,则FC,FA,CA就是所求作的线,如图: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF, E是CC1的中点,F为DD1的中点,则EF∥CD∥BA,且EF=CD=BA, 于是得四边形ABEF是平行四边形,有AF∥BE, 而BE⊂平面BD1E,AF⊄平面BD1E,因此AF∥平面BD1E, 又FD1∥CE,FD1=CE,即四边形CED1F为平行四边形,则CF∥ED1,又ED1⊂平面BD1E,CF⊄平面BD1E,于是有CF∥平面BD1E, 而CF∩AF=F,CF,AF⊂平面AFC,从而得平面AFC∥平面BD1E, 所以FC,FA,CA就是所求作的线. - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $