1.导学案 12 第8章 8.5.2 第2课时 直线与平面平行的性质定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时　直线与平面平行的性质定理 　【学习目标】 1.理解直线与平面平行的性质定理.(数学抽象、直观想象) 2.会应用直线与平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系.(逻辑推理) 3.能够综合应用直线与平面平行的判定和性质定理进行线线、线面平行的转化.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b 图形语言 【思考】 1.若a∥α,则过a与α相交的平面有多少个?它们与α的交线相互之间有什么关系? 提示:过a与平面α相交的平面有无数个,它们与α的交线都是平行的. 2.三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线与它们具有怎样的位置关系?如果三条交线中有两条相交呢? 提示:三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线也与它们平行,如图①;如果三条交线中有两条相交,那么第三条直线也与它们相交,如图②. 【点拨】 　应用直线与平面平行的性质定理,要知道已知直线在哪个平面内,这个平面与已知平面的交线是哪条直线,若没有这个平面,则需要作出. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与该平面内的任意一条直线都平行. (×) 提示:这条直线与该平面内的直线可能是异面直线. 　(2)若直线a∥平面α,则平面α内有唯一一条直线与直线a平行. (×) 提示:平面α内有无数条直线与直线a平行,这些直线都是相互平行的. 　(3)如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线平行. (×) 提示:这两条直线也可能相交或异面. 　(4)若直线a∥平面α,则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点. (√) 关键能力·师生共研 类型1直线与平面平行的性质定理的应用 (逻辑推理、数学运算) 角度1　证明问题 【典例1】如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G. 求证:四边形EFHG是平行四边形. 【证明】由题意,平面ABD∩平面α=FH, 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABD, 所以AB∥FH. 又平面ABC∩平面α=EG,AB⊂平面ABC, 所以AB∥EG,所以FH∥EG, 同理GH∥CD∥EF, 所以四边形EFHG是平行四边形. 【总结升华】 　利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤 【即学即练】 　如图所示的一块木料,棱BC平行于平面A1B1C1,D为棱A1B1的中点,现要过棱BC和点D将木料锯开,应怎样画线?为什么? 【解析】取棱A1C1的中点E,连接DE,BD,CE,则BD,DE,CE就是应画的线. 理由如下:因为棱BC平行于平面A1B1C1,平面BB1C1C经过BC并与平面A1B1C1交于B1C1, 根据线面平行的性质定理,BC∥B1C1, 因为D,E分别是A1B1,A1C1的中点,所以DE∥B1C1, 所以BC∥DE,所以四边形BCED即为过BC和点D的截面. 角度2　求值问题 【典例2】如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.求实数λ的值. 【解析】如图,连接AC,设AC∩BE=G,连接FG,则平面SAC∩平面EFB=FG. 因为SA∥平面BEF,SA⊂平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,所以SA∥FG,所以=, 因为AE∥BC,所以△GEA∽△GBC, 所以==, 所以==, 即SF=SC,所以λ=. 【总结升华】 　求值问题的三个关键点 (1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系; (2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系; (3)利用所得关系计算求值. 【即学即练】 　如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC与平面α分别交于点M,N,且M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=　　　　.  【解析】因为AB∥平面α,AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面α=MN,所以AB∥MN, 又M是AD的中点,AB∥CD,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=5. 答案:5 类型2线面平行关系的综合应用(逻辑推理) 【典例3】在空间四边形PABC中,PA=PB=PC,AB=BC=AC,点E,F,G都是所在边的中点,E,F,G这三点所确定的平面与AB相交于点D. 求证:点D是线段AB的中点. 【证明】因为PE=EB,PF=FC, 所以EF为△PBC的中位线, 即有EF∥BC.又BC不在平面EFG内, 所以BC∥平面EFG. 因为平面EFG∩平面ABC=DG, 所以BC∥DG, 因为G为AC的中点, 所以D是线段AB的中点. 【总结升华】 线面平行关系的综合应用 　(1)逻辑关系: (2)应用:由线线平行判定线面平行,由线面平行可以推出线线平行,解题过程实质是这两种平行关系的相互转化. 【即学即练】 　求证:若两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行. 【解析】已知:a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β=l. 求证:a∥b∥l. 证明:如图所示,因为a∥b,b⊂β,a⊄β, 所以a∥β, 又a⊂α,α∩β=l,所以a∥l,又a∥b, 所以a∥b∥l. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 第2课时　直线与平面平行的性质定理 内容概览 【学习目标】 1.理解直线与平面平行的性质定理.(数学抽象、直观想象) 2.会应用直线与平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系.(逻辑推理) 3.能够综合应用直线与平面平行的判定和性质定理进行线线、线面平行的转化.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面_____,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与_________ 符号语言 a∥α,___________⇒a∥b 图形语言 平行 交线平行 a⊂β,α∩β=b 返回 【思考】 1.若a∥α,则过a与α相交的平面有多少个?它们与α的交线相互之间有什么关系? 提示:过a与平面α相交的平面有无数个,它们与α的交线都是平行的. 2.三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线与它们具有怎样的位置关系?如果三条交线中有两条相交呢? 提示:三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线也与它们平行,如图①;如果三条交线中有两条相交,那么第三条直线也与它们相交,如图②. 返回 【点拨】 　应用直线与平面平行的性质定理,要知道已知直线在哪个平面内,这个平面与已知平面的交线是哪条直线,若没有这个平面,则需要作出. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与该平面内的任意一条直线都平行.( ) 提示:这条直线与该平面内的直线可能是异面直线. (2)若直线a∥平面α,则平面α内有唯一一条直线与直线a平行.( ) 提示:平面α内有无数条直线与直线a平行,这些直线都是相互平行的. (3)如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线平行.( ) 提示:这两条直线也可能相交或异面. (4)若直线a∥平面α,则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点.( ) × × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 直线与平面平行的性质定理的应用 (逻辑推理、数学运算) 角度1　证明问题 【典例1】如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G. 求证:四边形EFHG是平行四边形. 返回 【证明】由题意,平面ABD∩平面α=FH, 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABD, 所以AB∥FH. 又平面ABC∩平面α=EG,AB⊂平面ABC, 所以AB∥EG,所以FH∥EG, 同理GH∥CD∥EF, 所以四边形EFHG是平行四边形. 返回 【总结升华】 　利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤 返回 【即学即练】 　如图所示的一块木料,棱BC平行于平面A1B1C1,D为棱A1B1的中点,现要过棱BC和点D将木料锯开,应怎样画线?为什么? 返回 【解析】取棱A1C1的中点E,连接DE,BD,CE,则BD,DE,CE就是应画的线. 理由如下:因为棱BC平行于平面A1B1C1,平面BB1C1C经过BC并与平面A1B1C1交于B1C1, 根据线面平行的性质定理,BC∥B1C1, 因为D,E分别是A1B1,A1C1的中点,所以DE∥B1C1, 所以BC∥DE,所以四边形BCED即为过BC和点D的截面. 返回 角度2　求值问题 【典例2】如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.求实数λ的值. 返回 【解析】如图,连接AC,设AC∩BE=G,连接FG,则平面SAC∩平面EFB=FG. 因为SA∥平面BEF,SA⊂平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,所以SA∥FG,所以=, 因为AE∥BC,所以△GEA∽△GBC, 所以==, 所以==, 即SF=SC,所以λ=. 返回 【总结升华】 　求值问题的三个关键点 (1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系; (2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系; (3)利用所得关系计算求值. 返回 【即学即练】 　如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC与平面α分别交于点M,N,且M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=　　　　.  返回 【解析】因为AB∥平面α,AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面α=MN,所以AB∥MN, 又M是AD的中点,AB∥CD,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=5. 答案:5 返回 类型2线面平行关系的综合应用(逻辑推理) 【典例3】在空间四边形PABC中,PA=PB=PC,AB=BC=AC,点E,F,G都是所在边的中点,E,F,G这三点所确定的平面与AB相交于点D. 求证:点D是线段AB的中点. 返回 【证明】因为PE=EB,PF=FC, 所以EF为△PBC的中位线, 即有EF∥BC.又BC不在平面EFG内, 所以BC∥平面EFG. 因为平面EFG∩平面ABC=DG, 所以BC∥DG, 因为G为AC的中点, 所以D是线段AB的中点. 返回 【总结升华】 线面平行关系的综合应用 (1)逻辑关系: (2)应用:由线线平行判定线面平行,由线面平行可以推出线线平行,解题过程实质是这两种平行关系的相互转化. 返回 【即学即练】 　求证:若两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行. 【解析】已知:a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β=l. 求证:a∥b∥l. 证明:如图所示,因为a∥b,b⊂β,a⊄β, 所以a∥β, 又a⊂α,α∩β=l,所以a∥l,又a∥b, 所以a∥b∥l. 返回 $