1.导学案 17 第6章 6.4.3 第3课时 利用正、余弦定理解三角形(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第3课时　利用正、余弦定理解三角形 【学习目标】 1.理解三角形面积公式的推导过程,掌握三角形的面积公式.(逻辑推理、数学运算) 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.(逻辑推理、数学运算) 关键能力·师生共研 类型1三角形面积与正、余弦定理的综合问题(数学运算) 【典例1】(2025·青岛高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acos C+asin C=b+c. (1)求角A的大小; (2)若△ABC的面积为10,内切圆的半径为1,求a; (3)若∠BAC的平分线交BC于D,且AD=4,求△ABC面积的最小值. 【解析】(1)由正弦定理边角互化可得:acos C+asin C=b+c⇒sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin C, 又sin B=sin(A+C),则sin Acos C+sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 从而sin Asin C=cos Asin C+sin C,结合sin C>0, 则sin A-cos A=1⇒2sin(A-)=1⇒A-=或A-=(舍去). 故A=. (2)因为△ABC的面积为S=10,内切圆的半径为r=1. 则S=(a+b+c)r=10⇒a+b+c=20,则b+c=20-a. 又由(1)得,S=bcsin A=bc=10⇒bc=. 由余弦定理得:cos A====. 化简后可得:=⇒80a=800-80⇒a=10-. (3)如图,过D点作AB,AC的垂线,垂足分别为E,F. 由(1)可得∠BAC=,则∠BAD=∠CAD=, 又由角平分线的性质可得DE=DF=ADsin =2,AE=AF=ADcos =2, 又∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=2π,∠AED=∠DFA=, 所以∠EDF=⇒∠EDB+FDC=,设∠EDB=θ,则∠FDC=-θ. 又DE=DF=2,则BE=2tan θ,FC=2tan(-θ),其中θ∈(0,). 故△ABC面积为S=AB·ACsin A= (2+2tan θ)[2+2tan(-θ)]=(+tan θ)[+tan(-θ)]=[3+tan θ+tan(-θ)+tan θtan(-θ)]. 因为tan θ+tan(-θ)=tan [1-tan θtan(-θ)]=-tan θtan(-θ), 所以S=[6-2tan θtan(-θ)].要使S最小,则需使tan θtan(-θ)最大. 因为tan θ>0,tan(-θ)>0,所以由基本不等式取等条件可得, 要使tan θtan(-θ)最大,需满足tan θ=tan(-θ)⇒θ=,tan θtan(-θ)≤. 则S=[6-2tan θtan(-θ)]≥×(6-)=,此时θ=,即△ABC为等边三角形. 【总结升华】 (1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【即学即练】 (2025·六安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=,c=2,cos C=-. (1)求sin B和a的值; (2)求△ABC的面积. 【解析】(1)在△ABC中,由cos C=-, 可得sin C==. 又由=及b=,c=2,可得sin B=. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 得3a2+2a-6=0,由a>0,解得a=. 所以sin B=,a=. (2)由(1)知,a=,sin C=, 所以S△ABC=absin C==. 类型2正、余弦定理的综合问题(数学运算) 【典例2】(2025·莆田高一检测)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)证明:c=acos B+bcos A; (2)若a=5,B=,c=+7cos A,求c. 【解析】(1)由余弦定理即得 c==+=a·+b·=acos B+bcos A. (2)由已知有7cos A=c-=c-5cos =c-acos B=bcos A,故(b-7)cos A=0. 若cos A=0,则c=+7cos A=; 若b=7,则=cos B==,解得c=8或c=-3(舍去). 所以c=或c=8. 【总结升华】 关于正弦、余弦定理的综合应用 (1)此类题目往往同时用到两个定理,因此要综合分析已知条件,确定应用正弦定理、余弦定理的顺序,先求出中间条件,再得出最后结论; (2)在平面几何中求边、求角,通常需要先找到所求边、角所在的三角形,然后在三角形中借助正弦、余弦定理进行求解. 【即学即练】 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-asin C=bsin B. (1)求B的大小; (2)若A=75°,b=2,求a,c的值. 【解析】(1)由正弦定理,得a2+c2-ac=b2,即a2+c2-b2=ac. 由余弦定理,得cos B==. 又0°<B<180°,因此B=45°. (2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=. 故由正弦定理,得a=b·=1+. 由已知得,C=180°-45°-75°=60°, 故c=b·=2×=. 类型3正、余弦定理在平面几何中的应用(直观想象、数学运算) 【典例3】(2025·商丘高一检测)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=,cos A=,cos∠ADB=. (1)求cos∠BDC及AD的长度; (2)求BC的长度. 【解析】(1)因为AB∥CD,AB=2,cos∠ADB=,cos A=, 所以sin A==,sin∠ADB==, 由于∠A+∠ADB+∠ABD=π,又AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC, 所以∠BDC=π-(∠A+∠ADB), 则cos∠BDC=cos [π-(∠A+∠ADB)] =-cos(∠A+∠ADB) =-cos Acos∠ADB+sin Asin∠ADB =-+=, 所以cos∠BDC=cos∠ABD=, 所以sin∠ABD==. 在△ADB中,由正弦定理得=,所以=,所以AD=5. (2)在△ABD中,由正弦定理得=,可得=,解得BD=3. 由于cos∠BDC=,CD=, 在△BCD中,由余弦定理可得BC= ==. 【总结升华】 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具,因此在面对几何图形时,关键是寻找相应的三角形,并在三角形中运用正、余弦定理,特别是涉及公共边时,要利用公共边来进行过渡,即利用公共边创造互补或互余关系列式,其本质是构建关于角的关系的方程. 【即学即练】 　(2025·滁州高一检测)已知△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是边AC上一点,∠BDC=,a=3,a2+ab-c2+b2=0. (1)求角C; (2)求BD的长度. 【解析】(1)因为a2+ab-c2+b2=0, 所以a2+b2-c2=-ab, 所以由余弦定理得cos C===-,因为C∈(0,π),所以C=. (2)在△BDC中,BC=3,C=,∠BDC=, 所以由正弦定理得=⇒=,所以BD=3×,得BD=. 【教材深一度】 海伦公式 链接教材:P54习题6.4T20 　已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则△ABC的面积: S△ABC=, 其中p为△ABC周长的一半,即p=(a+b+c). 【典例4】中国南宋的数学家秦九韶曾提出“三斜求积”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,此公式与海伦公式S=(p=(a+b+c))完全等价,现有一个三角形的边长满足a+b=8,c=6,则此三角形面积的最大值为 (　　) A.3　 B.8　 C.4　 D.9 【解析】选A.依题意可得p=(a+b+c)=×(8+6)=7,所以由海伦公式可得 S= = = = =, 因为,即,所以1<a<7, 所以当a=4时,S取得最大值,最大值为3. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 关键能力•师生共研 第3课时　利用正、余弦定理解三角形 内容概览 【学习目标】 1.理解三角形面积公式的推导过程,掌握三角形的面积公式.(逻辑推理、数学运算) 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.(逻辑推理、数学运算) 返回 01 关键能力•师生共研 返回 类型1 三角形面积与正、余弦定理的综合问题(数学运算) 【典例1】(2025·青岛高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acos C+asin C=b+c. (1)求角A的大小; (2)若△ABC的面积为10,内切圆的半径为1,求a; (3)若∠BAC的平分线交BC于D,且AD=4,求△ABC面积的最小值. 返回 【解析】(1)由正弦定理边角互化可得:acos C+asin C=b+c⇒sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin C, 又sin B=sin(A+C),则sin Acos C+sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 从而sin Asin C=cos Asin C+sin C,结合sin C>0, 则sin A-cos A=1⇒2sin(A-)=1⇒A-=或A-=(舍去). 故A=. 返回 (2)因为△ABC的面积为S=10,内切圆的半径为r=1. 则S=(a+b+c)r=10⇒a+b+c=20,则b+c=20-a. 又由(1)得,S=bcsin A=bc=10⇒bc=. 由余弦定理得:cos A====. 化简后可得:=⇒80a=800-80⇒a=10-. 返回 (3)如图,过D点作AB,AC的垂线,垂足分别为E,F. 由(1)可得∠BAC=,则∠BAD=∠CAD=, 又由角平分线的性质可得DE=DF=ADsin =2,AE=AF=ADcos =2, 又∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=2π,∠AED=∠DFA=, 所以∠EDF=⇒∠EDB+FDC=,设∠EDB=θ,则∠FDC=-θ. 又DE=DF=2,则BE=2tan θ,FC=2tan(-θ),其中θ∈(0,). 故△ABC面积为S=AB·ACsin A= (2+2tan θ)[2+2tan(-θ)]=(+tan θ)[+tan(-θ)]=[3+tan θ+ tan(-θ)+tan θtan(-θ)]. 返回 因为tan θ+tan(-θ)=tan [1-tan θtan(-θ)]=-tan θtan(-θ), 所以S=[6-2tan θtan(-θ)].要使S最小,则需使tan θtan(-θ)最大. 因为tan θ>0,tan(-θ)>0,所以由基本不等式取等条件可得, 要使tan θtan(-θ)最大,需满足tan θ=tan(-θ)⇒θ=,tan θtan(-θ)≤. 则S=[6-2tan θtan(-θ)]≥×(6-)=,此时θ=,即△ABC为等边三角形. 返回 【总结升华】 (1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 返回 【即学即练】 (2025·六安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=,c=2,cos C=-. (1)求sin B和a的值; (2)求△ABC的面积. 【解析】(1)在△ABC中,由cos C=-, 可得sin C==. 又由=及b=,c=2,可得sin B=. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 得3a2+2a-6=0,由a>0,解得a=. 所以sin B=,a=. 返回 (2)由(1)知,a=,sin C=, 所以S△ABC=absin C==. 返回 类型2 正、余弦定理的综合问题(数学运算) 【典例2】(2025·莆田高一检测)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)证明:c=acos B+bcos A; (2)若a=5,B=,c=+7cos A,求c. 【解析】(1)由余弦定理即得 c==+=a·+b·=acos B+bcos A. (2)由已知有7cos A=c-=c-5cos =c-acos B=bcos A,故(b-7)cos A=0. 若cos A=0,则c=+7cos A=; 若b=7,则=cos B==,解得c=8或c=-3(舍去). 所以c=或c=8. 返回 【总结升华】 关于正弦、余弦定理的综合应用 (1)此类题目往往同时用到两个定理,因此要综合分析已知条件,确定应用正弦定理、余弦定理的顺序,先求出中间条件,再得出最后结论; (2)在平面几何中求边、求角,通常需要先找到所求边、角所在的三角形,然后在三角形中借助正弦、余弦定理进行求解. 返回 【即学即练】 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-asin C=bsin B. (1)求B的大小; (2)若A=75°,b=2,求a,c的值. 【解析】(1)由正弦定理,得a2+c2-ac=b2,即a2+c2-b2=ac. 由余弦定理,得cos B==. 又0°<B<180°,因此B=45°. 返回 (2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=. 故由正弦定理,得a=b·=1+. 由已知得,C=180°-45°-75°=60°, 故c=b·=2×=. 返回 类型3 正、余弦定理在平面几何中的应用(直观想象、数学运算) 【典例3】(2025·商丘高一检测)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD, AB=2,CD=,cos A=,cos∠ADB=. (1)求cos∠BDC及AD的长度; (2)求BC的长度. 返回 【解析】(1)因为AB∥CD,AB=2,cos∠ADB=,cos A=, 所以sin A==,sin∠ADB==, 由于∠A+∠ADB+∠ABD=π,又AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC, 所以∠BDC=π-(∠A+∠ADB), 则cos∠BDC=cos [π-(∠A+∠ADB)] =-cos(∠A+∠ADB) =-cos Acos∠ADB+sin Asin∠ADB =-+=, 所以cos∠BDC=cos∠ABD=, 所以sin∠ABD==. 在△ADB中,由正弦定理得=,所以=,所以AD=5. 返回 (2)在△ABD中,由正弦定理得=,可得=,解得BD=3. 由于cos∠BDC=,CD=, 在△BCD中,由余弦定理可得BC= ==. 返回 【总结升华】 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具,因此在面对几何图形时,关键是寻找相应的三角形,并在三角形中运用正、余弦定理,特别是涉及公共边时,要利用公共边来进行过渡,即利用公共边创造互补或互余关系列式,其本质是构建关于角的关系的方程. 返回 【即学即练】 　(2025·滁州高一检测)已知△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是边AC上一点,∠BDC=,a=3,a2+ab-c2+b2=0. (1)求角C; (2)求BD的长度. 【解析】(1)因为a2+ab-c2+b2=0, 所以a2+b2-c2=-ab, 所以由余弦定理得cos C===-,因为C∈(0,π),所以C=. (2)在△BDC中,BC=3,C=,∠BDC=, 所以由正弦定理得=⇒=,所以BD=3×,得BD=. 返回 【教材深一度】 海伦公式 链接教材:P54习题6.4T20 　已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则△ABC的面积: S△ABC=, 其中p为△ABC周长的一半,即p=(a+b+c). 返回 【典例4】中国南宋的数学家秦九韶曾提出“三斜求积”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,此公式与海伦公式 S=(p=(a+b+c))完全等价,现有一个三角形的边长满足a+b=8,c=6,则此三角形面积的最大值为(　　) A.3　 B.8　 C.4　 D.9 √ 返回 【解析】选A.依题意可得p=(a+b+c)=×(8+6)=7,所以由海伦公式可得 S= = = = =, 因为,即,所以1<a<7, 所以当a=4时,S取得最大值,最大值为3. 返回 $