1.导学案 12 第6章 专题突破课一 平面向量中的最值与范围问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破课一　平面向量中的最值与范围问题 　　平面向量中的最值和范围问题是高考的热点问题,常见题型有根据已知条件求向量数量积、模、夹角、参数的范围与最值问题等,解题思路是建立目标对象的表达式,利用函数(二次函数、三角函数)、基本不等式进行求解,同时向量还兼顾“数”与“形”的双重身份.因此,还可以从数形结合的角度,应用图形的几何特征求解.常见以下四种类型的题目:(1)线性运算中的最值与范围问题;(2)数量积的最值问题;(3)模的最值问题;(4)夹角的最值问题. 类型1线性运算中的最值与范围问题 【典例1】已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若=x+y,则+的最小值为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.9 【解析】选C.因为=x+y=x+2y,又点B,E和D三点共线,所以x+2y=1,其中x,y>0, 所以+=(x+2y)(+)≥4+2=8, 当且仅当x=,y=时取等号,故+的最小值为8. 【总结升华】 线性运算中的最值与范围问题的解法 (1)利用向量的线性运算、平面向量基本定理和共线向量定理,建立参数的等量关系; (2)通过消元法构造所求最值的量的函数,利用函数性质求解,或构造基本不等式的结构形式,利用基本不等式求解. 【即学即练】 已知△ABC,点D满足=,点E为线段CD上异于C,D的动点,若=λ+μ,则λ2+μ2的取值范围是　　　　.  【解析】由题意设=m,m∈(0,1), 因为=, 所以==(-), 所以=+=+(-) =(1+)-, 又=λ+μ,则, 所以λ2+μ2=(λ+μ)2-2λμ=1+m+m2=[-]+1, 又因为m∈(0,1),由二次函数的性质得y=[-]+1∈(1,), 所以λ2+μ2的取值范围为(1,). 答案:(1,) 类型2数量积的最值与范围问题 【典例2】(2025·合肥高一检测)如图,某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD市民健身用地,为提高安全性,拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中P,Q分别在边BC,CD上),则·的取值范围为　　　　.  【解析】设∠PAB=θ,tan θ=t,则BP=2tan θ=2t, DQ=2tan (-θ)==,t∈[0,1]. 以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系, 则A(0,0),P(2,2t),Q(,2), =(2,2t),=(,2), 所以·=+4t=4(t+1+-2). 令u=t+1,u∈[1,2],则 ·=4(u+-2),u∈[1,2]. 由函数f(u)=u+在[1,)上单调递减,在(,2]上单调递增,所以f(u)min=f()=2. 又f(1)=3,f(2)=3,所以f(u)=u+在u∈[1,2]上的值域为[2,3], 所以·=4(u+-2)∈[8-8,4]. 答案:[8-8,4] 【总结升华】 向量数量积的最值与范围问题的解法 (1)“数化”:建立适当的坐标系,将平面向量数量积的运算坐标化,运用二次函数、三角函数或基本不等式求解; (2)“形化”:用基底表示向量,根据向量的运算律化简目标,再结合向量数量积的几何意义求解. 【即学即练】 (一题多解)(2025·哈尔滨高一检测)已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=2,AD=4,点P在线段BC上,则·的最小值为　　　　　.  【解析】方法一:如图,由题意以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,4),C(1,4), 设线段BC所在直线构成的一次函数为y=kx+b,代入B(2,0),C(1,4), 得,得,即y=8-4x. 因为点P在线段BC上,所以设P(x,8-4x),其中1≤x≤2, 则=(-x,4x-8),=(2-x,4x-8), ·=-x(2-x)+(4x-8)2=17x2-66x+64, 因为1≤x≤2,所以当x=时取最小值为-. 方法二:取AB中点为M, 则2=+①, 2=-②, 由①2-②2得·=-, 因为||=1,所以·=-1. 又因为P为线段BC上的动点, 所以||的最小值是过M作PB的垂线MH的长, 在Rt△CMB中,由MH·CB=CM·MB,且CB=,CM=4,MB=1, 故MH==,则(·)min=-1=-. 答案:- 类型3向量模的最值与范围问题 【典例3】(1)(一题多解)(2025·泰州高一月考)在平行四边形ABCD中,A=45°,AB=1,AD=,若=+x(x∈R),则||的最小值为(　　) A. B. C.1 D. 【解析】选B.方法一:由=+x可得||2==||2+x2||2+2x·=1+2x2+2x×1×cos 45°=2x2+2x+1=2+,故当x=-时,|=,即||的最小值为. 方法二:由=+x得=x(x∈R), 所以与共线,故P的轨迹是直线BC. 则||的最小值即过A作直线BC的垂线段AH(垂足为H)的长度, 在Rt△ABH中,AH=,所以||的最小值为. (2)在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是(　　) A.　 B.4　 C.　 D.6 【解析】选D.如图所示,以B为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系. 设||=d,||=p, 则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)(0≤p≤2d), 所以=(2d-p,0),=(d-p,2). 所以+3=(5d-4p,6), 所以|+3|=≥6(当且仅当5d=4p时等号成立). 所以|+3|的最小值是6. 【总结升华】 关于向量模的最值问题 (1)根据平面向量的绝对值三角不等式,取等时取到最值; (2)建系,将向量的模用坐标表示,利用函数或不等式的思想求解. 【即学即练】 1.已知e为单位向量,向量a满足a·e=2,|a-λe|=1,则|a|的最大值为(　　) A.1　　 B.2　　C.　　D.4 【解析】选C.依题意设e=(1,0),a=(x,y),由a·e=2,所以x=2,则a=(2,y), 又a-λe=(2,y)-(λ,0)=(2-λ,y),且|a-λe|=1, 所以=1,即y2=1-(2-λ)2,所以|a|==≤,当且仅当λ=2时取等号,即|a|的最大值为. 2.已知向量a,b,c满足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,则|b+c|的最小值为(　　) A.1　 B. C.2　 D.4 【解析】选C.在平面直角坐标系xOy中,设a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2), 因为a·b=x1=1,a·c=x2=-1,b·c=x1x2+y1y2=y1y2-1=0, 所以|b+c|==|y1+y2|=|y1+|=|y1|+≥2=2, 当且仅当y1=±1时,等号成立.因此,|b+c|的最小值为2. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $专题突破课一 平面向量中的最值与范围问题 　　平面向量中的最值和范围问题是高考的热点问题,常见题型有根据已知条件求向量数量积、模、夹角、参数的范围与最值问题等,解题思路是建立目标对象的表达式,利用函数(二次函数、三角函数)、基本不等式进行求解,同时向量还兼顾“数”与“形”的双重身份.因此,还可以从数形结合的角度,应用图形的几何特征求解.常见以下四种类型的题目:(1)线性运算中的最值与范围问题;(2)数量积的最值问题;(3)模的最值问题;(4)夹角的最值问题. 返回 类型1线性运算中的最值与范围问题 √ 返回 【总结升华】 线性运算中的最值与范围问题的解法 (1)利用向量的线性运算、平面向量基本定理和共线向量定理,建立参数的等量关系; (2)通过消元法构造所求最值的量的函数,利用函数性质求解,或构造基本不等式的结构形式,利用基本不等式求解. 返回 【即学即练】 返回 返回 类型2数量积的最值与范围问题 返回 返回 【总结升华】 向量数量积的最值与范围问题的解法 (1)“数化”:建立适当的坐标系,将平面向量数量积的运算坐标化,运用二次函数、三角函数或基本不等式求解; (2)“形化”:用基底表示向量,根据向量的运算律化简目标,再结合向量数量积的几何意义求解. 返回 返回 返回 返回 类型3向量模的最值与范围问题 √ 返回 返回 √ 返回 返回 【总结升华】 关于向量模的最值问题 (1)根据平面向量的绝对值三角不等式,取等时取到最值; (2)建系,将向量的模用坐标表示,利用函数或不等式的思想求解. 返回 【即学即练】 1.已知e为单位向量,向量a满足a·e=2,|a-λe|=1,则|a|的最大值为(　　) A.1　　 B.2　　C.　　D.4 【解析】选C.依题意设e=(1,0),a=(x,y),由a·e=2,所以x=2,则a=(2,y), 又a-λe=(2,y)-(λ,0)=(2-λ,y),且|a-λe|=1, 所以=1,即y2=1-(2-λ)2,所以|a|==≤,当且仅当λ=2时取等号,即|a|的最大值为. √ 返回 2.已知向量a,b,c满足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,则|b+c|的最小值为(　　) A.1　 B. C.2　 D.4 【解析】选C.在平面直角坐标系xOy中,设a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2), 因为a·b=x1=1,a·c=x2=-1,b·c=x1x2+y1y2=y1y2-1=0, 所以|b+c|==|y1+y2|=|y1+|=|y1|+≥2=2, 当且仅当y1=±1时,等号成立.因此,|b+c|的最小值为2. √ 返回 【典例1】已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若=x+y,则+的最小值为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.9 【解析】选C.因为=x+y=x+2y,又点B,E和D三点共线,所以x+2y=1,其中x,y>0, 所以+=(x+2y)(+)≥4+2=8, 当且仅当x=,y=时取等号,故+的最小值为8. 已知△ABC,点D满足=,点E为线段CD上异于C,D的动点,若=λ+μ,则λ2+μ2的取值范围是　　　　.  【解析】由题意设=m,m∈(0,1), 因为=, 所以==(-), 所以=+=+(-) =(1+)-, 又=λ+μ,则, 所以λ2+μ2=(λ+μ)2-2λμ=1+m+m2=[-]+1, 又因为m∈(0,1),由二次函数的性质得y=[-]+1∈(1,), 所以λ2+μ2的取值范围为(1,). 答案:(1,) 【典例2】(2025·合肥高一检测)如图,某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD市民健身用地,为提高安全性,拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中P,Q分别在边BC,CD上),则·的取值范围为　　　　.  【解析】设∠PAB=θ,tan θ=t,则BP=2tan θ=2t, DQ=2tan (-θ)==,t∈[0,1]. 以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系, 则A(0,0),P(2,2t),Q(,2), =(2,2t),=(,2), 所以·=+4t=4(t+1+-2). 令u=t+1,u∈[1,2],则 ·=4(u+-2),u∈[1,2]. 由函数f(u)=u+在[1,)上单调递减,在(,2]上单调递增,所以f(u)min=f()=2. 又f(1)=3,f(2)=3,所以f(u)=u+在u∈[1,2]上的值域为[2,3], 所以·=4(u+-2)∈[8-8,4]. 答案:[8-8,4] 【即学即练】 (一题多解)(2025·哈尔滨高一检测)已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD, AB=2CD=2,AD=4,点P在线段BC上,则·的最小值为　　　　　.  【解析】方法一:如图,由题意以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,4),C(1,4), 设线段BC所在直线构成的一次函数为y=kx+b,代入B(2,0),C(1,4), 得,得,即y=8-4x. 因为点P在线段BC上,所以设P(x,8-4x),其中1≤x≤2, 则=(-x,4x-8),=(2-x,4x-8), ·=-x(2-x)+(4x-8)2=17x2-66x+64, 因为1≤x≤2,所以当x=时取最小值为-. 方法二:取AB中点为M, 则2=+①, 2=-②, 由①2-②2得·=-, 因为||=1,所以·=-1. 又因为P为线段BC上的动点, 所以||的最小值是过M作PB的垂线MH的长, 在Rt△CMB中,由MH·CB=CM·MB,且CB=,CM=4,MB=1, 故MH==,则(·)min=-1=-. 答案:- 【典例3】(1)(一题多解)(2025·泰州高一月考)在平行四边形ABCD中,A=45°,AB=1,AD=,若=+x(x∈R),则||的最小值为(　　) A. B. C.1 D. 【解析】选B.方法一:由=+x可得||2==||2+x2||2+2x·=1+2x2+2x×1×cos 45°=2x2+2x+1=2+,故当x=-时,|=,即||的最小值为. 方法二:由=+x得=x(x∈R), 所以与共线,故P的轨迹是直线BC. 则||的最小值即过A作直线BC的垂线段AH(垂足为H)的长度, 在Rt△ABH中,AH=,所以||的最小值为. (2)在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是(　　) A.　 B.4　 C.　 D.6 【解析】选D.如图所示,以B为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系. 设||=d,||=p, 则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)(0≤p≤2d), 所以=(2d-p,0),=(d-p,2). 所以+3=(5d-4p,6), 所以|+3|=≥6(当且仅当5d=4p时等号成立). 所以|+3|的最小值是6. $