1.导学案 03 第7章 7.1.2 复数的几何意义(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7.1.2　复数的几何意义 【学习目标】 1.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(数学抽象) 2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数及它们之间的一一对应关系.(直观想象) 3.掌握求复数模的方法及复数模的几何意义.(数学运算、直观想象) 必备知识·自主导学 一、复平面 1.复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 2.实轴:坐标系中的x轴叫做实轴,在它上面的点都表示实数. 3.虚轴:坐标系中的y轴叫做虚轴,除了原点外,在它上面的点都表示纯虚数. 二、复数的几何意义 1.复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)一一对应. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)与平面向量一一对应(O为原点). 【思考】 为方便起见,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成向量,所以复数即为向量,向量即为复数,对吗? 提示:不对,复数与以原点出发的向量是一一对应的,不能说“复数即为向量,向量即为复数”. 三、复数的模 1.定义:向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值. 2.记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作|z|或|a+bi|. 3.公式:|z|=|a+bi|=. 四、共轭复数 1.定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表示:复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi(a,b∈R). 【点拨】 共轭复数在复平面上对应的两个点关于实轴对称. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,bi)表示. (×) 提示:因为复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)表示,故错误. (2)在复平面内,任意一个纯虚数bi(b≠0)与虚轴上的点(0,b)一一对应. (√) (3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. (√) (4)若|z1|=|z2|,则z1=z2. (×) 提示:如z1=i,z2=-i满足|z1|=|z2|,但z1≠z2,故错误. 关键能力·师生共研 类型1复数与复平面内点的关系(直观想象) 【典例1】(1)复数z=-i在复平面内对应的点Z在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.复数z=-i在复平面内对应的点为Z(,-),它位于第四象限. (2)若复数z=3a+(a2-2)i在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围为　　　　.  【解析】因为复数z在复平面内对应的点在第三象限,所以解得-<a<0. 答案:(-,0) 【总结升华】 复数与复平面内点的关系 (1)关键:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的点Z(a,b). (2)方法:根据复数的实部与虚部应满足的条件,列方程(组)或不等式(组)求解. 【即学即练】 1.若复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则实数a的值为 (　　) A.-1 B.-1或2 C.0 D.0或2 【解析】选D.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,所以a2-2a=0,解得a=0或a=2. 2.复平面上的点(-2,)对应的复数为　　　　.  【解析】由复数与复平面上的点一一对应,得复平面上的点(-2,)对应的复数为-2+i. 答案:-2+i 类型2复数与复平面内向量的关系(直观想象) 【典例2】(1)设O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是 (　　) A.-5+5i B.-5-5i C.5+5i D.5-5i 【解析】选D.由复数的几何意义, 得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),所以对应的复数是5-5i. (2)(2025·上海高一检测)已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A(-2,-1),B(7,3),C(12,9),D(x,y)按逆时针方向排列,则向量所对应的复数为　　　　.  【解析】由题意,有=,而=(9,4),=(12-x,9-y),则有(9,4)=(12-x,9-y),解得,故D的坐标为(3,5),则向量=(5,6),所以对应的复数z=5+6i. 答案:5+6i 【总结升华】 复数与复平面内向量的关系 (1)关键:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的=(a,b); (2)方法:解决复数与平面向量的一一对应问题时,以复数与复平面内的点一一对应为依据,从而实现复数、复平面内的点、向量之间的相互转化. 【即学即练】 1.在复平面内,复数z1=1-i对应的向量为,复数z2=1+i对应的向量为,那么向量= (　　) A.(1,-1) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 【解析】选C.由题意,=(1,-1),=(1,1),所以=-=(0,2). 2.如图,若向量对应的复数为z,则z=　　　　.  【解析】由题图可得Z(-4,3),即z=-4+3i. 答案:-4+3i 类型3复数的模与共轭复数(数学运算) 【典例3】(1)(教材例3提升)设z∈C,则满足1≤|z|≤3的复数在复平面上的对应点构成图形的面积为 (　　) A.π B.4π C.8π D.9π 【解析】选C.设z=x+yi,x,y∈R,则|z|=,因为1≤|z|≤3,所以1≤≤3,则1≤x2+y2≤9,所以复数z在复平面内的点位于以坐标原点为圆心,半径为1和半径为3之间的圆环部分(包括圆上的点),所以复数z在复平面上的对应点构成图形的面积为32×π-12×π=8π. (2)已知复数z的实部为3,在复平面内对应的点位于第一象限,且|z|=5,则=　　　　.  【解析】由题意,设z=3+bi(b∈R,b>0),且=5,所以b=4,=3+4i. 答案:3+4i 【总结升华】 1.|z|=||; 2.当复数的模确定时,复数对应的点到原点的距离是确定的,但对应的点是不确定的,这些点通常形成以原点为圆心的圆、圆面、圆环面等. 【即学即练】 1.复数z=3+4i,其中i为虚数单位,则||= (　　) A.25 B.3 C.5 D. 【解析】选C.因为z=3+4i,所以=3-4i,故||==5. 2.复数z满足关系式:2|z|2-7|z|+3=0,则复数在复平面内对应点的轨迹是 (　　) A.两条直线 B.一条直线和一个圆 C.两个圆 D.一个圆 【解析】选C.由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=或|z|=3;当|z|=时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为的圆; 当|z|=3时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为3的圆. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 7.1.2　复数的几何意义 内容概览 【学习目标】 1.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(数学抽象) 2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数及它们之间的一一对应关系.(直观想象) 3.掌握求复数模的方法及复数模的几何意义.(数学运算、直观想象) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、复平面 1.复平面:建立了直角坐标系来表示_____的平面叫做复平面. 2.实轴:坐标系中的__轴叫做实轴,在它上面的点都表示实数. 3.虚轴:坐标系中的__轴叫做虚轴,除了原点外,在它上面的点都表示 _______. 复数 x y 纯虚数 返回 二、复数的几何意义 1.复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点______一一对应. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)与平面向量 _________(O为原点). 【思考】 为方便起见,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成向量 ,所以复数即为向 量,向量即为复数,对吗? 提示:不对,复数与以原点出发的向量是一一对应的,不能说“复数即为向量, 向量即为复数”. Z(a,b) 一一对应 返回 三、复数的模 1.定义:向量 的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值. 2.记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作|z|或|a+bi|. 3.公式:|z|=|a+bi|=. 四、共轭复数 1.定义:一般地,当两个复数的实部_____,虚部___________时,这两个复数叫 做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_________. 2.表示:复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R), 那么=a-bi(a,b∈R). 相等 互为相反数 共轭虚数 返回 【点拨】 共轭复数在复平面上对应的两个点关于实轴对称. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,bi)表示.( ) 提示:因为复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)表示,故错误. (2)在复平面内,任意一个纯虚数bi(b≠0)与虚轴上的点(0,b)一一对应.( ) (3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应 的向量的模.( ) (4)若|z1|=|z2|,则z1=z2.( ) 提示:如z1=i,z2=-i满足|z1|=|z2|,但z1≠z2,故错误. × √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1复数与复平面内点的关系(直观想象) 【典例1】(1)复数z=-i在复平面内对应的点Z在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.复数z=-i在复平面内对应的点为Z(,-),它位于第四象限. √ 返回 (2)若复数z=3a+(a2-2)i在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范 围为　　　　.  【解析】因为复数z在复平面内对应的点在第三象限,所以 解得-<a<0. 答案:(-,0) 返回 【总结升华】 复数与复平面内点的关系 (1)关键:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的点Z(a,b). (2)方法:根据复数的实部与虚部应满足的条件,列方程(组)或不等式(组)求解. 返回 【即学即练】 1.若复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则实数a的值为(　　) A.-1 B.-1或2 C.0 D.0或2 【解析】选D.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,所以a2-2a=0, 解得a=0或a=2. 2.复平面上的点(-2,)对应的复数为　　　　.  【解析】由复数与复平面上的点一一对应,得复平面上的点(-2,)对应的 复数为-2+i. 答案:-2+i √ 返回 √ 返回 答案:5+6i 返回 【总结升华】 复数与复平面内向量的关系 (1)关键:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的 =(a,b); (2)方法:解决复数与平面向量的一一对应问题时,以复数与复平面内的点一 一对应为依据,从而实现复数、复平面内的点、向量之间的相互转化. 返回 √ 返回 2.如图,若向量 对应的复数为z,则z=　　　　.  【解析】由题图可得Z(-4,3),即z=-4+3i. 答案:-4+3i 返回 类型3复数的模与共轭复数(数学运算) 【典例3】(1)(教材例3提升)设z∈C,则满足1≤|z|≤3的复数在复平面上的对 应点构成图形的面积为(　　) A.π B.4π C.8π D.9π 【解析】选C.设z=x+yi,x,y∈R,则|z|=,因为1≤|z|≤3,所以 1≤≤3,则1≤x2+y2≤9,所以复数z在复平面内的点位于以坐标原点为 圆心,半径为1和半径为3之间的圆环部分(包括圆上的点),所以复数z在复平 面上的对应点构成图形的面积为32×π-12×π=8π. √ 返回 (2)已知复数z的实部为3,在复平面内对应的点位于第一象限,且|z|=5,则 =　　　　.  【解析】由题意,设z=3+bi(b∈R,b>0),且=5,所以b=4,=3+4i. 答案:3+4i 返回 【总结升华】 1.|z|=||; 2.当复数的模确定时,复数对应的点到原点的距离是确定的,但对应的点是 不确定的,这些点通常形成以原点为圆心的圆、圆面、圆环面等. 返回 【即学即练】 1.复数z=3+4i,其中i为虚数单位,则||=(　　) A.25 B.3 C.5 D. 【解析】选C.因为z=3+4i,所以=3-4i,故||==5. √ 返回 2.复数z满足关系式:2|z|2-7|z|+3=0,则复数在复平面内对应点的轨迹是(　　) A.两条直线 B.一条直线和一个圆 C.两个圆 D.一个圆 【解析】选C.由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=或|z|=3;当|z|=时,复数在复平面内 对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为的圆; 当|z|=3时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为3的圆. √ 返回 类型2复数与复平面内向量的关系(直观想象) 【典例2】(1)设O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是 (　　) A.-5+5i B.-5-5i C.5+5i D.5-5i 【解析】选D.由复数的几何意义, 得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),所以对应的复数是5-5i. (2)(2025·上海高一检测)已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A(-2,-1),B(7,3),C(12,9),D(x,y)按逆时针方向排列,则向量所对应的复数为　　　　.  【解析】由题意,有=,而=(9,4),=(12-x,9-y),则有(9,4)=(12-x,9-y),解得,故D的坐标为(3,5),则向量=(5,6),所以对应的复数z=5+6i. 【即学即练】 1.在复平面内,复数z1=1-i对应的向量为,复数z2=1+i对应的向量为,那么向量= (　　) A.(1,-1) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 【解析】选C.由题意,=(1,-1),=(1,1),所以=-=(0,2). $