7.1.1数系得扩充和复数的概念导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.1.1数系得扩充和复数的概念【导学】【解析】 【导学目标】 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i； 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 【导学重点】掌握复数的基本概念及复数相等的充要条件. 【导学难点】复数概念和虚数单位i的的理解和掌握. 【知识要点】 复数的引入 在实数范围内，方程x2＋1＝0无解，为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根， 即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集. 把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位. 复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数（其中a，b∈R，）i叫做虚数单位. a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. (2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a＋bi（其中a，b∈R）. (3)复数集定义：所有的复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 复数的分类及 包含关系 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) (2)集合表示： 复数相等的 充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 即它们的实部与虚部分别对应相等. 【典型例题】 题型一 复数的概念 【例1-1】下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【例1-2】(多选题)下列命题正确的是(　　) A．1＋i2＝0 B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D．两个虚数不能比较大小 【答案】AD 【例1-3】在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 . ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根. 【答案】1 【例1-4】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 【答案】略 【例1-5】当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 【答案】(1)2：(2)；(3)3或4. 题型二 复数的分类 【例2-1】(衔接教材P69L1)当实数m取何值时，复数z＝ (m+1)＋(m－1)i(m∈R).是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 【答案】（1）1；（2）；（3）-1. 【例2-2】设z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R). (1)若z是虚数，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值. 【答案】（1）；；（2）； 【例2-3】实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 【答案】 （1）； （2） ； （3） ； （4） . 题型三 两个复数相等 【例3-1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. 【答案】 【例3-2】(衔接教材P70T3)求满足下列条件的实数的值： ； 【答案】（1）;(2). 【例3-3】已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 【答案】B 【例3-4】已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)实数m=2;(2)实数λ的取值范围[2,6]. ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.1.1数系得扩充和复数的概念【导学】 【导学目标】 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i； 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 【导学重点】掌握复数的基本概念及复数相等的充要条件. 【导学难点】复数概念和虚数单位i的的理解和掌握. 【知识要点】 复数的引入 在实数范围内，方程x2＋1＝0无解，为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根， 即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集. 把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位. 复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数（其中a，b∈R，）i叫做虚数单位. a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. (2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a＋bi（其中a，b∈R）. (3)复数集定义：所有的复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 复数的分类及 包含关系 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) (2)集合表示： 复数相等的 充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 即它们的实部与虚部分别对应相等. 【典型例题】 题型一 复数的概念 【例1-1】下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 【例1-2】(多选题)下列命题正确的是(　　) A．1＋i2＝0 B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D．两个虚数不能比较大小 【例1-3】在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 . ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根. 【例1-4】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 【例1-5】当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 题型二 复数的分类 【例2-1】(衔接教材P69L1)当实数m取何值时，复数z＝ (m+1)＋(m－1)i(m∈R).是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 【例2-2】设z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R). (1)若z是虚数，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值. 【例2-3】实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 题型三 两个复数相等 【例3-1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. 【例3-2】(衔接教材P70T3)求满足下列条件的实数的值： ； 【例3-3】已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 【例3-4】已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $