1.导学案 13 第6章 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 【学习目标】 1.能用向量法解决简单的平面几何问题.(直观想象、数学运算) 2.能用向量法解决简单的物理问题,体会向量在解决物理和实际问题中的作用.(数学建模、数学运算) 关键能力·师生共研 类型1利用平面向量解决平面几何问题(直观想象、数学运算) 角度1　证明问题 【典例1】(一题多解)如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF. 【证明】方法一:因为·=(+)·(+)=-+·+·,而AD⊥AB,AD=AB, 所以·=0, 所以⊥,即DE⊥AF. 方法二:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图平面直角坐标系, 则A(0,0),D(0,a),E(,0),F(a,),所以=(a,),=(,-a). 因为·=-=0,所以⊥,即DE⊥AF. 【总结升华】 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 　(1)向量的线性运算法的四个步骤: ①选取基底; ②用基底表示相关向量; ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系; ④把计算所得结果转化为几何问题. (2)向量的坐标运算法的四个步骤: ①建立适当的平面直角坐标系; ②把相关向量坐标化; ③利用向量的坐标运算找到相应关系; ④利用向量关系回答几何问题. 【即学即练】 1.已知在△ABC中,点M是BC边上靠近点B的四等分点,点N在AB边上,且=,设AM与CN相交于点P.记=m,=n. (1)请用m,n表示向量; (2)若|n|=2|m|,设m,n的夹角为θ,若cos θ=,求证:CN⊥AB. 【解析】(1)=-=n-m,由题意得==(n-m), 所以=+=m+(n-m)=m+n. (2)由题意,=+=-+=m-n. 因为|n|=2|m|,cos θ=, 所以m·n=|m|·|n|·cos θ=|m|2. 所以·=(m-n)·m=m2-n·m=|m|2-|m|2=0,所以⊥,即CN⊥AB. 2.(一题多解)如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF. 【证明】方法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1), 则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a, 所以·=(+)·(+) =·+·+·+· =1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+a×a×cos 45°+a×(1-a)×cos 45°=-a+a2+a(1-a)=0. 所以⊥,即DP⊥EF. 方法二:如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1, AP=λ(0<λ<), 则D(0,1),P(λ,λ),E(λ,0),F(1,λ). 所以=(λ,λ-1),=(1-λ,λ). 所以·=λ-λ2+λ2-λ=0, 所以⊥,即DP⊥EF. 角度2　计算问题 【典例2】(1)在△ABC中,AB=3,=,=2,AD与BE的交点为O,若·=-2,则AC的长为 (　　) A.　 B.　 C.2　 D. 【解析】选C.令=λ,λ∈(0,1),由=,=2, 得=+,=,则=λ=+=+, 由B,O,E三点共线,故+=1,即λ=, 即=+,· =(+)·(-) =(||2-||2) =(||2-9)=-2,解得||=2,即AC的长为2. (2)正方形ABCD的边长为a,点E是AB的中点,点F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则∠DMF的余弦值为　　　　.  【解析】以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图, 因为正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点, 则E(,0),F(a,),D(0,a),A(0,0),则=(-,a),=(a,),而∠DMF等于与所成的角. 所以cos∠DMF= ==-. 答案:- 【总结升华】 用向量法解决平面几何中的计算问题 (1)求长度: ①根据图形特点选择基底,利用向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解; ②建立坐标系,将向量用坐标表示,利用|a|=求解. (2)求角度:将所求角转化为两个向量的夹角,再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值,然后求出该夹角,最后转化为所求角. 【即学即练】 已知正方形ABCD的面积为16,=,点N在线段CD上.若·=||2,则 ||=　　　　　.  【解析】如图,建立平面直角坐标系,因为正方形ABCD的面积为16, 所以正方形ABCD的边长为4, 则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),又=,即点M为AB的中点, 则M(2,0).因为点N在线段CD上,设N(t,4),则=(2,0),=(t,4). 则·=||2⇒2t=⇒t=,故||===. 答案: 类型2利用平面向量解决物理问题(数学建模) 角度1　力的问题 【典例3】在物理学中我们已经知道,力既有大小又有方向,因此力是向量.如图所示,在光滑的水平面上静止的物体A受到力F1与F2的作用. (1)求物体A受到F1与F2的合力的大小; (2)求(F1+F2)·(F1-2F2)的值. 【解析】(1)由题图可知F1=(2,1),F2=(2,-2), 则物体A受到F1与F2的合力为F1+F2=(2,1)+(2,-2)=(4,-1), 所以其大小为=. (2)因为F1+F2=(4,-1),F1-2F2=(2,1)-2(2,-2)=(-2,5),所以(F1+F2)·(F1-2F2)=4×(-2)+(-1)×5=-13. 【总结升华】 用向量法解决物理中的力学问题 (1)将题中涉及的力用向量表示,利用向量加法的平行四边形法则对力进行分解或合成,再结合三角形的相关知识求解; (2)力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移对应的两个向量的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角). 【即学即练】 1.如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=,F1与F2的夹角为π,则F3的大小为　　　　　.  【解析】F1,F2,F3三个力处于平衡状态,F1+F2+F3=0,即F3=-(F1+F2), 则|F3|=|F1+F2|= = ==1. 答案:1 2.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m.已知|F1|=2 N,方向为北偏东30°,|F2|=4 N,方向为北偏东60°,|F3|=6 N,方向为北偏西30°,这三个力的合力F所做的功为　　　　　J.  【解析】以三个力的作用点为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示. 由已知得F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3), 所以F=F1+F2+F3=(2-2,4+2).又位移s=(4,4), 所以F·s=(2-2)×4+(4+2)×4=24 J. 故这三个力的合力F所做的功为24 J. 答案:24 角度2　速度、位移问题 【典例4】(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同),单位(m/s),则真风为 (　　) 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【解析】选A.由题意及题图得, 视风风速对应的向量为n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1), 由题知视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,船速对应的向量方向和船行风速的向量方向相反,设真风风速对应的向量为n1,船行风速对应的向量为n2, 所以n=n1+n2,船行风速为n2=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3), 所以n1=n-n2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),|n1|==2≈2.828, 所以由题表得,真风为轻风. 【典例5】一条东西方向的河流两岸平行,河宽250 m,河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h,则当小货船的航程最短时,小货船航行的速度大小是　　　　　km/h.  【解析】由题意,当小货船的航程最短时,航行路线为线段AC, 设小货船航行速度为v,水流的速度为v1,水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2,作出示意图: 因为该东西方向的河流两岸平行,河宽250 m,河水的速度为向东2 km/h, 所以AB=250 m,BC=250 m. 在Rt△ABC中,有tan∠BCA===, 所以∠BCA=,∠BAC=,<v1,v2>=+=,所以v=v2-v1, 所以|v|====2, 所以小货船航行速度的大小为2 km/h. 答案:2 【总结升华】 用向量法解决物理中的航行问题 (1)将题中涉及的速度与位移用向量表示,利用向量加法的平行四边形法则对位移和速度进行分解或合成,再结合三角形的相关知识求解; (2)此类问题需要注意航行时间最短与航程最短的不同. 【即学即练】 　长江流域内某段南北两岸平行,如图,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π),若游船要从A点航行到正北方向上位于北岸的码头B点处,则cos θ=　　　　　.  【解析】由题意,游船要从A点航行到正北方向上位于北岸的码头B点处,即航行的方向垂直河岸,由向量加法的几何意义可知(v1+v2)·v2=0, 即v1·v2+=0, 所以10×4×cos θ+16=0,解得cos θ=-. 答案:- - 10 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 关键能力•师生共研 6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 内容概览 【学习目标】 1.能用向量法解决简单的平面几何问题.(直观想象、数学运算) 2.能用向量法解决简单的物理问题,体会向量在解决物理和实际问题中的作用.(数学建模、数学运算) 返回 01 关键能力•师生共研 返回 类型1 利用平面向量解决平面几何问题(直观想象、数学运算) 角度1　证明问题 【典例1】(一题多解)如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF. 返回 返回 返回 【总结升华】 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 　(1)向量的线性运算法的四个步骤: ①选取基底; ②用基底表示相关向量; ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系; ④把计算所得结果转化为几何问题. (2)向量的坐标运算法的四个步骤: ①建立适当的平面直角坐标系; ②把相关向量坐标化; ③利用向量的坐标运算找到相应关系; ④利用向量关系回答几何问题. 返回 返回 返回 2.(一题多解)如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF. 返回 返回 方法二:如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1, AP=λ(0<λ<), 则D(0,1),P(λ,λ),E(λ,0),F(1,λ). 返回 角度2　计算问题 √ 返回 返回 (2)正方形ABCD的边长为a,点E是AB的中点,点F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则∠DMF的余弦值为　　　　.  【解析】以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图, 因为正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点, 返回 答案:- 返回 【总结升华】 用向量法解决平面几何中的计算问题 (1)求长度: ①根据图形特点选择基底,利用向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解; ②建立坐标系,将向量用坐标表示,利用|a|=求解. (2)求角度:将所求角转化为两个向量的夹角,再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值,然后求出该夹角,最后转化为所求角. 返回 【解析】如图,建立平面直角坐标系,因为正方形ABCD的面积为16, 所以正方形ABCD的边长为4, 返回 答案: 返回 类型2 利用平面向量解决物理问题(数学建模) 角度1　力的问题 【典例3】在物理学中我们已经知道,力既有大小又有方向,因此力是向量.如图所示,在光滑的水平面上静止的物体A受到力F1与F2的作用. (1)求物体A受到F1与F2的合力的大小; (2)求(F1+F2)·(F1-2F2)的值. 返回 【解析】(1)由题图可知F1=(2,1),F2=(2,-2), 则物体A受到F1与F2的合力为F1+F2=(2,1)+(2,-2)=(4,-1), 所以其大小为=. (2)因为F1+F2=(4,-1),F1-2F2=(2,1)-2(2,-2)=(-2,5),所以(F1+F2)·(F1-2F2)=4×(-2)+(-1)×5=-13. 返回 【总结升华】 用向量法解决物理中的力学问题 (1)将题中涉及的力用向量表示,利用向量加法的平行四边形法则对力进行分解或合成,再结合三角形的相关知识求解; (2)力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移对应的两个向量的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角). 返回 【即学即练】 1.如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=,F1与F2的夹角为π,则F3的大小为　　　　　.  返回 【解析】F1,F2,F3三个力处于平衡状态,F1+F2+F3=0,即F3=-(F1+F2), 则|F3|=|F1+F2|= = ==1. 答案:1 返回 2.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m.已知|F1|=2 N,方向为北偏东30°,|F2|=4 N,方向为北偏东60°,|F3|=6 N,方向为北偏西30°,这三个力的合力F所做的功为　　　　　J.  【解析】以三个力的作用点为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示. 返回 由已知得F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3), 所以F=F1+F2+F3=(2-2,4+2).又位移s=(4,4), 所以F·s=(2-2)×4+(4+2)×4=24 J. 故这三个力的合力F所做的功为24 J. 答案:24 返回 角度2　速度、位移问题 【典例4】(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同),单位(m/s),则真风为(　　) 返回 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 √ 返回 【解析】选A.由题意及题图得, 视风风速对应的向量为n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1), 由题知视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,船速对应的向量方向和船行风速的向量方向相反,设真风风速对应的向量为n1,船行风速对应的向量为n2, 所以n=n1+n2,船行风速为n2=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3), 所以n1=n-n2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),|n1|==2≈2.828, 所以由题表得,真风为轻风. 返回 【典例5】一条东西方向的河流两岸平行,河宽250 m,河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h,则当小货船的航程最短时,小货船航行的速度大小是　　　　　km/h.  返回 【解析】由题意,当小货船的航程最短时,航行路线为线段AC, 设小货船航行速度为v,水流的速度为v1,水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2,作出示意图: 因为该东西方向的河流两岸平行,河宽250 m,河水的速度为向东2 km/h, 所以AB=250 m,BC=250 m. 在Rt△ABC中,有tan∠BCA===, 所以∠BCA=,∠BAC=,<v1,v2>=+=,所以v=v2-v1, 所以|v|====2, 所以小货船航行速度的大小为2 km/h. 答案:2 返回 【总结升华】 用向量法解决物理中的航行问题 (1)将题中涉及的速度与位移用向量表示,利用向量加法的平行四边形法则对位移和速度进行分解或合成,再结合三角形的相关知识求解; (2)此类问题需要注意航行时间最短与航程最短的不同. 返回 【即学即练】 　长江流域内某段南北两岸平行,如图,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π),若游船要从A点航行到正北方向上位于北岸的码头B点处,则cos θ=　　　　　.  返回 【解析】由题意,游船要从A点航行到正北方向上位于北岸的码头B点处,即航行的方向垂直河岸,由向量加法的几何意义可知(v1+v2)·v2=0, 即v1·v2+=0, 所以10×4×cos θ+16=0,解得cos θ=-. 答案:- 返回 【证明】方法一:因为·=(+)·(+)=-+·+·,而AD⊥AB,AD=AB, 所以·=0, 所以⊥,即DE⊥AF. 方法二:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图平面直角坐标系, 则A(0,0),D(0,a),E(,0),F(a,),所以=(a,),=(,-a). 因为·=-=0,所以⊥,即DE⊥AF. 【即学即练】 1.已知在△ABC中,点M是BC边上靠近点B的四等分点,点N在AB边上,且=,设AM与CN相交于点P.记=m,=n. (1)请用m,n表示向量; (2)若|n|=2|m|,设m,n的夹角为θ,若cos θ=,求证:CN⊥AB. 【解析】(1)=-=n-m,由题意得==(n-m), 所以=+=m+(n-m)=m+n. (2)由题意,=+=-+=m-n. 因为|n|=2|m|,cos θ=, 所以m·n=|m|·|n|·cos θ=|m|2. 所以·=(m-n)·m=m2-n·m=|m|2-|m|2=0,所以⊥,即CN⊥AB. 【证明】方法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1), 则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a, 所以·=(+)·(+) =·+·+·+· =1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+a×a×cos 45°+a×(1-a)×cos 45°=-a+a2+a(1-a)=0. 所以⊥,即DP⊥EF. 所以=(λ,λ-1),=(1-λ,λ). 所以·=λ-λ2+λ2-λ=0, 所以⊥,即DP⊥EF. 【典例2】(1)在△ABC中,AB=3,=,=2,AD与BE的交点为O,若·=-2,则AC的长为 (　　) A.　 B.　 C.2　 D. 【解析】选C.令=λ,λ∈(0,1),由=,=2, 得=+,=,则=λ=+=+, 由B,O,E三点共线,故+=1,即λ=, 即=+,· =(+)·(-) =(||2-||2) =(||2-9)=-2,解得||=2,即AC的长为2. 则E(,0),F(a,),D(0,a),A(0,0),则=(-,a),=(a,),而∠DMF等于与所成的角. 所以cos∠DMF= ==-. 【即学即练】 已知正方形ABCD的面积为16,=,点N在线段CD上.若·=||2,则 ||=　　　　　.  则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),又=,即点M为AB的中点, 则M(2,0).因为点N在线段CD上,设N(t,4),则=(2,0),=(t,4). 则·=||2⇒2t=⇒t=,故||===. $