1.导学案 13 第8章 8.5.3 第1课时 平面与平面平行的判定定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.5.3　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的判定定理 　【学习目标】 1.理解平面与平面平行的定义,掌握平面与平面平行的判定定理.(数学抽象) 2.会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α 图形语言 【思考】 1.把一个三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面有怎样的位置关系? 提示:平行 2.如果一个平面内存在无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面一定平行吗? 提示:不一定. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)若一个平面与另一个平面没有公共点,则这两个平面平行. (√) 　(2)若平面α内的两条平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. (×) 提示:这两个平面平行或相交. 　(3)若平面α内的两条不平行的直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. (√) 　(4)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. (√) 关键能力·师生共研 类型1面面平行定义与判定定理的理解 (数学抽象) 【典例1】(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.若一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线平行,则这两个平面平行 B.若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 C.若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 D.若两个平面不相交,则这两个平面平行 【解析】选CD.对于A:这两个平面可能相交,也可能平行,错误; 对于B:如果这两条直线平行,那么这两个平面也可能相交,错误; 对于C:这是两个平面平行的定义的等价条件,正确; 对于D:因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种,如果两个平面不相交,那么这两个平面一定平行,正确. 【总结升华】 面面平行定义及判定定理的关注点 　(1)面面平行的定义的等价条件中注意“任意”二字,不是“无数”; (2)面面平行的判定定理,注意“相交”这个条件,线不在多,相交就行; (3)经常借助于正方体模型,举反例否定结论. 【即学即练】 　平面α与平面β平行的充分条件可以是 (　　) A.α内有无穷多条直线都与β平行 B.直线a∥α,a∥β,且直线a⊄α,a⊄β C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α D.α内的任何一条直线都与β平行 【解析】选D.A选项,α内有无穷多条直线都与β平行,并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行,这无穷多条直线可以是一组平行线,故A错误; B选项,直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内,直线a可以是与平面α和平面β的相交直线平行的直线,故不能保证平面α与平面β平行,故B错误; C选项,直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,当直线a∥b时,不能保证平面α与平面β平行,故C错误; D选项,α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行,故平面α与平面β平行. 类型2面面平行的判定(逻辑推理) 【典例2】如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC. 【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, 所以MQ∥AD,NQ∥BP, 而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, 所以NQ∥平面PBC, 又因为四边形ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, 所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q, 所以平面MNQ∥平面PBC. 【总结升华】 平面与平面平行的判定方法 　(1)定义法:两个平面没有公共点. (2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. (3)利用线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β. 【即学即练】 　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是A1D,BD的中点.求证:平面PQB∥平面CB1D1. 【证明】如图,连接AD1,AC, 易得PQ为三角形ACD1的中位线,故PQ∥CD1, PQ⊄平面CB1D1,CD1⊂平面CB1D1, 所以PQ∥平面CB1D1; 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BQ∥B1D1, BQ⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1, 所以BQ∥平面CB1D1; 又PQ,BQ⊂平面PQB,且PQ∩BQ=Q, 所以平面PQB∥平面CB1D1. 类型3线面平行、面面平行的综合应用 (逻辑推理) 【典例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,P是线段B1D1上的动点.证明: (1)AC1∥平面BDF; (2)PE∥平面BDF. 【证明】(1)如图,连接AC交BD于点O,连接FO. 因为F为CC1的中点,O为AC的中点, 所以FO为△ACC1的中位线,所以FO∥AC1. 又因为FO⊂平面BDF,AC1⊄平面BDF, 所以AC1∥平面BDF. (2)连接ED1,EB1,连接A1C1交B1D1于点O1,连接EO1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1, 因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF, 所以B1D1∥平面BDF. 又EO1为△AA1C1的中位线,所以EO1∥AC1. 因为AC1∥平面BDF,EO1⊄平面BDF, 所以EO1∥平面BDF. 又因为EO1⊂平面B1D1E,B1D1⊂平面B1D1E,EO1∩B1D1=O1,所以平面B1D1E∥平面BDF. 因为PE⊂平面B1D1E,所以PE∥平面BDF. 【总结升华】 证明线面平行、面面平行的联系 　(1)证明面面平行,一般先证线面平行; (2)已知面面平行,可得线面平行. 【即学即练】 如图,AB是圆柱OO1底面的直径,PA是圆柱OO1的母线,C是圆O上的点(异于A,B两点),Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC. 【证明】连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO. 由G为△AOC的重心,得M为AC中点, 由Q为PA中点,得QM∥PC. 又因为O为AB中点,得OM∥BC. 因为QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC, 因为QG⊂平面OMQ,所以QG∥平面PBC. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.5.3　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的判定定理 内容概览 【学习目标】 1.理解平面与平面平行的定义,掌握平面与平面平行的判定定理.(数学抽象) 2.会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的_____________与另一个平面平行,那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α 图形语言 两条相交直线 返回 【思考】 1.把一个三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面有怎样的位置关系? 提示:平行 2.如果一个平面内存在无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面一定平行吗? 提示:不一定. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个平面与另一个平面没有公共点,则这两个平面平行.( ) (2)若平面α内的两条平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行.( ) 提示:这两个平面平行或相交. (3)若平面α内的两条不平行的直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行.( ) (4)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.( ) √ × √ √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 面面平行定义与判定定理的理解 (数学抽象) 【典例1】(多选)下列命题中正确的是(　　) A.若一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线平行,则这两个平面平行 B.若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 C.若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 D.若两个平面不相交,则这两个平面平行 √ √ 返回 【解析】选CD.对于A:这两个平面可能相交,也可能平行,错误; 对于B:如果这两条直线平行,那么这两个平面也可能相交,错误; 对于C:这是两个平面平行的定义的等价条件,正确; 对于D:因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种,如果两个平面不相交,那么这两个平面一定平行,正确. 返回 【总结升华】 面面平行定义及判定定理的关注点 (1)面面平行的定义的等价条件中注意“任意”二字,不是“无数”; (2)面面平行的判定定理,注意“相交”这个条件,线不在多,相交就行; (3)经常借助于正方体模型,举反例否定结论. 返回 【即学即练】 　平面α与平面β平行的充分条件可以是(　　) A.α内有无穷多条直线都与β平行 B.直线a∥α,a∥β,且直线a⊄α,a⊄β C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α D.α内的任何一条直线都与β平行 √ 返回 【解析】选D.A选项,α内有无穷多条直线都与β平行,并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行,这无穷多条直线可以是一组平行线,故A错误; B选项,直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内,直线a可以是与平面α和平面β的相交直线平行的直线,故不能保证平面α与平面β平行,故B错误; C选项,直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,当直线a∥b时,不能保证平面α与平面β平行,故C错误; D选项,α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行,故平面α与平面β平行. 返回 类型2 面面平行的判定(逻辑推理) 【典例2】如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC. 返回 【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, 所以MQ∥AD,NQ∥BP, 而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, 所以NQ∥平面PBC, 又因为四边形ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, 所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q, 所以平面MNQ∥平面PBC. 返回 【总结升华】 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法:两个平面没有公共点. (2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. (3)利用线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β. 返回 【即学即练】 　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是A1D,BD的中点.求证:平面PQB∥平面CB1D1. 返回 【证明】如图,连接AD1,AC, 易得PQ为三角形ACD1的中位线,故PQ∥CD1, PQ⊄平面CB1D1,CD1⊂平面CB1D1, 所以PQ∥平面CB1D1; 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BQ∥B1D1, BQ⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1, 所以BQ∥平面CB1D1; 又PQ,BQ⊂平面PQB,且PQ∩BQ=Q, 所以平面PQB∥平面CB1D1. 返回 类型3线面平行、面面平行的综合应用 (逻辑推理) 【典例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,P是线段B1D1上的动点.证明: (1)AC1∥平面BDF; (2)PE∥平面BDF. 返回 【证明】(1)如图,连接AC交BD于点O,连接FO. 因为F为CC1的中点,O为AC的中点, 所以FO为△ACC1的中位线,所以FO∥AC1. 又因为FO⊂平面BDF,AC1⊄平面BDF, 所以AC1∥平面BDF. 返回 (2)连接ED1,EB1,连接A1C1交B1D1于点O1,连接EO1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1, 因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF, 所以B1D1∥平面BDF. 又EO1为△AA1C1的中位线,所以EO1∥AC1. 因为AC1∥平面BDF,EO1⊄平面BDF, 所以EO1∥平面BDF. 又因为EO1⊂平面B1D1E,B1D1⊂平面B1D1E,EO1∩B1D1=O1,所以平面B1D1E∥平面BDF. 因为PE⊂平面B1D1E,所以PE∥平面BDF. 返回 【总结升华】 证明线面平行、面面平行的联系 (1)证明面面平行,一般先证线面平行; (2)已知面面平行,可得线面平行. 返回 【即学即练】 如图,AB是圆柱OO1底面的直径,PA是圆柱OO1的母线,C是圆O上的点(异于A,B两点),Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC. 返回 【证明】连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO. 由G为△AOC的重心,得M为AC中点, 由Q为PA中点,得QM∥PC. 又因为O为AB中点,得OM∥BC. 因为QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC, 因为QG⊂平面OMQ,所以QG∥平面PBC. 返回 $