1.导学案 05 第8章 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【学习目标】 1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积.(直观想象、数学运算) 2.能利用棱柱、棱锥、棱台的体积公式求体积,理解它们之间的关系.(直观想象、数学运算) 3.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 【点拨】 长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示. 【思考】 1.把简单组合体分割成几个几何体,其表面积有何变化? 提示:表面积变大了. 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 项目 高 体积 棱柱 两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足之间的距离 V=Sh,其中S是底面面积,h是高 棱锥 从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离 V=Sh,其中S是底面面积,h是高 棱台 两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足之间的距离 V=h(S'++S),其中棱台的上、下底面面积分别是S',S,高是h 【思考】 2.观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式,它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗? 提示:棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系: 【点拨】 计算棱柱、棱锥和棱台的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面,将空间问题转化为平面问题. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)等底面面积且等高的两个棱柱表面积相等. (×) 提示:两个棱柱的底面面积和高相等,但底面周长不一定相等,所以它们的表面积不一定相等. (2)一个棱柱的体积是与其等底等高的棱锥体积的3倍. (√) (3)棱台的表面积可由产生它的两个棱锥的表面积求差得出. (×) 提示:少了小棱锥的底面面积. (4)多面体的表面积越大,体积就越大. (×) 提示:多面体的表面积与体积不成正比. 关键能力·师生共研 类型1棱柱、棱锥、棱台的表面积(直观想象、数学运算) 【典例1】(1)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以截出三棱锥A1-ABD,则截出的三棱锥A1-ABD的表面积为 (　　) A.6 B.8 C.6+2 D.8 【解析】选C.由题意,在三棱锥A1-ABD中,△A1BD是边长为2的等边三角形,△A1AD,△A1AB,△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形, 所以截出的三棱锥A1-ABD的表面积 S=+++S△ABD=+3××2×2=6+2. (2)有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点位于它下层正方体上底面各边的中点处;已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形的表面积为 　　　　　(含最底层正方体的底面面积).  【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1.考虑该几何体在水平面的投影,可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.所以S表=2S下+S侧=2×22+4×[22+()2+12]=36,所以该几何体的表面积为36. 答案:36 【总结升华】 求棱柱、棱锥、棱台表面积的关注点 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)求棱锥、棱台的表面积的关键是求出侧面三角形、梯形的高. (3)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 【即学即练】 若正三棱台ABC-A1B1C1中上底面的边长为1,下底面的边长为2,侧棱长为1,则它的表面积为　　　　　.  【解析】根据题意正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都为等边三角形,上底面是边长为1的等边三角形,下底面是边长为2的等边三角形,侧面为等腰梯形,上底边长为1,下底边长为2,腰长为1,所以高h=,所以表面积S=×1×1×+×2×2×+3×=. 答案: 类型2棱柱、棱锥、棱台的体积(直观想象、数学运算) 【典例2】(一题多变) [母题]如图,已知三棱台铜块ABC-A1B1C1的上底面的面积是8 cm2,下底面的面积是18 cm2,高是6 cm,则该棱台的体积为　　　　　cm3.  【解析】由棱台的体积公式可得: V台=(S△ABC++)·h =(8+18+)×6=76(cm3). 答案:76 [变式1]若将母题所描述的三棱台铜块融化后铸成高19 cm的正三棱柱模型,则此模型的一个底面的面积为　　　　　cm2.  【解析】由母题解析知,V台=76 cm3, 根据题意,设铸成的正三棱柱模型的一个底面的面积为S cm2, 有V柱=V台=S×19=76,所以S=4 cm2. 答案:4 [变式2]母题条件不变,则三棱锥A-B1C1C的体积是　　　　　cm3.  【解析】如图,三棱台ABC-A1B1C1中,连接AB1,AC1,CB1, 则三棱台ABC-A1B1C1可分割为三棱锥A-A1B1C1,三棱锥B1-ABC,三棱锥A-B1C1C, 由母题解析知,V台=76 cm3, =×18×6=36(cm3), =×8×6=16(cm3),所以=V台--=76-36-16=24(cm3). 答案:24 【总结升华】 求几何体体积的常用方法 【即学即练】 1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为　　　　　.  【解析】==×1×1×1=. 答案: 2.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积),V2的两部分,则V1∶V2=　　　　　.  【解析】设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh. 因为E,F分别为AC,AB的中点, 所以=S. V1=h(S+S+)=Sh,V2=V-V1=Sh,所以V1∶V2=7∶5. 答案:7∶5 类型3表面积、体积公式的实际应用(数学运算) 【典例3】图1是某储蓄罐的平面展开图,其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°,且AB=BC=AD=CD=DE=CG,FG=FE,若将五边形CDEFG看成底面,AD为高,则该储蓄罐是一个直五棱柱. (1)图2为面ABCD的直观图,请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整; (2)已知该储蓄罐的容积为V=1 250 cm3,求制作该储蓄罐所需材料的总面积S.(精确到整数位,材料厚度、按键及投币口的面积忽略不计) 【解析】(1)储蓄罐的直观图如图所示. (2)设AD=a,△EFG是等腰直角三角形,EF=FG=a,则五边形CDEFG的面积为a2+×(a)2=a2, 得容积V=S五边形CDEFG·AD=a3=1 250, 解得a=10, 其展开图的面积S=a2·2+3a2+a·a·2=(+)a2≈691(cm2), 因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691 cm2. 【总结升华】 表面积、体积实际应用的解题步骤 (1)认真审题,转化为求几何体的表面积、体积问题; (2)紧扣题意,解答实际问题. 【即学即练】 学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　　g.  【解析】由题意得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4=144(cm3),四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接GE,HF,易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半,即×6×4=12(cm2), 所以V四棱锥O -EFGH=×3×12=12(cm3),所以该模型的体积为144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g). 答案:118.8 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 内容概览 【学习目标】 1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积.(直观想象、数学运算) 2.能利用棱柱、棱锥、棱台的体积公式求体积,理解它们之间的关系.(直观想象、数学运算) 3.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的_____的和.棱柱、棱锥、棱台 的表面积就是围成它们的各个面的_____的和. 【点拨】 长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示. 面积 面积 返回 【思考】 1.把简单组合体分割成几个几何体,其表面积有何变化? 提示:表面积变大了. 返回 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 项目 高 体积 棱柱 两底面之间的距离,即从一底面上 任意一点向另一个底面作垂线,这 点与垂足之间的距离 V=___,其中S是底面面积,h是高 棱锥 从顶点向底面作垂线,顶点与垂足 之间的距离 V=,其中S是底面面积,h是高 棱台 两底面之间的距离,即从上底面上 任意一点向下底面作垂线,这点与 垂足之间的距离 V=,其中棱台的 上、下底面面积分别是S',S,高是h Sh Sh h(S'++S) 返回 【思考】 2.观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式,它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗? 提示:棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系: 返回 【点拨】 计算棱柱、棱锥和棱台的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面,将空间问题转化为平面问题. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)等底面面积且等高的两个棱柱表面积相等.( ) 提示:两个棱柱的底面面积和高相等,但底面周长不一定相等,所以它们的表 面积不一定相等. (2)一个棱柱的体积是与其等底等高的棱锥体积的3倍.( ) (3)棱台的表面积可由产生它的两个棱锥的表面积求差得出.( ) 提示:少了小棱锥的底面面积. (4)多面体的表面积越大,体积就越大.( ) 提示:多面体的表面积与体积不成正比. × √ × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1棱柱、棱锥、棱台的表面积(直观想象、数学运算) 【典例1】(1)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以截出三棱 锥A1-ABD,则截出的三棱锥A1-ABD的表面积为(　　) A.6 B.8 C.6+2 D.8 【解析】选C.由题意,在三棱锥A1-ABD中,△A1BD是边长为2的等边三 角形,△A1AD,△A1AB,△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形, 所以截出的三棱锥A1-ABD的表面积 S=+++S△ABD=+3××2×2=6+2. √ 返回 (2)有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层 正方体下底面的四个顶点位于它下层正方体上底面各边的中 点处;已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形的表面积为 　　　　　(含最底层正方体的底面面积).  【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1.考虑该几何体在 水平面的投影,可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.所 以S表=2S下+S侧=2×22+4×[22+()2+12]=36,所以该几何体的表面积为36. 答案:36 返回 【总结升华】 求棱柱、棱锥、棱台表面积的关注点 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)求棱锥、棱台的表面积的关键是求出侧面三角形、梯形的高. (3)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 返回 【即学即练】 若正三棱台ABC-A1B1C1中上底面的边长为1,下底面的边长 为2,侧棱长为1,则它的表面积为　　　　　.  【解析】根据题意正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都为等边三角形,上 底面是边长为1的等边三角形,下底面是边长为2的等边三角形,侧面为等腰 梯形,上底边长为1,下底边长为2,腰长为1,所以高h=,所以表面积 S=×1×1×+×2×2×+3×=. 答案: 返回 类型2棱柱、棱锥、棱台的体积(直观想象、数学运算) 【典例2】(一题多变) [母题]如图,已知三棱台铜块ABC-A1B1C1的上底面的面积是8 cm2,下底面的 面积是18 cm2,高是6 cm,则该棱台的体积为　　　　　cm3.  【解析】由棱台的体积公式可得: V台=(S△ABC++)·h =(8+18+)×6=76(cm3). 答案:76 返回 [变式1]若将母题所描述的三棱台铜块融化后铸成高19 cm的正三棱柱模型,则此模型的一个底面的面积为　　　　　cm2.  【解析】由母题解析知,V台=76 cm3, 根据题意,设铸成的正三棱柱模型的一个底面的面积为S cm2, 有V柱=V台=S×19=76,所以S=4 cm2. 答案:4 返回 [变式2]母题条件不变,则三棱锥A-B1C1C的体积是　　　　　cm3.  【解析】如图,三棱台ABC-A1B1C1中,连接AB1,AC1,CB1, 则三棱台ABC-A1B1C1可分割为三棱锥A-A1B1C1,三棱锥B1-ABC,三棱锥A-B1C1C, 由母题解析知,V台=76 cm3, =×18×6=36(cm3), =×8×6=16(cm3),所以=V台-- =76-36-16=24(cm3). 答案:24 返回 【总结升华】 求几何体体积的常用方法 返回 【即学即练】 1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三 棱锥A-DED1的体积为　　　　　.  【解析】==×1×1×1=. 答案: 返回 2.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC'B'F将三 棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积),V2的两部分,则 V1∶V2=　　　　　.  【解析】设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh. 因为E,F分别为AC,AB的中点, 所以=S. V1=h(S+S+)=Sh,V2=V-V1=Sh,所以V1∶V2=7∶5. 答案:7∶5 返回 类型3表面积、体积公式的实际应用(数学运算) 【典例3】图1是某储蓄罐的平面展开图,其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°,且 AB=BC=AD=CD=DE=CG,FG=FE,若将五边形CDEFG看成底面,AD为高, 则该储蓄罐是一个直五棱柱. (1)图2为面ABCD的直观图,请以此为底面将该储 蓄罐的直观图画完整; (2)已知该储蓄罐的容积为V=1 250 cm3,求制作该 储蓄罐所需材料的总面积S.(精确到整数位,材料厚度、按键及投币口的面积忽略不计) 返回 【解析】(1)储蓄罐的直观图如图所示. (2)设AD=a,△EFG是等腰直角三角形,EF=FG=a,则五边形CDEFG的面积 为a2+×(a)2=a2, 得容积V=S五边形CDEFG·AD=a3=1 250, 解得a=10, 其展开图的面积S=a2·2+3a2+a·a·2=(+)a2≈691(cm2), 因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691 cm2. 返回 【总结升华】 表面积、体积实际应用的解题步骤 (1)认真审题,转化为求几何体的表面积、体积问题; (2)紧扣题意,解答实际问题. 返回 【即学即练】 学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中 心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料 密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 　　　　　g.  返回 【解析】由题意得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4=144(cm3),四边 形EFGH为平行四边形,如图所示,连接GE,HF,易知四边形EFGH的面积为 矩形BCC1B1面积的一半,即×6×4=12(cm2), 所以V四棱锥O -EFGH=×3×12=12(cm3),所以该模型的体积为144-12=132(cm3), 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g). 答案:118.8 返回 $