1.导学案 04 第8章 8.2 立体图形的直观图(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.2　立体图形的直观图 内容概览 【学习目标】 1.了解斜二测画法的概念,掌握斜二测画法的步骤.(数学抽象) 2.会用斜二测画法画水平放置的平面图形、柱、锥、台以及简单组合体的直观图.(直观想象) 3.会根据斜二测画法的规则进行相关运算.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、直观图 1.直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 2.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的步骤. 返回 【思考】 1.相等的线段在直观图中仍然相等吗? 提示:不一定相等,如正方形的边长相等,但是它的直观图是平行四边形,相 邻两边边长不相等. 2.互相平行的两条直线的直观图仍然平行吗?互相垂直的两条直线呢? 提示:互相平行的两条直线的直观图仍然平行,互相垂直的两条直线的直观 图不一定垂直,也可能成45°或135°角. 返回 二、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 1.画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是 z'轴. 2.画底面:平面x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和x'O'z'表示竖直平面. 3.画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中_______ 和_____都不变. 4.成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为_____. 平行性 长度 虚线 返回 【思考】 3.空间几何体的直观图唯一吗? 提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同. 【点拨】 对斜二测画法的精炼概括: “平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变;眼见为实遮为虚,空间观感好体现.” 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个物体的投影,只与物体的形状、投影方式有关.( ) 提示:还与物体和投影面的位置关系有关. (2)相等的角,在直观图中不一定相等.( ) 提示:如矩形的邻角相等,但它的直观图中的邻角不相等. (3)两条相交直线的直观图可能平行.( ) 提示:两条相交直线的交点在直观图中仍然是公共点,故不可能是平行的. (4)斜二测画法中的“二测”是指“两种测度”,即平行于x轴、z轴的线段长度 不变,平行于y轴的线段长度变为原来的一半.( ) × √ × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1画水平放置的平面图形的直观图(直观想象) 【典例1】用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图. 返回 【解析】过点A作AO⊥CD,建立平面直角坐标系如图,作BF⊥x轴,EG⊥x轴,垂足分别为F,G, (1)作坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°; (2)在x'轴上取点C',D',F',G'使O'C'=OC,O'D'=OD, O'F'=OF,O'G'=OG; (3)在y'轴上取点A',使O'A'=OA, 作F'B'∥y'轴,使F'B'=FB, 作G'E'∥y'轴,使G'E'=GE; 返回 (4)连接A'B',B'C',D'E',E'A'; (5)擦去辅助线,所得五边形A'B'C'D'E'就是五边形ABCDE的直观图. 返回 【总结升华】 关于斜二测画法作图 (1)在原图中建立平面直角坐标系,一般采用对称建系,或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上. (2)建立斜二测坐标系,先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段,原则是“横不变,纵减半”. (3)对于不与坐标轴平行的线段,可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置. 返回 【即学即练】 用斜二测画法作平行四边形OABC的直观图. 【解析】以O为原点,建立平面直角坐标系如图,作CD⊥x轴,垂足为D. (1)作坐标系x'O'y',如图; (2)在x'轴上取A',使得O'A'=OA,在O'A'上取D', 使得O'D'=OD,作D'C'∥y'轴,使得D'C'=DC; 返回 (3)作C'B'∥x'轴且C'B'=CB,连接A'B',O'C'; (4)去掉x'轴,y'轴及辅助线得四边形O'A'B'C',如图,为平行四边形OABC的直观图. 返回 类型2画空间几何体的直观图(直观想象) 【典例2】已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图. 返回 【解析】(1)画轴.如图①,画x轴,y轴,z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画圆台的两底面.利用椭圆模板,画出底面☉O,在z轴上截取OO',使OO'等 于三视图中OO'的长度,过点O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',类似底 面☉O的作法作出底面☉O'. (3)画圆锥的顶点.在O'z上截取O'P,使O'P等于三视图中O'P的长度. (4)成图.连接PA',PB',A'A,B'B,整理得到三视图所表示的几何体的直观图, 如图②. 返回 【总结升华】 关于几何体直观图的画法 画几何体的直观图时,先画出水平放置的底面的直观图,再在坐标系的原点处画出z轴,并确定竖直方向上的顶点,将顶点连线得到立体图形. 提醒:与z轴平行的线段的长度不变. 返回 【即学即练】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,且AB=AC=4,侧棱AA1=5.在给定的坐标系中,用斜二测画法画出该三棱柱的直观图.(不要求写出画法,但要标上字母) 【解析】如图所示. 返回 类型3斜二测画法的应用(直观想象、数学运算) 角度1　直观图还原平面图形 【典例3】若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如图的正方形,则 原来图形是(　　) √ 返回 【解析】选A.由斜二测画法知:平行于x轴或与x轴重合的线段长度不变,平行关系不变,平行于y轴或与y轴重合的线段长度减半,平行关系不变. 返回 【总结升华】 直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可. 返回 【即学即练】 如图,B'C'∥x'轴,A'C'∥y'轴,则下面直观图所表示的平面图形是(　　) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 √ 返回 【解析】选D.因为B'C'∥x'轴,A'C'∥y'轴, 所以复原原图后平行关系不变,即平面图中BC∥x轴,AC∥y轴, 所以三角形是直角三角形. 返回 角度2　与直观图有关的计算问题 【典例4】(易错·对对碰) (1)(一题多解)平面图形ABCD的直观图为如图所示等腰梯形, 其中A'B'∥D'C',∠D'A'B'=45°,C'D'=1,A'D'=1, 则平面图形ABCD的面积为　　　　　.  返回 【解析】方法一:如图①所示,由直观图是一个底角为45°的等腰梯形A'D'C'B'可知,原图形是直角梯形(如图②所示),根据题意,易知原图形上底长为1,下底长为1+,高为2,故这个平面图形的面积是×(1+1+)×2=2+. 方法二:直观图是上底长为1,高为, 下底长为1+2×的梯形, 故原平面图形的面积为×(1+1+2×)×=2+. 答案:2+ 返回 (2)(一题多解)等腰梯形ABCD如图所示,其中AB∥CD,AB=1,AD=2,CD=3,则该梯形直观图的面积是　　　　　.  返回 【解析】方法一:作等腰梯形ABCD的高AE, 则AE====. 由斜二测画法的作法可知:该梯形直观图中的高为AEsin 45°= =,AB,CD的长度在直观图中与原图保持一致,故直观图的面积为 (1+3)×=. 返回 方法二:由方法一,知高AE=, 所以等腰梯形的面积S=(1+3)×=2, 所以直观图面积S'=S=. 答案: 返回 【总结升华】 直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S或S=2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 返回 【即学即练】 1.如图,正方形A'B'C'D'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 ABCD的直观图,若O'D'=,则四边形ABCD的周长与面积的数值之比为 (　　) A.2∶1 B.∶1 C.∶2 D.∶4 √ 返回 【解析】选A.由题图可知,S正方形A'B'C'D'=A'D'2=1, 所以四边形ABCD的面积为2×1=2. 根据斜二测画法画直观图x轴不变,y轴减半的原则进行原图还原,D的坐标为(0,2),易知AD=3,且四边形ABCD是平行四边形, 四边形ABCD的周长为(1+3)×2=8, 所以四边形ABCD周长与面积的数值之比为2∶1. 返回 2.如图所示,△A'B'C'是△ABC的直观图,则△ABC的面积为　　　　　(请用数字填写).  【解析】如图所示,根据直观图画出平面图, 由图可知S△ABC=×2×2=2. 答案:2 返回 $ 8.2　立体图形的直观图 【学习目标】 1.了解斜二测画法的概念,掌握斜二测画法的步骤.(数学抽象) 2.会用斜二测画法画水平放置的平面图形、柱、锥、台以及简单组合体的直观图.(直观想象) 3.会根据斜二测画法的规则进行相关运算.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、直观图 1.直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 2.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的步骤. 【思考】 1.相等的线段在直观图中仍然相等吗? 提示:不一定相等,如正方形的边长相等,但是它的直观图是平行四边形,相邻两边边长不相等. 2.互相平行的两条直线的直观图仍然平行吗?互相垂直的两条直线呢? 提示:互相平行的两条直线的直观图仍然平行,互相垂直的两条直线的直观图不一定垂直,也可能成45°或135°角. 二、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 1.画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z'轴. 2.画底面:平面x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和x'O'z'表示竖直平面. 3.画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变. 4.成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线. 【思考】 3.空间几何体的直观图唯一吗? 提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同. 【点拨】 对斜二测画法的精炼概括: “平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变;眼见为实遮为虚,空间观感好体现.” 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个物体的投影,只与物体的形状、投影方式有关. (×) 提示:还与物体和投影面的位置关系有关. (2)相等的角,在直观图中不一定相等. (√) 提示:如矩形的邻角相等,但它的直观图中的邻角不相等. (3)两条相交直线的直观图可能平行. (×) 提示:两条相交直线的交点在直观图中仍然是公共点,故不可能是平行的. (4)斜二测画法中的“二测”是指“两种测度”,即平行于x轴、z轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变为原来的一半. (√) 关键能力·师生共研 类型1画水平放置的平面图形的直观图(直观想象) 【典例1】用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图. 【解析】过点A作AO⊥CD,建立平面直角坐标系如图,作BF⊥x轴,EG⊥x轴,垂足分别为F,G, (1)作坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°; (2)在x'轴上取点C',D',F',G'使O'C'=OC,O'D'=OD,O'F'=OF,O'G'=OG; (3)在y'轴上取点A',使O'A'=OA, 作F'B'∥y'轴,使F'B'=FB, 作G'E'∥y'轴,使G'E'=GE; (4)连接A'B',B'C',D'E',E'A'; (5)擦去辅助线,所得五边形A'B'C'D'E'就是五边形ABCDE的直观图. 【总结升华】 关于斜二测画法作图 (1)在原图中建立平面直角坐标系,一般采用对称建系,或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上. (2)建立斜二测坐标系,先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段,原则是“横不变,纵减半”. (3)对于不与坐标轴平行的线段,可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置. 【即学即练】 用斜二测画法作平行四边形OABC的直观图. 【解析】以O为原点,建立平面直角坐标系如图,作CD⊥x轴,垂足为D. (1)作坐标系x'O'y',如图; (2)在x'轴上取A',使得O'A'=OA,在O'A'上取D',使得O'D'=OD, 作D'C'∥y'轴,使得D'C'=DC; (3)作C'B'∥x'轴且C'B'=CB,连接A'B',O'C'; (4)去掉x'轴,y'轴及辅助线得四边形O'A'B'C',如图,为平行四边形OABC的直观图. 类型2画空间几何体的直观图(直观想象) 【典例2】已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图. 【解析】(1)画轴.如图①,画x轴,y轴,z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画圆台的两底面.利用椭圆模板,画出底面☉O,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中OO'的长度,过点O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',类似底面☉O的作法作出底面☉O'. (3)画圆锥的顶点.在O'z上截取O'P,使O'P等于三视图中O'P的长度. (4)成图.连接PA',PB',A'A,B'B,整理得到三视图所表示的几何体的直观图,如图②. 【总结升华】 关于几何体直观图的画法 画几何体的直观图时,先画出水平放置的底面的直观图,再在坐标系的原点处画出z轴,并确定竖直方向上的顶点,将顶点连线得到立体图形. 提醒:与z轴平行的线段的长度不变. 【即学即练】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,且AB=AC=4,侧棱AA1=5.在给定的坐标系中,用斜二测画法画出该三棱柱的直观图.(不要求写出画法,但要标上字母) 【解析】如图所示. 类型3斜二测画法的应用(直观想象、数学运算) 角度1　直观图还原平面图形 【典例3】若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如图的正方形,则原来图形是 (　　) 【解析】选A.由斜二测画法知:平行于x轴或与x轴重合的线段长度不变,平行关系不变,平行于y轴或与y轴重合的线段长度减半,平行关系不变. 【总结升华】 直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可. 【即学即练】 如图,B'C'∥x'轴,A'C'∥y'轴,则下面直观图所表示的平面图形是 (　　) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【解析】选D.因为B'C'∥x'轴,A'C'∥y'轴, 所以复原原图后平行关系不变,即平面图中BC∥x轴,AC∥y轴, 所以三角形是直角三角形. 角度2　与直观图有关的计算问题 【典例4】(易错·对对碰) (1)(一题多解)平面图形ABCD的直观图为如图所示等腰梯形,其中A'B'∥D'C', ∠D'A'B'=45°,C'D'=1,A'D'=1,则平面图形ABCD的面积为　　　　　.  【解析】方法一:如图①所示,由直观图是一个底角为45°的等腰梯形A'D'C'B'可知,原图形是直角梯形(如图②所示),根据题意,易知原图形上底长为1,下底长为1+,高为2,故这个平面图形的面积是×(1+1+)×2=2+. 方法二:直观图是上底长为1,高为,下底长为1+2×的梯形,故原平面图形的面积为×(1+1+2×)×=2+. 答案:2+ (2)(一题多解)等腰梯形ABCD如图所示,其中AB∥CD,AB=1,AD=2,CD=3,则该梯形直观图的面积是　　　　　.  【解析】方法一:作等腰梯形ABCD的高AE, 则AE====. 由斜二测画法的作法可知:该梯形直观图中的高为AEsin 45°==,AB,CD的长度在直观图中与原图保持一致,故直观图的面积为(1+3)×=. 方法二:由方法一,知高AE=, 所以等腰梯形的面积S=(1+3)×=2, 所以直观图面积S'=S=. 答案: 【总结升华】 直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S或S=2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 【即学即练】 1.如图,正方形A'B'C'D'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图,若O'D'=,则四边形ABCD的周长与面积的数值之比为 (　　) A.2∶1 B.∶1 C.∶2 D.∶4 【解析】选A.由题图可知,S正方形A'B'C'D'=A'D'2=1, 所以四边形ABCD的面积为2×1=2. 根据斜二测画法画直观图x轴不变,y轴减半的原则进行原图还原,D的坐标为(0,2),易知AD=3,且四边形ABCD是平行四边形, 四边形ABCD的周长为(1+3)×2=8, 所以四边形ABCD周长与面积的数值之比为2∶1. 2.如图所示,△A'B'C'是△ABC的直观图,则△ABC的面积为　　　　　(请用数字填写).  【解析】如图所示,根据直观图画出平面图, 由图可知S△ABC=×2×2=2. 答案:2 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $