8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8．3　简单几何体的表面积与体积 §8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【导学】 【导学目标】 1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积． 2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积． 3．理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系． 【导学重点】柱、锥、台的表面积． 【导学难点】锥体、台体的表面积的求法． 【知识要点】 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S表＝2S底+S侧． ①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝Ch； ②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝2ab+2bc+2ac； ③棱长为a的正方体的表面积：S表＝6a2. 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′ 正棱锥的侧面积：S侧＝ . 3．棱台的表面积 棱台的表面积：S表＝ ． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积 (1)棱柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝ . 2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝ . 3．棱台的体积 (1)棱台的高是指 之间的距离． (2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ ． 【名师点拨】 柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝h. 【方法归纳】求组合体的表面积与体积的步骤 (1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计算求值：根据设计的计算方法求值．　 【典型例题】 题型一 柱、锥、台的表面积 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．(　　) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．(　　) 【例1-2】棱长都是 1 的三棱锥的表面积为(　　) A.　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4　　　 【例1-3】已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　　) A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ 【变式1-1】已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积． 【变式1-2】若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为(　　) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 题型二 柱、锥、台的体积 【例2-1】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥． (1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A­A1BD的体积及高． 【例2-2】如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 【例2-3】正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12 B．28 C． D． 题型三 多面体的体积 【例3-1】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为 . 【例3-2】已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________． 【例3-3】如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　) A． B． C． D． 【例3-4】如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，则水面的高为(　　) A．2 B． C．3 D． 【例3-5】(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是(　　) A． 正三棱锥的高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8．3　简单几何体的表面积与体积 §8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【导学】 【导学目标】 1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积． 2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积． 3．理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系． 【导学重点】柱、锥、台的表面积． 【导学难点】锥体、台体的表面积的求法． 【知识要点】 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S表＝2S底+S侧． ①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝Ch； ②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝2ab+2bc+2ac； ③棱长为a的正方体的表面积：S表＝6a2. 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′ 正棱锥的侧面积：S侧＝ . 3．棱台的表面积 棱台的表面积：S表＝ ． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积 (1)棱柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝ . 2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝ . 3．棱台的体积 (1)棱台的高是指 之间的距离． (2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ ． 【名师点拨】 柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝h. 【方法归纳】求组合体的表面积与体积的步骤 (1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计算求值：根据设计的计算方法求值．　 【典型例题】 题型一 柱、锥、台的表面积 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．(　　) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．(　　) 【答案】(1)√；(2）√. 【例1-2】棱长都是 1 的三棱锥的表面积为(　　) A.　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4　　　 【答案】A 【例1-3】已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　　) A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ 【答案】B 【变式1-1】已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积． 【解析】设上底面边长为b，侧面等腰梯形的高为h侧. 【答案】它的侧面面积. 【变式1-2】若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为(　　) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 【答案】B 题型二 柱、锥、台的体积 【例2-1】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥． (1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A­A1BD的体积及高． 【答案】(1);(2). 【例2-2】如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 【答案】1∶47 【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c， 它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc， 剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc， 所以V1∶V2＝1∶47． 【例2-3】正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12 B．28 C． D． 【答案】D 【解析】如图，分别取上下底面的中心O1，O2， 过B1作B1M⊥OB于点M， 则OB＝2，O1B1＝，BM＝，B1M＝＝， 故四棱台的体积为V＝(S上＋S下＋)h＝×(4＋16＋8)×＝， 故选D． 题型三 多面体的体积 【例3-1】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为 . 【答案】10.5. 【例3-2】已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________． 【答案】90，162. 【例3-3】如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积， 又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为， 故其体积为××＝． 【例3-4】如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，则水面的高为(　　) A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱底面是梯形，面积为S， 水的体积V＝S·AA1＝4S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱， 设水面高为h，此时水的体积V＝S△ABC·h， 又S＝S△ABC，所以 故选C． 【例3-5】(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是(　　) A． 正三棱锥的高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 【答案】AB 【解析】如图，取△ABC的中心为O，连接PO， 由题意得PO⊥平面ABC，又△ABC为等边三角形，则AO＝， 所以正三棱锥的高为PO＝＝＝3，S△ABC＝×3×3sin600＝， 所以正三棱锥的体积为VP－ABC＝S△ABCPO＝， 作PD⊥AB交AB于D，又PA＝PB＝2，AD＝AB＝， 则正三棱锥的斜高为PD＝＝， 所以正三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3××PD×AB＝3×××3＝. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $