8.3.2　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8．3　简单几何体的表面积与体积 §8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【导学】【解析】 【导学目标】 1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台、球的体积． 2．能利用柱体、锥体、台体、球的体积公式求体积． 3．理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系． 【导学重点】柱、锥、台、球的表面积． 【导学难点】锥体、台体的表面积的求法． 【知识要点】 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝πr2； 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2； 体积：V＝πr2l 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 体积：V＝πr2h 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 体积：V＝πh(r′2＋r′r＋r2) 2.球的表面积 若球的半径为r，则它的表面积S＝4πr2.体积： 【方法归纳】 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh. 典型例题 题型一 柱、锥、台的表面积 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．(　　) (2)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB.(　　) 【例1-2】圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于(　　) A．72 B．42π C．67π D．72π 【例1-3】若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　　) A.倍　　　　　　　　B．3 倍 C．2 倍 D．5 倍 【变式1-1】已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为 7，圆台的侧面积为 84π，求该圆台较小底面的半径和圆台的高. 【变式1-2】圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，求圆台的母线和表面积为多少？(结果中保留π) 题型二 柱、锥、台的体积　 【例2-1】圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16π，求圆锥的体积。 【例2-2】已知圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，求这个圆柱的体积. 题型三 球的表面积和体积的计算 【例3-1】(1)两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为 ________． (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________． (3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 【例3-2】（衔接教材P119L4）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________． 题型四 组合体的表面积和体积 【例4-1】如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 【例4-2】如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？ 【例4-3】如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，求当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积的差. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8．3　简单几何体的表面积与体积 §8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【导学】【解析】 【导学目标】 1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台、球的体积． 2．能利用柱体、锥体、台体、球的体积公式求体积． 3．理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系． 【导学重点】柱、锥、台、球的表面积． 【导学难点】锥体、台体的表面积的求法． 【知识要点】 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝πr2； 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2； 体积：V＝πr2l 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 体积：V＝πr2h 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 体积：V＝πh(r′2＋r′r＋r2) 2.球的表面积 若球的半径为r，则它的表面积S＝4πr2.体积： 【方法归纳】 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh. 典型例题 题型一 柱、锥、台的表面积 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．(　　) (2)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB.(　　) 【答案】(1) √：(2) √. 【解析】:(1)对于同类几何体（比如柱体、锥体、台体）， 等底面积且等高时，体积公式相同，所以体积相等。 【解析】：(2)三棱锥的体积可以以任意一个面为底面，对应的顶点到底面的距离为高， 所以四个顶点为顶点的三棱锥体积相等， 即VP−ABC=VA−PBC=VB−PAC=VC−PAB. 【例1-2】圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于(　　) A．72 B．42π C．67π D．72π 【答案】圆台的表面积公式：S=πr12+πr22+πl(r1+r2),其中r1=3，r2=4，l=6代入计算： S=π×32+π×42+π×6×(3+4)=9π+16π+42π=67π​ 【答案】C 【例1-3】若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　　) A.倍　　　　　　　　B．3 倍 C．2 倍 D．5 倍 【答案】C 【变式1-1】已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为 7，圆台的侧面积为 84π，求该圆台较小底面的半径和圆台的高. 【解析】设圆台较小底面半径为r，则较大底面半径为3r，母线长l=3 圆台侧面积公式： S侧=π(r+3r)×7=84π，解得r=3. 圆台的高 则较小底面半径r=3，高. 【答案】该圆台较小底面的半径和圆台的高分别为r=3，. 【变式1-2】圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，求圆台的母线和表面积为多少？(结果中保留π) 【解析】圆台侧面展开图是扇环，扇环的弧长对应圆台上下底面的周长，圆心角为1800=π弧度。设圆台母线长为l，上底面半径r=10cm，下底面半径R=20cm. 扇环的大弧长：2πR=π(l+x)（x为扇环内半径）， 扇环的小弧长：2πr=πx 由小弧长公式：2π×10=πx，则x=20cm 代入大弧长公式：2π×20=π(l+20)⟹ 40=l+20⟹ l=20cm 圆台表面积公式：S=πr2+πR2+π(r+R)l代入数值：S=π×102+π×202+π×(10+20)×20=100π+400π+600π=1100πcm2​ 【答案】母线长为20cm，表面积为1100πcm2 题型二 柱、锥、台的体积　 【例2-1】圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16π，求圆锥的体积。 【解析】因为圆锥轴截面是等腰直角三角形， 所以圆锥的高h等于底面半径r，母线长， 圆锥侧面积公式：S侧=πrl=πr=πr2. 又S侧=16π，则：πr2=16π⟹ r2=16⟹ r=4cm 高h=r=4cm， 圆锥体积公式：cm3 【答案】圆锥的体积为cm3. 【例2-2】已知圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，求这个圆柱的体积. 【解析】圆柱侧面展开图是矩形，长和宽分别对应底面周长和高，分两种情况讨论： 当底面周长C=12cm，高h=8cm时：C=2πr⟹ cm 体积：V=πr2h=π×()2×8=cm3 当底面周长C=8cm，高h=12cm时：C=2πr⟹ cm 体积：V=πr2h=π×()2×12=πcm3. 【答案】圆柱体积为cm3或πcm3. 题型三 球的表面积和体积的计算 【例3-1】(1)两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为 ________． (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________． (3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 【答案】(1)4:9; (2);(3)4. 【例3-2】（衔接教材P119L4）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________． 【答案】 题型四 组合体的表面积和体积 【例4-1】如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 【解析】圆锥底面半径R=2，母线长l=4， 则圆锥的高. 圆柱的高h=，设圆柱底面半径为r, 利用相似三角形：， 圆柱的表面积公式：S=2πr2+2πrh代入r=1，h=： 即圆柱的表面积S=2π×12+2π×1×=2π+2π=2π(1+).​ 【答案】圆柱的表面积2π(1+). 【例4-2】如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？ 【解析】圆锥铅锤的底面半径r=6÷2=3cm，高h=20cm。 圆锥体积：. 玻璃杯底面半径R=20÷2=10cm。 水面下降的体积等于圆锥体积，设下降高度为Δh，则πR2Δh=V锥. 代入：π×102×Δh=60π 化简得：100Δh=60⟹ Δh=0.6cm 即当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降0.6cm. 【答案】0.6cm 【例4-3】如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，求当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积的差. 【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h， 因为圆柱内接于半径为 4 的球，所以圆柱的轴截面是球的内接矩形， 根据勾股定理：(2r)2+h2=(2×4)2化简得：4r2+h2=64⟹ 圆柱侧面积公式：S侧=2πrh S侧=2πr= 当且仅当时取等号。 此时h=，侧面积最大值：S侧max=32π 球的表面积公式：S球=4πR2=4π×42=64π S球−S侧max=64π−32π=32π 【答案】当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积的差为32π. . 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $