1.导学案 11 第6章 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.3.5　 平面向量数量积的坐标表示 内容概览 【学习目标】 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个向量的夹角.(数学运算) 2.能用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(数学运算、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、平面向量数量积的坐标表示 条件 向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) 坐标表示 a·b=_________ 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的_________ x1x2+y1y2 乘积的和 返回 二、平面向量性质的坐标表示 1.模长公式: 若a=(x,y),则|a|=; 若a= 且A(x1,y1),B(x2,y2), 则a=(x2-x1,y2-y1), 则|a|=. 返回 2.垂直的充要条件: 设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔___________. 3.夹角公式: 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角, 则cos θ== x1x2+y1y2=0 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.( ) 提示:a⊥b⇔x1x2+y1y2=0,故错误. (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1x2+y1y2>0,则向量a与b的夹角为锐角. ( ) 提示:当a与b的夹角为0时,也满足x1x2+y1y2>0. (3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. ( ) 提示:当x1y2-x2y1=0时,a∥b,向量a与b的夹角为0°或180°,故错误. × × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1平面向量数量积的坐标表示(数学运算) 【典例1】(1)(2025·河池高一检测)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+b)· (a-2b)=(　　) A.-6　 B.-1　 C.2　 D.-2 【解析】选D.因为a=(2,-1),b=(1,-1), 所以a+b=(3,-2),a-2b=(0,1), 所以(a+b)·(a-2b)=3×0-2=-2. √ 返回 √ 返回 【总结升华】 平面向量数量积运算的方法 (1)将各向量用坐标表示,直接计算; (2)利用运算律将原式展开,再根据已知条件计算; (3)对于以图形为背景的数量积问题,首先需要根据图形建立恰当的坐标系. 返回 【即学即练】 1.设a=(2,-1),b=(-3,1),c=(1,-2),则(a+2b)·c=(　　) A.-2　 B.1　 C.-6　 D.-7 【解析】选C.因为a=(2,-1),b=(-3,1),所以a+2b=(-4,1),又c=(1,-2), 所以(a+2b)·c=-4×1+1×(-2)=-6. 2.已知向量a=(1,1),b=(2,0),则(a+b)·(2a-b)=　　　.  【解析】因为a=(1,1),b=(2,0),则a+b=(3,1),2a-b=(0,2),所以(a+b)·(2a-b)=3×0+2×1=2. 答案:2 √ 返回 类型2向量的模(数学运算) 【典例2】(1)(2025·淮安高一检测)|a|=1,|b|=,a+b=(,1),则|a-2b|=(　　) A.　 B.13　 C.　 D.2 【解析】选A.因为|a|=1,|b|=,a+b=(,1), 所以|a+b|=2,又因为(a+b)2=a2+2a·b+b2, 即4=1+2a·b+3,解得a·b=0, 则|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=1+4×3=13, 所以|a-2b|=. √ 返回 (2)已知向量a=(1,0),|b|=,且a⊥(a+b),则|a+2b|=(　　) A.2 B. C. D.3 【解析】选D.因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,即a2+a·b=0,即|a|2+a·b=0, 因为a=(1,0),所以|a|=1,所以a·b=-1, 所以|a+2b|===3. √ 返回 【总结升华】 向量模的坐标运算 (1)方法:求向量a=(x,y)的模一般转化为求模的平方,充分利用|a|2=a2=x2+y2; (2)注意:结果要开方. 返回 【即学即练】 1.设向量m=(-1,2),n=(2,1),则|m-n|=(　　) A. B. C. D.3 【解析】选B.由m=(-1,2),n=(2,1),得m-n=(-3,1),所以|m-n|==. √ 返回 2.已知a=(1,t),b=(t,-6),则|2a+b|的最小值为　　　　.  【解析】|2a+b|=|(2+t,2t-6)| = = =, 对于函数y=5t2-20t+40,对称轴为直线t=2,所以当t=2时,|2a+b|min==2. 答案:2 返回 类型3向量的夹角与垂直(数学运算) 【典例3】(1)(2025·枣庄高一检测)已知a=(2,1),则与a垂直的单位向量可以为(　　) A.(,) B.(-,-) C.(,-) D.(,-) 【解析】选C.设与a垂直的单位向量为b=(x,y),则,解得或. √ 返回 (2)(2025·宣城高一检测)若向量a,b满足a=(1,1),|b|=1,且(a-b)·b=0,则a与b的夹角为(　　) A.30°　 B.45°　 C.60°　 D.120° 【解析】选B.由题意得(a-b)·b=a·b-|b|2=|a||b|cos<a,b>-|b|2=0, 且|a|=,|b|=1,解得cos<a,b>=1,即cos<a,b>=. 又<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为45°. √ 返回 (3)(2025·桐城高一检测)已知a⊥b,|a|=5,|b|=6,且4a+λb与2a-b垂直,则实数λ的值为(　　) A.　 B.-　 C.±　 D. 【解析】选A.因为a⊥b,所以a·b=0,又因为4a+λb与2a-b垂直,则(4a+λb)·(2a-b)=0, 得8a2+(2λ-4)a·b-λb2=0, 即200-36λ=0,解得λ=. √ 返回 【总结升华】 1.利用cos θ==,直接求出cos θ,应注意0°≤θ≤180°,并需要注意当cos θ<0时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为180°;当cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为0°. 2.涉及向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决. 返回 【即学即练】 1.已知向量a=(1,2),b=(4,k),若a与b垂直,则a与a+b夹角的余弦值为(　　) A. B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为a与b垂直,故a·b=1×4+2k=0,解得k=-2,则b=(4,-2), a+b=(5,0),设a与a+b的夹角为θ,则cos θ===. √ 返回 2.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b), 则|a|=　　　　.  【解析】a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+1-2x=0,解得x=1. 则a=(1,1),则|a|=. 答案: 返回 (2)在边长为3的正方形ABCD中,E是BC上靠近B点的三等分点,则·=(　　) A.3　 B.-3　 C.-4　 D.4 【解析】选A.以B为原点建立如图所示平面直角坐标系,E是BC上靠近B点的三等分点,且边长为3,所以A(0,3),E(1,0),C(3,0),D(3,3),所以=(3,-3),=(-2,-3), 所以·=3×(-2)+9=3. $ 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个向量的夹角.(数学运算) 2.能用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(数学运算、逻辑推理) 必备知识·自主导学 一、平面向量数量积的坐标表示 条件 向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) 坐标表示 a·b=x1x2+y1y2 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 二、平面向量性质的坐标表示 1.模长公式: 若a=(x,y),则|a|=; 若a=且A(x1,y1),B(x2,y2), 则a=(x2-x1,y2-y1), 则|a|=. 2.垂直的充要条件: 设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 3.夹角公式: 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cos θ==. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.(×) 提示:a⊥b⇔x1x2+y1y2=0,故错误. (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1x2+y1y2>0,则向量a与b的夹角为锐角. (×) 提示:当a与b的夹角为0时,也满足x1x2+y1y2>0. (3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. (×) 提示:当x1y2-x2y1=0时,a∥b,向量a与b的夹角为0°或180°,故错误. 关键能力·师生共研 类型1平面向量数量积的坐标表示(数学运算) 【典例1】(1)(2025·河池高一检测)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+b)·(a-2b)=(　　) A.-6　 B.-1　 C.2　 D.-2 【解析】选D.因为a=(2,-1),b=(1,-1), 所以a+b=(3,-2),a-2b=(0,1), 所以(a+b)·(a-2b)=3×0-2=-2. (2)在边长为3的正方形ABCD中,E是BC上靠近B点的三等分点,则·=(　　) A.3　 B.-3　 C.-4　 D.4 【解析】选A.以B为原点建立如图所示平面直角坐标系,E是BC上靠近B点的三等分点,且边长为3,所以A(0,3),E(1,0),C(3,0),D(3,3),所以=(3,-3),=(-2,-3), 所以·=3×(-2)+9=3. 【总结升华】 平面向量数量积运算的方法 (1)将各向量用坐标表示,直接计算; (2)利用运算律将原式展开,再根据已知条件计算; (3)对于以图形为背景的数量积问题,首先需要根据图形建立恰当的坐标系. 【即学即练】 1.设a=(2,-1),b=(-3,1),c=(1,-2),则(a+2b)·c=(　　) A.-2　 B.1　 C.-6　 D.-7 【解析】选C.因为a=(2,-1),b=(-3,1),所以a+2b=(-4,1),又c=(1,-2), 所以(a+2b)·c=-4×1+1×(-2)=-6. 2.已知向量a=(1,1),b=(2,0),则(a+b)·(2a-b)=　　　.  【解析】因为a=(1,1),b=(2,0),则a+b=(3,1),2a-b=(0,2),所以(a+b)·(2a-b)=3×0+2×1=2. 答案:2 类型2向量的模(数学运算) 【典例2】(1)(2025·淮安高一检测)|a|=1,|b|=,a+b=(,1),则|a-2b|=(　　) A.　 B.13　 C.　 D.2 【解析】选A.因为|a|=1,|b|=,a+b=(,1), 所以|a+b|=2,又因为(a+b)2=a2+2a·b+b2, 即4=1+2a·b+3,解得a·b=0, 则|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=1+4×3=13, 所以|a-2b|=. (2)已知向量a=(1,0),|b|=,且a⊥(a+b),则|a+2b|=(　　) A.2 B. C. D.3 【解析】选D.因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,即a2+a·b=0,即|a|2+a·b=0, 因为a=(1,0),所以|a|=1,所以a·b=-1, 所以|a+2b|===3. 【总结升华】 向量模的坐标运算 (1)方法:求向量a=(x,y)的模一般转化为求模的平方,充分利用|a|2=a2=x2+y2; (2)注意:结果要开方. 【即学即练】 1.设向量m=(-1,2),n=(2,1),则|m-n|=(　　) A. B. C. D.3 【解析】选B.由m=(-1,2),n=(2,1),得m-n=(-3,1),所以|m-n|==. 2.已知a=(1,t),b=(t,-6),则|2a+b|的最小值为　　　　.  【解析】|2a+b|=|(2+t,2t-6)| = = =, 对于函数y=5t2-20t+40,对称轴为直线t=2,所以当t=2时,|2a+b|min==2. 答案:2 类型3向量的夹角与垂直(数学运算) 【典例3】(1)(2025·枣庄高一检测)已知a=(2,1),则与a垂直的单位向量可以为(　　) A.(,)　 B.(-,-) C.(,-)　 D.(,-) 【解析】选C.设与a垂直的单位向量为b=(x,y),则,解得或. (2)(2025·宣城高一检测)若向量a,b满足a=(1,1),|b|=1,且(a-b)·b=0,则a与b的夹角为(　　) A.30°　 B.45°　 C.60°　 D.120° 【解析】选B.由题意得(a-b)·b=a·b-|b|2=|a||b|cos<a,b>-|b|2=0,且|a|=,|b|=1,解得cos<a,b>=1,即cos<a,b>=. 又<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为45°. (3)(2025·桐城高一检测)已知a⊥b,|a|=5,|b|=6,且4a+λb与2a-b垂直,则实数λ的值为(　　) A.　 B.-　 C.±　 D. 【解析】选A.因为a⊥b,所以a·b=0,又因为4a+λb与2a-b垂直,则(4a+λb)·(2a-b)=0, 得8a2+(2λ-4)a·b-λb2=0, 即200-36λ=0,解得λ=. 【总结升华】 1.利用cos θ==,直接求出cos θ,应注意0°≤θ≤180°,并需要注意当cos θ<0时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为180°;当cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为0°. 2.涉及向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决. 【即学即练】 1.已知向量a=(1,2),b=(4,k),若a与b垂直,则a与a+b夹角的余弦值为(　　) A. B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为a与b垂直,故a·b=1×4+2k=0,解得k=-2,则b=(4,-2), a+b=(5,0),设a与a+b的夹角为θ,则cos θ===. 2.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  【解析】a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+1-2x=0,解得x=1. 则a=(1,1),则|a|=. 答案: - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $