1.导学案 05 第6章 6.2.3 向量的数乘运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.2.3　 向量的数乘运算 内容概览 【学习目标】 1.理解向量数乘运算的概念及几何意义.(数学抽象、直观想象) 2.掌握向量数乘的运算律,理解数乘的几何意义,会进行向量的数乘运算.(数学运算) 3.理解向量共线定理的含义,能解相关的证明与计算问题.(逻辑推理、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、向量的数乘运算 1.定义:规定实数λ与向量a的积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: (1)|λa|=_____; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向_____; 当λ<0时,λa的方向与a的方向_____. 当λ=0时,λa的方向任意. 向量 |λ||a| 相同 相反 返回 2.运算律:设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μ a)=_____; (2)(λ+μ)a=_______;  (3)λ(a+b)=______. 特别地,有(-λ)a=_____=_____; λ(a-b)=_____. 3.线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是_____.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=__________. (λμ)a λa+μ a λa+λb -(λa) λ(-a) λa-λb 向量 λμ1a±λμ2b 返回 【思考】 1.向量的数乘运算结果仍然是向量,该向量与原向量有什么关系? 提示:共线. 2.将非零向量a的长度伸长为原来的2倍得到向量b,则向量a,b有什么关系? 提示:a=2b或a=-2b. 二、向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_____. 【点拨】 (1)向量共线定理中规定a≠0. (2)λ的值是唯一存在的. b=λa 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数λ>0与向量a的乘积是一个向量,它的方向与a的方向相同. ( ) 提示:由向量数乘运算的定义知,此说法正确. (2)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b. ( ) 提示:当m=0时,ma=mb成立,a,b不一定相等,故错误. (3)非零向量a与b满足a=3b,则3|a|=|b|. ( ) 提示:由向量数乘运算的定义知,|a|=3|b|. (4)若a∥b,则一定存在λ∈R,使得b=λa. ( ) 提示:当a=0,b≠0时,λa=0,此时不存在λ∈R,使得b=λa,故错误. √ × × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1向量的线性运算(数学运算) 【典例1】(教材提升·例5)计算: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a); (2)(a-2b)-(3a-2b)-(a-b); (3)(x+y)a-(x-y)a. 返回 【解析】(1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=(15a-12a)+(-10b+8b)=3a-2b. (2)(a-2b)-(3a-2b)-(a-b) =(a-a-a)+(-b+b+b) =-a+b. (3)(x+y)a-(x-y)a=(xa-xa)+(ya+ya)=2ya. 返回 【总结升华】 向量的线性运算 (1)向量的线性运算类似于实数运算,遵循括号内的运算优先的原则,将共线的向量看作“同类项”进行合并; (2)要注意向量数乘的结果仍是向量,同时要在理解几何意义的基础上,熟练运用运算律. 返回 【即学即练】 (2025·孝感高一检测)化简: (1)6(a-3b+c)-4(-a+b-c)=　 ;  (2)[(3a-2b)+5a-(6a-9b)]=　　　　　;  (3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)=　　　　　.  【解析】(1)6(a-3b+c)-4(-a+b-c)=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c. (2)[(3a-2b)+5a-(6a-9b)]=(3a-2b+5a-2a+3b)=3a+b. (3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=(2x-2y)b=2(x-y)b. 答案:(1)10a-22b+10c (2)3a+b (3)2(x-y)b 返回 类型2向量的线性表示(直观想象) √ 返回 返回 √ 返回 【总结升华】 向量线性表示的方法 (1)直接法:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中,然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (2)方程法:当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 返回 【即学即练】 √ 返回 返回 √ √ 返回 返回 类型3共线向量及其应用(逻辑推理、数学运算) 角度1　点共线的判定 √ 返回 返回 返回 【即学即练】 √ 返回 角度2　由向量共线求参数的值 【典例4】(1)(2025·苏州高一检测)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=2e1+5e2共线,则k=(　　) A.　 B.-　 C.-　 D. 【解析】选B.向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=2e1+5e2共线,设m=tn, 故,解得k=-. √ 返回 √ 返回 【总结升华】 由向量共线求参数值的方法 利用向量共线定理转化为向量系数相等,从而建立关于参数的方程(组)求解,若向量不共线,则向量的系数为零. 返回 【即学即练】 1.(2025·皖北名校高一联考)已知a,b是两个不共线的向量,向量b+ta,a-b共线,则实数t的值为(　　) A.-　 B.　 C.-2　 D.2 【解析】选C.向量a,b不共线,则a-b≠0,因为b+ta,a-b共线, 所以存在λ∈R,使得b+ta=λ(a-b), 于是(t-λ)a+(1+λ)b=0, 则t-λ=0且1+λ=0,解得λ=-3,t=-2,所以实数t的值为-2. √ 返回 返回 【教材深一度】 平面内三点共线的充要条件 链接教材:P26例1 返回 √ 返回 √ 返回 【典例2】(1)(2025·上饶高一检测)已知G为△ABC的重心,则 (　　) A.=- B.=-+ C.=-+ D.=- 【解析】选B.如图所示,设D为AC的中点,又G为△ABC的重心, 则==(+)=+=++=+=-+. (2)(2025·南平高一检测)在△ABC中,=2,点E是线段AD的中点,则= (　　) A.-+ B.-+ C.+ D.+ 【解析】选B.因为E为线段AD的中点, 所以=+,又=2, 所以=+=-+-=-+. 1.(2025·银川高一检测)设D为△ABC所在平面内一点,且满足=3,则(　　) A.=- B.=+ C.=- D.=+ 【解析】选C.由=3,则C,B,D三点共线且||=3||,如图所示: 所以=2,即=, 所以=+=+=+(-)=-. 2.(多选)(2025·唐山高一检测)已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O,=,则(　　) A.=+ B.=+ C.=+ D.=- 【解析】选AD.平行四边形ABCD的两条对角线交于点O,=,作出图形如图所示: 由图可得:=+=+=+(-)=+,故A正确; =+=-=-(-)=-,故D正确. 【典例3】已知平面向量a,b不共线,=4a+6b,=-a+3b,=a+3b,则(　　) A.A,B,D三点共线　 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线　 D.A,C,D三点共线 【解析】选D.对于A,=+=-a+3b+a+3b=6b,与不共线,A不正确; 对于B,=4a+6b,=-a+3b,则与不共线,B不正确; 对于C,=-a+3b,=a+3b,则与不共线,C不正确; 对于D,=+=4a+6b-a+3b=3a+9b=3, 即∥,又线段AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共线,D正确. 【总结升华】 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ使得=λ(或=λ等)即可; (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. 已知不共线的向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　) A.A,B,D　 B.A,B,C C.B,C,D　 D.A,C,D 【解析】选A.对A,=++=3a+6b,所以=3,则A,B,D三点共线,A正确; 对B,=+=-4a+8b,则不存在任何λ∈R,使得=λ,所以A,B,C不共线,B错误; 对C,=+=2a+4b,则不存在任何μ∈R,使得=μ,所以B,C,D不共线,C错误; 对D,=+=-4a+8b,则不存在任何t∈R,使得=t,所以A,C,D不共线,D错误. (2)(2025·齐齐哈尔高一检测)已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为(　　) A.5　 B.4　 C.3　 D.2 【解析】选B.因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k,即λa+b=k(a+μb), 又向量a,b不共线,所以⇒λμ=1, 因为λ>0,μ>0,所以λ+4μ≥2=4, 当且仅当λ=4μ=2时取等号,即λ+4μ的最小值为4. 2.设e1,e2是不共线的两个向量,=e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.若A,B,D三点共线,则k的值为　　　　　.  【解析】因为A,B,D三点共线,所以∥,则∃λ∈R,使得=λ,又=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,所以e1+ke2=λ(e1-4e2),则,解得k=-4. 答案:-4 若O是直线AB外的任意一点,若=x+y, 则A,B,P三点共线的充要条件是x+y=1 【典例5】(1)(2025·莆田高一检测)已知点A,B,C不共线,点M,N(异于A,B,C)满足=λ,=μ(λ,μ∈R).若直线MN过线段BC的中点,则(　　) A.λ+μ=2　 B.+=2 C.λμ=2　 D.λμ=1 【解析】选B.设BC的中点为D,则M,N,D三点共线,因为=λ,=μ(λ,μ∈R),所以+=2=+, 所以=+, 结合M,N,D三点共线,可知+=1,所以+=2,对比选项可知,一定成立的只有B. (2)在△ABC中,点F为线段AC上任一点(不含端点),若=3x+y,则+的最小值为(　　) A.1　 B.4　 C.9　 D.16 【解析】选D.在△ABC中,点F为线段AC上任一点(不含端点),若=3x+y,则x>0,y>0,设=λ,则=+=+λ(-)=(1-λ)+λ, 所以3x+y=1-λ+λ=1,则+=(+)(3x+y)=9+1++≥10+2=16,当且仅当=,即x=y=时,等号成立,故+的最小值为16. $ 6.2.3　向量的数乘运算 【学习目标】 1.理解向量数乘运算的概念及几何意义.(数学抽象、直观想象) 2.掌握向量数乘的运算律,理解数乘的几何意义,会进行向量的数乘运算.(数学运算) 3.理解向量共线定理的含义,能解相关的证明与计算问题.(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主导学 一、向量的数乘运算 1.定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a的方向相反. 当λ=0时,λa的方向任意. 2.运算律:设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μ a)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μ a;  (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a); λ(a-b)=λa-λb. 3.线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 【思考】 1.向量的数乘运算结果仍然是向量,该向量与原向量有什么关系? 提示:共线. 2.将非零向量a的长度伸长为原来的2倍得到向量b,则向量a,b有什么关系? 提示:a=2b或a=-2b. 二、向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 【点拨】 (1)向量共线定理中规定a≠0. (2)λ的值是唯一存在的. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数λ>0与向量a的乘积是一个向量,它的方向与a的方向相同. (√) 提示:由向量数乘运算的定义知,此说法正确. (2)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b. (×) 提示:当m=0时,ma=mb成立,a,b不一定相等,故错误. (3)非零向量a与b满足a=3b,则3|a|=|b|. (×) 提示:由向量数乘运算的定义知,|a|=3|b|. (4)若a∥b,则一定存在λ∈R,使得b=λa. (×) 提示:当a=0,b≠0时,λa=0,此时不存在λ∈R,使得b=λa,故错误. 关键能力·师生共研 类型1向量的线性运算(数学运算) 【典例1】(教材提升·例5)计算: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a); (2)(a-2b)-(3a-2b)-(a-b); (3)(x+y)a-(x-y)a. 【解析】(1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=(15a-12a)+(-10b+8b)=3a-2b. (2)(a-2b)-(3a-2b)-(a-b) =(a-a-a)+(-b+b+b) =-a+b. (3)(x+y)a-(x-y)a=(xa-xa)+(ya+ya)=2ya. 【总结升华】 向量的线性运算 (1)向量的线性运算类似于实数运算,遵循括号内的运算优先的原则,将共线的向量看作“同类项”进行合并; (2)要注意向量数乘的结果仍是向量,同时要在理解几何意义的基础上,熟练运用运算律. 【即学即练】 (2025·孝感高一检测)化简: (1)6(a-3b+c)-4(-a+b-c)=　;  (2)[(3a-2b)+5a-(6a-9b)]=　　　　　;  (3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)=　　　　　.  【解析】(1)6(a-3b+c)-4(-a+b-c)=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c. (2)[(3a-2b)+5a-(6a-9b)]=(3a-2b+5a-2a+3b)=3a+b. (3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=(2x-2y)b=2(x-y)b. 答案:(1)10a-22b+10c (2)3a+b (3)2(x-y)b 类型2向量的线性表示(直观想象) 【典例2】(1)(2025·上饶高一检测)已知G为△ABC的重心,则 (　　) A.=- B.=-+ C.=-+ D.=- 【解析】选B.如图所示,设D为AC的中点,又G为△ABC的重心, 则==(+)=+=++=+=-+. (2)(2025·南平高一检测)在△ABC中,=2,点E是线段AD的中点,则= (　　) A.-+ B.-+ C.+ D.+ 【解析】选B.因为E为线段AD的中点, 所以=+,又=2, 所以=+=-+-=-+. 【总结升华】 向量线性表示的方法 (1)直接法:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中,然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (2)方程法:当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 【即学即练】 1.(2025·银川高一检测)设D为△ABC所在平面内一点,且满足=3,则(　　) A.=- B.=+ C.=- D.=+ 【解析】选C.由=3,则C,B,D三点共线且||=3||,如图所示: 所以=2,即=, 所以=+=+=+(-)=-. 2.(多选)(2025·唐山高一检测)已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O,=,则(　　) A.=+ B.=+ C.=+ D.=- 【解析】选AD.平行四边形ABCD的两条对角线交于点O,=,作出图形如图所示: 由图可得:=+=+=+(-)=+,故A正确; =+=-=-(-)=-,故D正确. 类型3共线向量及其应用(逻辑推理、数学运算) 角度1　点共线的判定 【典例3】已知平面向量a,b不共线,=4a+6b,=-a+3b,=a+3b,则(　　) A.A,B,D三点共线　 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线　 D.A,C,D三点共线 【解析】选D.对于A,=+=-a+3b+a+3b=6b,与不共线,A不正确; 对于B,=4a+6b,=-a+3b,则与不共线,B不正确; 对于C,=-a+3b,=a+3b,则与不共线,C不正确; 对于D,=+=4a+6b-a+3b=3a+9b=3, 即∥,又线段AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共线,D正确. 【总结升华】 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ使得=λ(或=λ等)即可; (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. 【即学即练】 已知不共线的向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　) A.A,B,D　 B.A,B,C C.B,C,D　 D.A,C,D 【解析】选A.对A,=++=3a+6b,所以=3,则A,B,D三点共线,A正确; 对B,=+=-4a+8b,则不存在任何λ∈R,使得=λ,所以A,B,C不共线,B错误; 对C,=+=2a+4b,则不存在任何μ∈R,使得=μ,所以B,C,D不共线,C错误; 对D,=+=-4a+8b,则不存在任何t∈R,使得=t,所以A,C,D不共线,D错误. 角度2　由向量共线求参数的值 【典例4】(1)(2025·苏州高一检测)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=2e1+5e2共线,则k=(　　) A.　 B.-　 C.-　 D. 【解析】选B.向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=2e1+5e2共线,设m=tn,故,解得k=-. (2)(2025·齐齐哈尔高一检测)已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为(　　) A.5　 B.4　 C.3　 D.2 【解析】选B.因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k,即λa+b=k(a+μb), 又向量a,b不共线,所以⇒λμ=1, 因为λ>0,μ>0,所以λ+4μ≥2=4, 当且仅当λ=4μ=2时取等号,即λ+4μ的最小值为4. 【总结升华】 由向量共线求参数值的方法 利用向量共线定理转化为向量系数相等,从而建立关于参数的方程(组)求解,若向量不共线,则向量的系数为零. 【即学即练】 1.(2025·皖北名校高一联考)已知a,b是两个不共线的向量,向量b+ta,a-b共线,则实数t的值为(　　) A.-　 B.　 C.-2　 D.2 【解析】选C.向量a,b不共线,则a-b≠0,因为b+ta,a-b共线, 所以存在λ∈R,使得b+ta=λ(a-b), 于是(t-λ)a+(1+λ)b=0, 则t-λ=0且1+λ=0,解得λ=-3,t=-2,所以实数t的值为-2. 2.设e1,e2是不共线的两个向量,=e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.若A,B,D三点共线,则k的值为　　　　　.  【解析】因为A,B,D三点共线,所以∥,则∃λ∈R,使得=λ,又=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,所以e1+ke2=λ(e1-4e2),则,解得k=-4. 答案:-4 【教材深一度】 平面内三点共线的充要条件 链接教材:P26例1 　若O是直线AB外的任意一点,若=x+y,则A,B,P三点共线的充要条件是x+y=1. 【典例5】(1)(2025·莆田高一检测)已知点A,B,C不共线,点M,N(异于A,B,C)满足=λ,=μ(λ,μ∈R).若直线MN过线段BC的中点,则(　　) A.λ+μ=2　 B.+=2 C.λμ=2　 D.λμ=1 【解析】选B.设BC的中点为D,则M,N,D三点共线,因为=λ,=μ(λ,μ∈R),所以+=2=+, 所以=+, 结合M,N,D三点共线,可知+=1,所以+=2,对比选项可知,一定成立的只有B. (2)在△ABC中,点F为线段AC上任一点(不含端点),若=3x+y,则+的最小值为(　　) A.1　 B.4　 C.9　 D.16 【解析】选D.在△ABC中,点F为线段AC上任一点(不含端点),若=3x+y,则x>0,y>0,设=λ,则=+=+λ(-)=(1-λ)+λ, 所以3x+y=1-λ+λ=1,则+=(+)(3x+y)=9+1++≥10+2=16,当且仅当=,即x=y=时,等号成立,故+的最小值为16. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $