1.导学案 14 第8章 8.5.3 第2课时 平面与平面平行的性质定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时　平面与平面平行的性质定理 　【学习目标】 1.理解并能证明平面与平面平行的性质定理.(数学抽象、直观想象) 2.能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行 符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 【思考】 　当α∥β时,α与β没有公共点,此时,若l⊂α,m⊂β,则l∩m=　　　　　.这就是说,l与m的位置关系是　　　　　.那么,什么情况下,l与m平行呢?  提示:l∩m=⌀.l与m平行或异面. 当l与m共面时,l与m平行. 【点拨】 　性质定理由面面平行推出线线平行,这里的“线线”是另一个平面与这两个平行平面的交线. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定与另一个平面平行. (√) 　(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面. (×) 提示:平行或异面. 　(3)若平面α,β都与平面γ相交,且交线平行,则α∥β. (×) 提示:这两个平面平行或相交. 　(4)夹在两个平行平面之间的线段一定相等. (×) 提示:夹在两个平行平面之间的平行线段一定相等. 关键能力·师生共研学生用书P83 类型1两个平面平行的性质定理的理解 (数学抽象) 【典例1】给出三种说法: ①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面α∥平面γ; ②若平面α∥平面β,直线a与α相交,则a与β相交; ③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ⊂α. 其中正确说法的序号是　　　　.  【解析】①正确.证明如下:如图(1),在平面α内取两条相交直线a,b,分别过a,b作平面δ,φ,使它们分别与平面β交于两相交直线a',b',因为α∥β,所以a∥a',b∥b'.又因为β∥γ,同理在平面γ内存在两相交直线a″,b″,使得a'∥a″,b'∥b″,所以a∥a″,b∥b″,所以α∥γ. ②正确.若直线a与平面β平行或直线a⊂β,则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β相交. ③正确.如图(2),过直线PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β得a∥b.因为PQ∥β,PQ⊂γ, 所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ重合. 因为a⊂α,所以PQ⊂α. 答案:①②③ 【总结升华】 两个平面平行的性质定理的关注点 　(1)一种思路:由面面平行证明线线平行. (2)两条交线:把要证明的直线看作是平面的交线. (3)三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面. 【即学即练】 　平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是 (　　) A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB与CD相交 D.A,B,C,D四点共面 【解析】选D.充分性:A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立. 类型2两个平面平行的性质定理的应用 (逻辑推理) 角度1　证明问题 【典例2】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点. 【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1, 所以四边形ANC1M为平行四边形, 所以AN=C1M=A1C1=AC, 所以N为AC的中点. 【总结升华】 　应用两个平面平行的性质定理证明问题的步骤 【即学即练】 　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,过点B,E,D1的平面与棱CC1交于点F.求证:四边形BFD1E为平行四边形. 【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE, 平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1, 由两个平面平行的性质定理知BE∥FD1, 同理BF∥D1E, 所以四边形BFD1E为平行四边形. 角度2　求值问题 【典例3】(易错·对对碰) 已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8. (1)若点P在平面α,β之间(如图),则BD的长为　　　　　;  (2)若点P不在平面α,β之间(如图),则BD的长为　　　　　.  【解析】因为AC∩BD=P, 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD, 因为α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD. (1)=,即=,所以BD=24. (2)=,即=.所以BD=. 答案:(1)24　(2) 【总结升华】 　两个平面平行的性质定理求值问题的步骤 (1)利用两个平面平行的性质定理证明线线平行; (2)利用平行线分线段成比例定理求值. 【即学即练】 　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则=　　　　　.  【解析】因为平面MNE∥平面ACB1,由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C,EM∥B1A, 又因为E为BB1的中点,所以M,N分别为BA,BC的中点,所以MN=AC,即=. 答案: 类型3平行关系的综合应用(逻辑推理) 【典例4】如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M,N分别是棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE. (1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:MN∥PE. 【证明】(1)如图,取DC的中点Q,连接MQ,NQ. 因为N,Q分别是PC,DC的中点, 所以NQ∥PD. 因为NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以NQ∥平面PAD. 因为M是AB的中点,四边形ABCD是平行四边形,所以MQ∥AD. 又MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以MQ∥平面PAD. 因为MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD. 因为MN⊂平面MNQ,所以MN∥平面PAD. (2)因为平面MNQ∥平面PAD,且平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE, 所以MN∥PE. 【总结升华】 　空间中各种平行关系相互转化的示意图 【即学即练】 　如图,点P是△ABC外的一点,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接PM,MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM. 【证明】因为D,E分别是PA,PB的中点, 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以DE∥平面ABC, 同理DF∥平面ABC,因为DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF, 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF=NF, 平面PCM∩平面ABC=CM, 所以NF∥CM. 【教材深一度】 平行平面分线段成比例 链接教材:P145T13 　一组平行平面被两条直线所截,截得的线段对应成比例. 已知两条异面直线与三个平行平面α,β,γ分别交于A,B,C和D,E,F,求证:=. 【证明】如图,连接AF交平面β于点M. 连接MB,ME,BE,AD,CF, 因为α∥β, 所以ME∥AD.所以=. 同理,BM∥CF, 所以=,即=. 【典例5】如图,平面α∥β∥γ,直线l,m分别与α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.若=,DF=20,则EF=　　　　.  【解析】利用平行平面分线段成比例得:==,又DF=20,求得EF=15. 答案:15 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 第2课时　平面与平面平行的性质定理 内容概览 【学习目标】 1.理解并能证明平面与平面平行的性质定理.(数学抽象、直观想象) 2.能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线_____ 符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒_____ 图形语言 平行 a∥b 返回 【思考】 　当α∥β时,α与β没有公共点,此时,若l⊂α,m⊂β,则l∩m=　　　　　.这就是说,l与m的位置关系是　　　　　.那么,什么情况下,l与m平行呢?  提示:l∩m=⌀.l与m平行或异面. 当l与m共面时,l与m平行. 【点拨】 　性质定理由面面平行推出线线平行,这里的“线线”是另一个平面与这两个平行平面的交线. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定与另一个平面平行.( ) 　(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面.( ) 提示:平行或异面. 　(3)若平面α,β都与平面γ相交,且交线平行,则α∥β.( ) 提示:这两个平面平行或相交. 　(4)夹在两个平行平面之间的线段一定相等.( ) 提示:夹在两个平行平面之间的平行线段一定相等. √ × × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 两个平面平行的性质定理的理解 (数学抽象) 【典例1】给出三种说法: ①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面α∥平面γ; ②若平面α∥平面β,直线a与α相交,则a与β相交; ③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ⊂α. 其中正确说法的序号是　　　　.  返回 【解析】①正确.证明如下:如图(1),在平面α内取两条相交直线a,b,分别过a,b作平面δ,φ,使它们分别与平面β交于两相交直线a',b',因为α∥β,所以a∥a',b∥b'.又因为β∥γ,同理在平面γ内存在两相交直线a″,b″,使得a'∥a″,b'∥b″,所以a∥a″,b∥b″,所以α∥γ. ②正确.若直线a与平面β平行或直线a⊂β,则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β相交. ③正确.如图(2),过直线PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β得a∥b.因为PQ∥β,PQ⊂γ, 所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ重合. 因为a⊂α,所以PQ⊂α. 返回 答案:①②③ 返回 【总结升华】 两个平面平行的性质定理的关注点 (1)一种思路:由面面平行证明线线平行. (2)两条交线:把要证明的直线看作是平面的交线. (3)三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面. 返回 【即学即练】 　平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　) A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB与CD相交 D.A,B,C,D四点共面 【解析】选D.充分性:A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立. √ 返回 类型2 两个平面平行的性质定理的应用 (逻辑推理) 角度1　证明问题 【典例2】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点. 返回 【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1, 所以四边形ANC1M为平行四边形, 所以AN=C1M=A1C1=AC, 所以N为AC的中点. 返回 【总结升华】 　应用两个平面平行的性质定理证明问题的步骤 返回 【即学即练】 　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,过点B,E,D1的平面与棱CC1交于点F.求证:四边形BFD1E为平行四边形. 返回 【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE, 平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1, 由两个平面平行的性质定理知BE∥FD1, 同理BF∥D1E, 所以四边形BFD1E为平行四边形. 返回 角度2　求值问题 【典例3】(易错·对对碰) 已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8. (1)若点P在平面α,β之间(如图),则BD的长为　　　　　;  返回 (2)若点P不在平面α,β之间(如图),则BD的长为　　　　　.  返回 【解析】因为AC∩BD=P, 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD, 因为α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD. (1)=,即=,所以BD=24. (2)=,即=.所以BD=. 答案:(1)24　(2) 返回 【总结升华】 　两个平面平行的性质定理求值问题的步骤 (1)利用两个平面平行的性质定理证明线线平行; (2)利用平行线分线段成比例定理求值. 返回 【即学即练】 　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则=　　　　　.  返回 【解析】因为平面MNE∥平面ACB1,由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C,EM∥B1A, 又因为E为BB1的中点,所以M,N分别为BA,BC的中点,所以MN=AC,即=. 答案: 返回 类型3 平行关系的综合应用(逻辑推理) 【典例4】如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M,N分别是棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE. (1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:MN∥PE. 返回 【证明】(1)如图,取DC的中点Q,连接MQ,NQ. 因为N,Q分别是PC,DC的中点, 所以NQ∥PD. 因为NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以NQ∥平面PAD. 因为M是AB的中点,四边形ABCD是平行四边形,所以MQ∥AD. 又MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以MQ∥平面PAD. 因为MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD. 因为MN⊂平面MNQ,所以MN∥平面PAD. (2)因为平面MNQ∥平面PAD,且平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE, 所以MN∥PE. 返回 【总结升华】 　空间中各种平行关系相互转化的示意图 返回 【即学即练】 　如图,点P是△ABC外的一点,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接PM,MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM. 返回 【证明】因为D,E分别是PA,PB的中点, 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以DE∥平面ABC, 同理DF∥平面ABC,因为DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF, 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF=NF, 平面PCM∩平面ABC=CM, 所以NF∥CM. 返回 【教材深一度】 平行平面分线段成比例 链接教材:P145T13 　一组平行平面被两条直线所截,截得的线段对应成比例. 已知两条异面直线与三个平行平面α,β,γ分别交于A,B,C和D,E,F,求证:=. 返回 【证明】如图,连接AF交平面β于点M. 连接MB,ME,BE,AD,CF, 因为α∥β, 所以ME∥AD.所以=. 同理,BM∥CF, 所以=,即=. 返回 【典例5】如图,平面α∥β∥γ,直线l,m分别与α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.若=,DF=20,则EF=　　　　.  返回 【解析】利用平行平面分线段成比例得:==,又DF=20,求得EF=15. 答案:15 返回 $