1.导学案 08 第8章 8.4.1 平面(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 内容概览 【学习目标】 1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.(直观想象) 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(直观想象) 3.理解三个基本事实及其推论,能利用三个基本事实及其推论解决相关问题.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、平面 1.平面的概念 几何中所说的“平面”,是从生活中的课桌面、黑板面、平静的水面等抽象出来的.平面是向四周无限延展的. 2.平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,如图①. 返回 (2)如果一个平面被另一个平面挡住,为了增强它的立体感,把被挡住的部分 用_____画出来.如图②. 3.平面的表示 如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD. 虚线 返回 【思考】 1.“平行四边形就是一个平面”,这句话对吗? 提示:不对,我们通常用平行四边形表示平面,但平面是向四周无限延展的,平行四边形是个图形,无法向四周无限延展,故不是一个平面. 【点拨】 平面是平的,无厚度,无大小,是向四周无限延展的. 返回 二、点、直线与平面之间的关系及符号表示 【点拨】 直线、平面是由点构成的集合,点与直线、点与平面用元素与集合的关系表示,直线与平面用集合间的关系表示. 点P在直线l上 _____ 点P在平面α外 P∉α 点P在直线l外 P∉l 直线l在平面α内 l⊂α 点P在平面α内 _____ 直线l在平面α外 l⊄α P∈l P∈α 返回 三、平面的基本事实及其推论 1.基本事实 基本 事实 内容 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上 的_______,有且只有 一个平面 A,B,C三点不共线⇒ 存在唯一的平面α 使A,B,C∈α 三个点 返回 基本 事实 内容 图形语言 符号语言 基本 事实2 如果一条直线上的_____ ___在一个平面内,那么 这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l, 且A∈α, B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面 有一个_______,那么它 们有且只有一条过该点 的公共直线 P∈α, 且P∈β⇒α∩β=l, 且P∈l 两个 点 公共点 返回 【思考】 2.用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定,为什么? 提示:基于基本事实1,两个合页和一把锁就是不共线的三点,能确定一个平 面. 3.将一把尺子置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整,为什么? 提示:基于基本事实2,一把尺子看作一条直线,不透光说明直线在桌面上. 4.两个平面相交时,公共点具有什么特点? 提示:公共点都在同一条直线上. 返回 2.推论 推论1　经过一条直线和这条直线外_____,有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条_________,有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条_________,有且只有一个平面(图③). 一点 相交直线 平行直线 返回 【思考】 5.如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内?其依据是什么? 提示:如图,用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果这两根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,否则就不在同一个平面内,其依据就是推论2. 返回 【点拨】 三个基本事实的作用 基本事实1:确定平面; 基本事实2:确定直线在平面内; 基本事实3:确定点共线. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若A∈a,a⊂α,则A∈α.( ) (2)过三点A,B,C有且只有一个平面.( ) 提示:过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. (3)一条直线与一个点能确定一个平面.( ) 提示:当点在直线上时不能确定一个平面. (4)两个不重合的平面可能存在有限个公共点.( ) 提示:要么没有公共点,要么有无数个公共点. √ × × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1平面及点、线、面关系的符号表示(直观想象) 【典例1】(1)如图所示,点、直线、平面的位置关系用符号语言表示正确的是 (　　) A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n 【解析】选A.平面α与平面β相交于直线m,记作α∩β=m;直线n在平面α内,记作 n⊂α;直线m与直线n相交于点A,记作m∩n=A,点A在直线m上,点A在直线n上,记作 A∈m,A∈n. √ 返回 (2)用符号表示下列语句,并画出图形. ①平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B. ②点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上. 【解析】①用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图1. ②用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图2. 返回 【总结升华】 文字、符号、图形语言转化时的注意点 (1)点相当于集合中的元素,直线、平面相当于集合,切勿用错符号“∈”与“⊂”. (2)实线与虚线的区别. 返回 【即学即练】 把下列符号叙述所对应图形的字母编号填在题后横线上. (1)A∉α,a⊂α:　　　　;  (2)α∩β=a,P∉α且P∉β:　　　　;  (3)a⊄α,a∩α=A:　　　　.  答案:(1)B　(2)C　(3)A 返回 类型2点、线共面问题(直观想象、逻辑推理) 【典例2】(易错·对对碰)(一题多解) 用“共面”“不共面”或“不一定共面”填空: (1)两两相交且不过同一点的三条直线　　　　　;  (2)两两相交且过同一点的三条直线　　　　　.  返回 【解析】(1)两两相交且不过同一点的三条直线共面,证明如下: 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 证明:证法一(纳入法):因为l1∩l2=A, 所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以B∈l2. 又l2⊂α,所以B∈α. 同理可证C∈α. 因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α. 所以直线l1,l2,l3在同一平面内. 返回 证法二(重合法):因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β. 因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α. 因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. 所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 返回 (2)两两相交且过同一点的三条直线不一定共面,有以下两种情况: ①这三条直线在同一个平面内相交,如图,三条直线为l,m,n. ②这三条直线不共面,如图,三条直线为l,m,n. 答案:(1)共面　(2)不一定共面 返回 【总结升华】 证明点、线共面的方法 证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论,常用的方法有: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合. 返回 【即学即练】 如图,l1∥l2,l3与l1,l2分别交于A,B两点,l4与l1,l2分别交于C,D两点,E∈AD.求证:A,B,C,D,E五点共面. 【证明】因为l1∥l2, 所以直线l1,l2可确定一个平面,记为平面α, 因为A,C∈l1,B,D∈l2, 所以A,B,C,D∈α,所以AD⊂α, 因为E∈AD,则E∈α, 所以A,B,C,D,E五点共面. 返回 类型3点共线、线共点问题(逻辑推理) 角度1　点共线 【典例3】如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,求证:B,E,D三点共线. 【证明】因为AB∥CD, 所以AB,CD共面,设为平面β, 所以AC在平面β内,即E在平面β内. 而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E, 可知B,D,E为平面α与平面β的公共点, 根据基本事实3可得,B,D,E三点共线. 返回 【总结升华】 点共线问题的关注点 (1)主要依据:基本事实3. (2)证明方法: ①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上; ②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 返回 【即学即练】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C∩平面ABC1D1=E.求证:B,E,D1三点共线. 【证明】如图,连接A1B,CD1,BD1, 因为A1C∩平面ABC1D1=E, 所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1. 因为A1C⊂平面A1BCD1, 所以E∈平面A1BCD1. 由于平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1, 根据基本事实3可知B,E,D1三点共线. 返回 角度2　线共点 【典例4】求证:三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点. 【证明】如图,因为点A,A1,B1,B四点共面,所以延长AA1,BB1 交于一点.设AA1∩BB1=P, 又BB1⊂平面BC1,AA1⊂平面AC1, 所以P∈平面BC1,P∈平面AC1. 所以P为平面BC1和平面AC1的公共点. 又因为平面BC1∩平面AC1=CC1,所以P∈CC1,即AA1,BB1,CC1延长后相交于 一点P. 返回 【总结升华】 证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这一点,把问题转化为证明点在直线上的问题. 返回 【即学即练】 如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:直线AB,CD,l共点. 【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰, 所以直线AB,CD必定相交于一点, 如图,设AB∩CD=M.又因为AB⊂α,CD⊂β, 所以M∈α,且M∈β,又因为α∩β=l, 所以M∈l.即直线AB,CD,l共点. 返回 $ 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 【学习目标】 1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.(直观想象) 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(直观想象) 3.理解三个基本事实及其推论,能利用三个基本事实及其推论解决相关问题.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 一、平面 1.平面的概念 几何中所说的“平面”,是从生活中的课桌面、黑板面、平静的水面等抽象出来的.平面是向四周无限延展的. 2.平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,如图①. (2)如果一个平面被另一个平面挡住,为了增强它的立体感,把被挡住的部分用虚线画出来.如图②. 3.平面的表示 如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD. 【思考】 1.“平行四边形就是一个平面”,这句话对吗? 提示:不对,我们通常用平行四边形表示平面,但平面是向四周无限延展的,平行四边形是个图形,无法向四周无限延展,故不是一个平面. 【点拨】 平面是平的,无厚度,无大小,是向四周无限延展的. 二、点、直线与平面之间的关系及符号表示 点P在直线l上 P∈l 点P在平面α外 P∉α 点P在直线l外 P∉l 直线l在平面α内 l⊂α 点P在平面α内 P∈α 直线l在平面α外 l⊄α 【点拨】 直线、平面是由点构成的集合,点与直线、点与平面用元素与集合的关系表示,直线与平面用集合间的关系表示. 三、平面的基本事实及其推论 1.基本事实 基本 事实 内容 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l 【思考】 2.用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定,为什么? 提示:基于基本事实1,两个合页和一把锁就是不共线的三点,能确定一个平面. 3.将一把尺子置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整,为什么? 提示:基于基本事实2,一把尺子看作一条直线,不透光说明直线在桌面上. 4.两个平面相交时,公共点具有什么特点? 提示:公共点都在同一条直线上. 2.推论 推论1　经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③). 【思考】 5.如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内?其依据是什么? 提示:如图,用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果这两根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,否则就不在同一个平面内,其依据就是推论2. 【点拨】 三个基本事实的作用 基本事实1:确定平面; 基本事实2:确定直线在平面内; 基本事实3:确定点共线. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若A∈a,a⊂α,则A∈α. (√) (2)过三点A,B,C有且只有一个平面. (×) 提示:过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. (3)一条直线与一个点能确定一个平面. (×) 提示:当点在直线上时不能确定一个平面. (4)两个不重合的平面可能存在有限个公共点. (×) 提示:要么没有公共点,要么有无数个公共点. 关键能力·师生共研 类型1平面及点、线、面关系的符号表示(直观想象) 【典例1】(1)如图所示,点、直线、平面的位置关系用符号语言表示正确的是 (　　) A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n 【解析】选A.平面α与平面β相交于直线m,记作α∩β=m;直线n在平面α内,记作n⊂α;直线m与直线n相交于点A,记作m∩n=A,点A在直线m上,点A在直线n上,记作A∈m,A∈n. (2)用符号表示下列语句,并画出图形. ①平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B. ②点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上. 【解析】①用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图1. ②用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图2. 【总结升华】 文字、符号、图形语言转化时的注意点 (1)点相当于集合中的元素,直线、平面相当于集合,切勿用错符号“∈”与“⊂”. (2)实线与虚线的区别. 【即学即练】 把下列符号叙述所对应图形的字母编号填在题后横线上. (1)A∉α,a⊂α:　　　　;  (2)α∩β=a,P∉α且P∉β:　　　　;  (3)a⊄α,a∩α=A:　　　　.  答案:(1)B　(2)C　(3)A 类型2点、线共面问题(直观想象、逻辑推理) 【典例2】(易错·对对碰)(一题多解) 用“共面”“不共面”或“不一定共面”填空: (1)两两相交且不过同一点的三条直线　　　　　;  (2)两两相交且过同一点的三条直线　　　　　.  【解析】(1)两两相交且不过同一点的三条直线共面,证明如下: 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 证明:证法一(纳入法):因为l1∩l2=A, 所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以B∈l2. 又l2⊂α,所以B∈α. 同理可证C∈α. 因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α. 所以直线l1,l2,l3在同一平面内. 证法二(重合法):因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β. 因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α. 因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. 所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. (2)两两相交且过同一点的三条直线不一定共面,有以下两种情况: ①这三条直线在同一个平面内相交,如图,三条直线为l,m,n. ②这三条直线不共面,如图,三条直线为l,m,n. 答案:(1)共面　(2)不一定共面 【总结升华】 证明点、线共面的方法 证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论,常用的方法有: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合. 【即学即练】 如图,l1∥l2,l3与l1,l2分别交于A,B两点,l4与l1,l2分别交于C,D两点,E∈AD.求证:A,B,C,D,E五点共面. 【证明】因为l1∥l2, 所以直线l1,l2可确定一个平面,记为平面α, 因为A,C∈l1,B,D∈l2, 所以A,B,C,D∈α,所以AD⊂α, 因为E∈AD,则E∈α, 所以A,B,C,D,E五点共面. 类型3点共线、线共点问题(逻辑推理) 角度1　点共线 【典例3】如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,求证:B,E,D三点共线. 【证明】因为AB∥CD, 所以AB,CD共面,设为平面β, 所以AC在平面β内,即E在平面β内. 而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E, 可知B,D,E为平面α与平面β的公共点, 根据基本事实3可得,B,D,E三点共线. 【总结升华】 点共线问题的关注点 (1)主要依据:基本事实3. (2)证明方法: ①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上; ②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 【即学即练】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C∩平面ABC1D1=E.求证:B,E,D1三点共线. 【证明】如图,连接A1B,CD1,BD1, 因为A1C∩平面ABC1D1=E, 所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1. 因为A1C⊂平面A1BCD1, 所以E∈平面A1BCD1. 由于平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1, 根据基本事实3可知B,E,D1三点共线. 角度2　线共点 【典例4】求证:三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点. 【证明】如图,因为点A,A1,B1,B四点共面,所以延长AA1,BB1交于一点.设AA1∩BB1=P, 又BB1⊂平面BC1,AA1⊂平面AC1, 所以P∈平面BC1,P∈平面AC1. 所以P为平面BC1和平面AC1的公共点. 又因为平面BC1∩平面AC1=CC1,所以P∈CC1,即AA1,BB1,CC1延长后相交于一点P. 【总结升华】 证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这一点,把问题转化为证明点在直线上的问题. 【即学即练】 如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:直线AB,CD,l共点. 【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰, 所以直线AB,CD必定相交于一点, 如图,设AB∩CD=M.又因为AB⊂α,CD⊂β, 所以M∈α,且M∈β,又因为α∩β=l,所以M∈l.即直线AB,CD,l共点. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $