1.导学案 14 第6章 专题突破课二 三角形“四心”的向量表示及极化恒等式(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破课二　三角形“四心”的向量表示及极化恒等式 三角形的“四心” 四心 定义 性质 向量表示 重心 三边中线的交点(重心是中线上的三等分点).如图,点G (1)重心分所在中线之比为2∶1. (2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等,即S△GAB=S△GAC= S△GBC. (3)在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即(,) 设G是△ABC的重心,M为平面内任意一点. (1)++=0 (2)=(++),=(+),=(+),=(+) (3)若=λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过三角形的重心 (4)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的重心 (5)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的重心 内心 三个内角的平分线的交点(或内切圆的圆心).如图,点P (1)角平分线上的任意点到角两边的距离相等. (2)三角形角平分线分第三边所成比等于两夹边之比,即= 设P为△ABC的内心,M为平面内任意一点 (1)||+||+||=0(或a+b+c=0) 其中a,b,c分别是△ABC的三边BC,AC,AB的长 (2)=λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过三角形的内心 (注:向量λ(+)(λ≠0)所在直线过△ABC内心(是∠BAC平分线所在直线)) (3)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的内心 (4)·(-)=·(-)=·(-)=0 续表 三角形的“四心” 四心 定义 性质 向量表示 外心 三角形三边的垂直平分线的交点(或外接圆的圆心),如图,点O 外心到三角形各顶点的距离相等 设O为△ABC的外心,M为平面内任意一点 (1)||=||=||⇔== (2)(+)·=(+)·=(+)·=0变形:M为平面ABC内一动点,若(+)·(-)=(+)·(-)=(+)·(-)=0,则O为三角形的外心 (3)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的外心 垂心 三条高线的交点,如图,点Q 锐角三角形的垂心在三角形内; 直角三角形的垂心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外 设Q为△ABC的垂心,M为平面内任意一点 (1)·=·=· (2)||2+||2=||2+||2=||2+||2 (3)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的垂心 (4)锐角△ABC中,S△BQ C∶S△CQA∶S△AQB=tan A∶tan B∶tan C (5)tan A·+tan B·+tan C·=0 极化恒等式 (1)极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. ①公式推导:⇒a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. ②几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)平行四边形模式:如图,平行四边形ABCD,O是对角线交点.则·=(|AC|2-|BD|2). (3)三角形模式:如图,在△ABC中,设D为BC的中点,则·=|AD|2-|BD|2. ①推导过程:由·=[(+)]2- [(-)]2=-()2=||2- ||2. ②几何意义:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. (4)极化恒等式的适用范围 ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化; ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移,等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 类型1三角形“四心”的向量表示及应用 【典例1】(1)在平面上有△ABC及内一点O满足关系式:S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0即称为经典的“奔驰定理”,若△ABC的三边长分别为a,b,c,现有a·+b·+c·=0,则O为△ABC的 (　　) A.外心　 B.内心　 C.重心　 D.垂心 【解析】选B.记点O到AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,S△OBC=a·h2,S△OAC=b·h3,S△OAB=c·h1, 因为S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0, 所以a·h2·+b·h3·+c·h1·=0,即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0, 又因为a·+b·+c·=0, 所以h1=h2=h3,所以点P是△ABC的内心. (2)已知△ABC所在平面内的动点M满足=x+y,且实数x,y形成的向量a=(x-,y)与向量b=(-1,2)共线,则动点M的轨迹必经过△ABC的　　　　.(在重心、内心、外心、垂心中选择)  【解析】a=(x-,y)与向量b=(-1,2)共线,故2(x-)+y=0,即2x+y=1, 则=x+y变形为=x+(1-2x),即-=x(-2), 所以=x(-)=x(+), 取AC的中点E,则=2x, 所以动点M的轨迹必经过△ABC的重心. 答案:重心 【即学即练】 在△ABC中,AB=2AC,动点M满足·(+)=0,则直线AM一定经过△ABC的 (　　) A.垂心　 B.内心　 C.外心　 D.重心 【解析】选B.延长AC,使得AC=CD(图略),则+=+=, 因为·(+)=0,所以AM⊥BD, 因为AB=2AC,所以AB=AD,所以△ABD是等腰三角形,所以点M在BD的中垂线上,所以AM平分∠BAC,直线AM一定经过△ABC的内心. 类型2极化恒等式及其应用 【典例2】(1)已知A(-1,0),B(2,0),若动点M满足MB=2MA,则·的最大值是 (　　) A.18　 B.9　 C.3　 D. 【解析】选A.设线段AB的中点为C,则C(,0), 因为·=|MC|2-(|AB|)2=|MC|2-,又|MC|max=-(-2)+2=, 所以·的最大值为()2-=18. (2)如图,正六边形的边长为2,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则·的取值范围为 (　　) A.[4,5]　 B.[5,7] C.[4,6]　 D.[5,8] 【解析】选B.由题意得,·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2=||2-1, 当OM与正六边形的边垂直时,||min=, 当点M运动到正六边形的顶点时,||max=2,所以||∈[,2],则||2∈[6,8], 即·=(||2-1)∈[5,7]. 【即学即练】 (一题多解)已知向量·=6,线段BC的中点为M,且||=6,则||= (　　) A.2　 B.3　 C.2　 D.3 【解析】选A.方法一:设=a,=b,则=(+)=(a+b),=-=b-a, 由||2=(a2+2a·b+b2),||2=a2-2a·b+b2,得4||2-||2=4a·b, 已知·=a·b=6,且||=6, 则||2=4||2-4a·b=4×36-4×6=120, 故||=2. 方法二:因为·=||2-||2=||2-||2,所以||2=120,即||=2. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $专题突破课二　三角形“四心”的向量表示及极化恒等式 返回 返回 返回 极化恒等式 (1)极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. ①公式推导:⇒a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. ②几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 返回 返回 返回 ②几何意义:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. (4)极化恒等式的适用范围 ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化; ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移,等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 返回 类型1 三角形“四心”的向量表示及应用 √ 返回 返回 答案:重心 返回 √ 返回 类型2 极化恒等式及其应用 √ 返回 √ 返回 【即学即练】 √ 返回 三角形的“四心” 四心 定义 性质 向量表示 重心 三边中线的交点(重心是中线上的三等分点).如图,点G (1)重心分所在中线之比为 2∶1. (2)重心和三角形3个顶点组成 的3个三角形面积相等, 即S△GAB=S△GAC= S△GBC. (3)在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即(,) 设G是△ABC的重心,M为平面内任意一点. (1)++=0 (2)=(++),=(+),=(+),=(+) (3)若=λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过三角形的重心 (4)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的重心 (5)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的重心 三角形的“四心” 四心 定义 性质 向量表示 内心 三个内角的平分线的交点(或内切圆的圆心).如图,点P (1)角平分线上的任意点到角两边的距离相等. (2)三角形角平分线分第三边所成比等于两夹边之比,即= 设P为△ABC的内心,M为平面内任意一点 (1)||+||+||=0(或a+b+c=0) 其中a,b,c分别是△ABC的三边BC,AC,AB的长 (2)=λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过三角形的内心 (注:向量λ(+)(λ≠0)所在直线过△ABC内心(是∠BAC平分线所在直线)) (3)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的内心 (4)·(-)=·(-)=·(-)=0 三角形的“四心” 四心 定义 性质 向量表示 外心 三角形三边的垂直平分线的交点(或外接圆的圆心),如图,点O 外心到三角形各顶点的距离相等 设O为△ABC的外心,M为平面内任意一点 (1)||=||=||⇔== (2)(+)·=(+)·=(+)·=0变形:M为平面ABC内一动点,若(+)·(-)=(+)·(-)=(+)·(-)=0,则O为三角形的外心 (3)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的外心 垂心 三条高线的交点,如图,点Q 锐角三角形的垂心在三角形内; 直角三角形的垂心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外 设Q为△ABC的垂心,M为平面内任意一点 (1)·=·=· (2)||2+||2=||2+||2=||2+||2 (3)动点M满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则动点M的轨迹一定经过△ABC的垂心 (4)锐角△ABC中,S△BQ C∶S△CQA∶S△AQB=tan A∶tan B∶tan C (5)tan A·+tan B·+tan C·=0 (2)平行四边形模式:如图,平行四边形ABCD,O是对角线交点.则·=(|AC|2-|BD|2). (3)三角形模式:如图,在△ABC中,设D为BC的中点,则·=|AD|2-|BD|2. ①推导过程:由·=[(+)]2- [(-)]2=-()2=||2- ||2. 【典例1】(1)在平面上有△ABC及内一点O满足关系式:S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0即称为经典的“奔驰定理”,若△ABC的三边长分别为a,b,c,现有a·+b·+c·=0,则O为△ABC的 (　　) A.外心　 B.内心　 C.重心　 D.垂心 【解析】选B.记点O到AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,S△OBC=a·h2,S△OAC=b·h3,S△OAB=c·h1, 因为S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0, 所以a·h2·+b·h3·+c·h1·=0,即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0, 又因为a·+b·+c·=0, 所以h1=h2=h3,所以点P是△ABC的内心. (2)已知△ABC所在平面内的动点M满足=x+y,且实数x,y形成的向量a=(x-,y)与向量b=(-1,2)共线,则动点M的轨迹必经过△ABC的　　　　.(在重心、内心、外心、垂心中选择)  【解析】a=(x-,y)与向量b=(-1,2)共线,故2(x-)+y=0,即2x+y=1, 则=x+y变形为=x+(1-2x),即-=x(-2), 所以=x(-)=x(+), 取AC的中点E,则=2x, 所以动点M的轨迹必经过△ABC的重心. 【即学即练】 在△ABC中,AB=2AC,动点M满足·(+)=0,则直线AM一定经过△ABC的 (　　) A.垂心　 B.内心　 C.外心　 D.重心 【解析】选B.延长AC,使得AC=CD(图略),则+=+=, 因为·(+)=0,所以AM⊥BD, 因为AB=2AC,所以AB=AD,所以△ABD是等腰三角形,所以点M在BD的中垂线上,所以AM平分∠BAC,直线AM一定经过△ABC的内心. 【典例2】(1)已知A(-1,0),B(2,0),若动点M满足MB=2MA,则·的最大值是 (　　) A.18　 B.9　 C.3　 D. 【解析】选A.设线段AB的中点为C,则C(,0), 因为·=|MC|2-(|AB|)2=|MC|2-,又|MC|max=-(-2)+2=, 所以·的最大值为()2-=18. (2)如图,正六边形的边长为2,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则·的取值范围为 (　　) A.[4,5]　 B.[5,7] C.[4,6]　 D.[5,8] 【解析】选B.由题意得,·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2=||2-1, 当OM与正六边形的边垂直时,||min=, 当点M运动到正六边形的顶点时,||max=2,所以||∈[,2],则||2∈[6,8], 即·=(||2-1)∈[5,7]. (一题多解)已知向量·=6,线段BC的中点为M,且||=6,则||= (　　) A.2　 B.3　 C.2　 D.3 【解析】选A.方法一:设=a,=b,则=(+)=(a+b),=-=b-a, 由||2=(a2+2a·b+b2),||2=a2-2a·b+b2,得4||2-||2=4a·b, 已知·=a·b=6,且||=6, 则||2=4||2-4a·b=4×36-4×6=120, 故||=2. 方法二:因为·=||2-||2=||2-||2,所以||2=120,即||=2. $