1.导学案 04 第7章 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 内容概览 【学习目标】 1.掌握复数加、减运算法则.(数学抽象) 2.了解复数加、减法的几何意义.(直观想象) 3.能够利用数形结合思想解决复数模的综合问题.(直观想象、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、复数的加、减运算 1.运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则 (1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)z1-z2=___________. 2.运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 (1)交换律:z1+z2=_____; (2)结合律:(z1+z2)+z3=_________. (a-c)+(b-d)i z2+z1 z1+(z2+z3) 返回 【思考】 若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?请举例说明. 提示:不能.如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小. 【点拨】 两个复数的和与差仍然是一个确定的复数. 返回 z1+z2 z1-z2 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若复数z,z1,z2满足z=z1+z2,则z1=z-z2.( ) 提示:复数满足等式的移项法则. (2)复数z1,z2,z3满足(z1-z2)-z3=z1-(z2-z3).( ) 提示:(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3). (3)若复数z1,z2满足z1+z2<0,则z1<0,z2<0.( ) 提示:如z1=-2+i,z2=-1-i,z1+z2=-3<0,但复数z1,z2不能与0比较大小. √ × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1复数的加、减运算(数学运算) 【典例1】(1)复数z1=a+4i,z2=-3+bi,其中a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯 虚数,则a+b=(　　) A.6 B.-6 C.-7 D.7 【解析】选C.因为z1+z2=(a-3)+(b+4)i,z1-z2=(a+3)+(4-b)i,由z1+z2为实数, z1-z2为纯虚数,得b=-4,a=-3,所以a+b=-7. √ 返回 (2)已知复数z=-4+3i,则+|z|=　　　　.  【解析】因为|z|==5,=-4-3i, 所以+|z|=1-3i. 答案:1-3i 返回 【总结升华】 复数加、减运算的方法 复数加、减运算类似于多项式加、减运算的合并同类项,即实部相加减,虚部相加减,结果分别作为和差的实部与虚部. 返回 【即学即练】 1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z=(　　) A.0 B.2i C.6 D.6-2i 【解析】选D.z=3-i-(i-3)=6-2i. √ 返回 2.设复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),若z+2=3+2i, 则a=　　　　,b=　　　　.  【解析】因为z=a+bi,所以=a-bi. 因为z+2=3+2i,所以a+bi+2(a-bi)=3+2i,即3a-bi=3+2i, 根据复数相等可得即 答案:1　-2 返回 返回 返回 返回 【总结升华】 复数加、减法的几何意义 (1)根据复数加、减法的几何意义,将其转化为对应向量的加、减运算; (2)利用向量的观点,解决复数的有关问题. 返回 答案:-7-i 返回 类型3复数模的综合问题(直观想象、数学运算) 【典例3】已知z0=2+2i,|z-z0|=. (1)复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形? (2)求|z|的最小值和最大值. 【解析】(1)设z0在复平面内对应的点为Z0,由z0=2+2i,知Z0(2,2),由|z-z0|=, 知复平面内点Z到点Z0的距离为, 所以复数z对应的点Z的集合是以Z0(2,2)为圆心,半径为的圆, 如图所示. (2)当z对应的点Z在直线OZ0上时,|z|有最值.因为|OZ0|=2, 半径r=,所以|z|min=,|z|max=3. 返回 返回 【即学即练】 1.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在(　　) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 【解析】选B.设z在复平面内对应的点为Z,因为|z-1|=|z+1|,所以点Z到(1,0) 和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上,即在 虚轴上. √ 返回 2.已知复数z满足|z|=1,则|z-2i|的取值范围为　　　　　.  【解析】|z|=1表示z在复平面内对应的点是以原点为圆心的单位圆上的 点.|z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和点(0,2)之间的距离,所以最小距离 为2-1=1,最大距离为2+1=3,所以|z-2i|的取值范围为[1,3]. 答案:[1,3] 返回 二、复数加、减法的几何意义 如图,设复数z1=a+bi,z2=c+di对应的向量分别为,,则=(a,b),=(c,d),四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则 1.复数_______与向量=(a+c,b+d)对应. 2.复数_______与向量=(a-c,b-d)对应. 3.|z1-z2|=表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离. 类型2复数的加、减法的几何意义(直观想象) 【典例2】已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求: (1)点D对应的复数; (2)平行四边形ABCD的面积. 【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,所以向量=(1,2), 对应的复数为3-i,所以向量=(3,-1), =+=(1,2)+(3,-1)=(4,1), =-=(2,1)-(1,2)=(1,-1), 所以=+=(1,-1)+(4,1)=(5,0), 所以点D对应的复数为5. (2)因为·=||||cos B, 所以cos B===. 因为B∈(0,π),所以sin B=, 所以S=||||sin B==7, 故平行四边形ABCD的面积为7. 【即学即练】 在复平面上,如果,对应的复数分别是5+4i,-2+3i,那么对应的复数为　　　　.  【解析】,对应的复数分别是5+4i,-2+3i,=-, 所以对应的复数为-2+3i-(5+4i)=-7-i. 【总结升华】 复数模的综合问题 (1)|z|即向量||,若z对应的点Z为动点,|z|=r,则Z的轨迹是以原点为圆心,半径为r的圆; (2)|z-z0|即||,即复平面内点Z0,Z之间的距离,若z对应的点Z为动点,|z-z0|=r,则Z的轨迹 是以Z0为圆心,半径为r的圆; (3)与模有关的最值问题,可以借助模的几何意义,转化为动点Z的轨迹上的点到定点Z0距离 的最值问题,或者从函数的角度,转化为函数的最值问题. $ 7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 【学习目标】 1.掌握复数加、减运算法则.(数学抽象) 2.了解复数加、减法的几何意义.(直观想象) 3.能够利用数形结合思想解决复数模的综合问题.(直观想象、数学运算) 必备知识·自主导学 一、复数的加、减运算 1.运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则 (1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 (1)交换律:z1+z2=z2+z1; (2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 【思考】 若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?请举例说明. 提示:不能.如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小. 【点拨】 两个复数的和与差仍然是一个确定的复数. 二、复数加、减法的几何意义 如图,设复数z1=a+bi,z2=c+di对应的向量分别为,,则=(a,b),=(c,d),四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则 1.复数z1+z2与向量=(a+c,b+d)对应. 2.复数z1-z2与向量=(a-c,b-d)对应. 3.|z1-z2|=表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若复数z,z1,z2满足z=z1+z2,则z1=z-z2. (√) 提示:复数满足等式的移项法则. (2)复数z1,z2,z3满足(z1-z2)-z3=z1-(z2-z3). (×) 提示:(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3). (3)若复数z1,z2满足z1+z2<0,则z1<0,z2<0. (×) 提示:如z1=-2+i,z2=-1-i,z1+z2=-3<0,但复数z1,z2不能与0比较大小. 关键能力·师生共研 类型1复数的加、减运算(数学运算) 【典例1】(1)复数z1=a+4i,z2=-3+bi,其中a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b= (　　) A.6 B.-6 C.-7 D.7 【解析】选C.因为z1+z2=(a-3)+(b+4)i,z1-z2=(a+3)+(4-b)i,由z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,得b=-4,a=-3,所以a+b=-7. (2)已知复数z=-4+3i,则+|z|=　　　　.  【解析】因为|z|==5,=-4-3i, 所以+|z|=1-3i. 答案:1-3i 【总结升华】 复数加、减运算的方法 复数加、减运算类似于多项式加、减运算的合并同类项,即实部相加减,虚部相加减,结果分别作为和差的实部与虚部. 【即学即练】 1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z= (　　) A.0 B.2i C.6 D.6-2i 【解析】选D.z=3-i-(i-3)=6-2i. 2.设复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),若z+2=3+2i,则a=　　　　,b=　　　　.  【解析】因为z=a+bi,所以=a-bi. 因为z+2=3+2i,所以a+bi+2(a-bi)=3+2i,即3a-bi=3+2i, 根据复数相等可得即 答案:1　-2 类型2复数的加、减法的几何意义(直观想象) 【典例2】已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求: (1)点D对应的复数; (2)平行四边形ABCD的面积. 【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,所以向量=(1,2), 对应的复数为3-i,所以向量=(3,-1), =+=(1,2)+(3,-1)=(4,1), =-=(2,1)-(1,2)=(1,-1), 所以=+=(1,-1)+(4,1)=(5,0), 所以点D对应的复数为5. (2)因为·=||||cos B, 所以cos B===. 因为B∈(0,π),所以sin B=, 所以S=||||sin B==7, 故平行四边形ABCD的面积为7. 【总结升华】 复数加、减法的几何意义 (1)根据复数加、减法的几何意义,将其转化为对应向量的加、减运算; (2)利用向量的观点,解决复数的有关问题. 【即学即练】 在复平面上,如果,对应的复数分别是5+4i,-2+3i,那么对应的复数为　　　　.  【解析】,对应的复数分别是5+4i,-2+3i,=-, 所以对应的复数为-2+3i-(5+4i)=-7-i. 答案:-7-i 类型3复数模的综合问题(直观想象、数学运算) 【典例3】已知z0=2+2i,|z-z0|=. (1)复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形? (2)求|z|的最小值和最大值. 【解析】(1)设z0在复平面内对应的点为Z0,由z0=2+2i,知Z0(2,2),由|z-z0|=,知复平面内点Z到点Z0的距离为, 所以复数z对应的点Z的集合是以Z0(2,2)为圆心,半径为的圆,如图所示. (2)当z对应的点Z在直线OZ0上时,|z|有最值.因为|OZ0|=2,半径r=,所以|z|min=,|z|max=3. 【总结升华】 复数模的综合问题 (1)|z|即向量||,若z对应的点Z为动点,|z|=r,则Z的轨迹是以原点为圆心,半径为r的圆; (2)|z-z0|即||,即复平面内点Z0,Z之间的距离,若z对应的点Z为动点,|z-z0|=r,则Z的轨迹是以Z0为圆心,半径为r的圆; (3)与模有关的最值问题,可以借助模的几何意义,转化为动点Z的轨迹上的点到定点Z0距离的最值问题,或者从函数的角度,转化为函数的最值问题. 【即学即练】 1.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在 (　　) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 【解析】选B.设z在复平面内对应的点为Z,因为|z-1|=|z+1|,所以点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上,即在虚轴上. 2.已知复数z满足|z|=1,则|z-2i|的取值范围为　　　　　.  【解析】|z|=1表示z在复平面内对应的点是以原点为圆心的单位圆上的点.|z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和点(0,2)之间的距离,所以最小距离为2-1=1,最大距离为2+1=3,所以|z-2i|的取值范围为[1,3]. 答案:[1,3] - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $