1.导学案 10 第6章 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(数学抽象) 2.理解平面向量共线的坐标表示.(逻辑推理) 3.能利用平面向量共线的坐标关系求解向量的共线问题.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、数乘运算的坐标表示 1.符号表示:已知a=(x,y),则λa=(λx,λy). 2.文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 【结论】与向量a=(x,y)共线的单位向量为±=(±,±). 二、平面向量共线的坐标表示 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb. 2.如果用坐标表示,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(1,2),则b=2a=(2,4).(√) 提示:由向量的数乘的坐标运算知正确. (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=.(×) 提示:当y1=0或y2=0时,=无意义. (3)与向量a=(1,-2)共线的向量是b=(3,-6).(×) 提示:与向量a=(1,-2)共线的向量有无数个,向量b=(3,-6)只是其中的一个. (4)若a=(2,3),b=(4,6),则向量a与b方向相同.(√) 提示:由向量a与b的坐标,易知b=2a,所以向量a与b方向相同. 关键能力·师生共研 类型1平面向量数乘的坐标运算(数学运算) 【典例1】(1)(2025·东莞高一检测)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=(　　) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(-1,0) D.(-1,2) 【解析】选D.因为平面向量a=(1,1),b=(1,-1),所以a=(,),b=(,-), 则a-b=(-1,2). (2)已知点A(2,2),B(-2,10),点C满足=2,则C的坐标为(　　) A.(4,-2) B.(0,6) C.(-4,14) D.(-6,18) 【解析】选A.因为点A(2,2),B(-2,10), 所以=(4,-8),所以=(2,-4), 设C(x,y),则=(x-2,y-2), 所以,解得, 所以C(4,-2). (3)(2025·昆明高一检测)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则n-m=　　　　.  【解析】因为向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),且p=ma+nb, 所以,解得 所以n-m=3. 答案:3 【总结升华】 向量数乘坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接利用向量数乘的坐标运算法则计算; (2)若已知表示向量的有向线段的端点坐标,则可先求出向量的坐标,再利用数乘向量的坐标运算法则计算. 类型2向量共线的判定(逻辑推理) 【典例2】已知向量e1,e2是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2,则(　　) A.A,B,C三点共线　 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线　 D.B,C,D三点共线 【解析】选C.因为向量e1,e2是与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,又=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2, 所以=(1,2),=(-3,2),=(3,-6), A项:因为1×2-(-3)×2=2+6=8≠0,所以与不共线,所以A,B,C三点不共线,故A错误. 因为1×(-6)-3×2=-12≠0,所以与不共线,所以A,B,D三点不共线,故B错误. =+=(-2,4),因为-2×(-6)-3×4=0,所以∥,所以A,C,D三点共线,故C正确. =+=(4,-4),因为-3×(-4)-4×2=4≠0,所以与不共线,所以B,C,D三点不共线,故D错误. 【总结升华】 1.向量共线的判定方法 (1)利用共线向量定理,由a=λb(b≠0)⇒a∥b; (2)利用共线向量坐标表达式x1y2-x2y1=0直接证明. 2.点共线问题的证明方法 (1)由点的坐标得到相应向量的坐标; (2)根据坐标关系判断向量是否共线; (3)结合是否有公共点,判断三点是否共线. 【即学即练】 (多选)(2025·邵阳高一检测)下列各组向量中,可以作为一个基底的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(1,1),e2=(1,-1) 【解析】选BD.对于A,因为e1=(0,0)为零向量,所以不能作为基底,A错误; 对于B,因为-1×7-2×5≠0,所以e1,e2不共线,可以作为一个基底,B正确; 对于C,因为e1=e2,所以e1,e2共线,不能作为一个基底,C错误; 对于D,因为1×(-1)-1×1≠0,所以e1,e2不共线,可以作为一个基底,D正确. 类型3由向量共线求参数的值(数学运算) 【典例3】(1)(2025·保定高一检测)已知向量=(-2,-5),=(-6,3),=(m-1,2m),若∥,则实数m的值为(　　) A.2 B. C.-2 D.- 【解析】选B.由题意可得,=-=(-4,8),且=(m-1,2m), 由∥可得-4×2m-8(m-1)=0,解得m=. (2)(2025·厦门高一检测)向量a=(2,-4),b=(-1,x),若a∥b,则x=　　　　.  【解析】a=(2,-4),b=(-1,x),且a∥b,则2x-(-4)×(-1)=0,解得x=2. 答案:2 【即学即练】 1.已知A(2,1),B(m,4),=(3,1),若A,B,C三点共线,则m=(　　) A.11　 B.9　 C.7　 D.6 【解析】选A.由题意=(m-2,3)与=(3,1)共线,所以m-2=3×3,解得m=11. 2.(2025·安庆高一检测)已知向量a=(-4,2),b=(6,λ),若a∥b,则λ=　　　　.  【解析】因为a∥b,且a=(-4,2),b=(6,λ),所以2×6-(-4)λ=0,解得λ=-3. 答案:-3 【教材深一度】 定比分点坐标公式 链接教材:P32例9 1.线段定比分点的定义 (1)如图,设P1,P2是直线l上两点,点P是l上不同于P1,P2的任意一点,则存在一个实数λ(λ≠-1),使=λ,λ叫作点P分线段P1P2所成的比,点P叫作线段P1P2以定比为λ的定比分点. (2)点P的位置与λ的范围的关系 ①当λ>0时,与同向共线,这时称点P为的内分点; ②当λ<0(λ≠-1)时,与反向共线,这时称点P为的外分点. 2.定比分点的坐标表示 设O为坐标原点,若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),=λ(λ≠-1),则=+,所以(这个公式叫作线段定比分点的坐标公式),故点P(,). 特别地,当λ=1时,点P为P1P2的中点,点P的坐标为(,). 【典例4】(1)已知P1(3,2),P2(9,11),点P(5,y)分所成的比为λ,则y与λ的值分别为(　　) A.y=8,λ=2 B.y=,λ= C.y=,λ= D.y=5,λ= 【解析】选D.因为P1(3,2),P2(9,11),P(5,y),所以=(2,y-2),=(4,11-y), 因为P分所成的比为λ,所以=λ,即(2,y-2)=λ(4,11-y)=(4λ,11λ-λy), 所以,解得. (2)(一题多变) [母题]已知点A(2,3),B(3,0),点P在线段AB上,且||=3||,则点P的坐标是(　　) A.(,) B.(,) C.(-,) D.(-,-) 【解析】选B.由点P在线段AB上,且||=3||知=3, 设P点坐标为(x,y),则(x-2,y-3)=3(3-x,-y),即解得 即P点坐标为(,). [变式1]已知点A(2,3),B(3,0),点P在线段AB延长线上,且||=3||,则点P的坐标是 (　　) A.(,-)　 B.(,) C.(-,)　 D.(-,-) 【解析】选A.由点P在线段AB延长线上, 且||=3||知=-3, 设P点坐标为(x,y),则(x-2,y-3)=-3(3-x,-y),即 解得即P点坐标为(,-). [变式2]已知点A(2,3),B(3,0),点P在线段AB上,且AP∶PB=λ,若P点坐标为(,1), 则λ=　　　　　.  【解析】由AP∶PB=λ知=λ,又由题得=(,-2),=(,-1),则 解得λ=2. 答案:2 - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.3.4　 平面向量数乘运算的坐标表示 内容概览 【学习目标】 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(数学抽象) 2.理解平面向量共线的坐标表示.(逻辑推理) 3.能利用平面向量共线的坐标关系求解向量的共线问题.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、数乘运算的坐标表示 1.符号表示:已知a=(x,y),则λa=_______. 2.文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 _________. 【结论】与向量a=(x,y)共线的单位向量为±=(±,±). 二、平面向量共线的坐标表示 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充要条件是存在实数λ,使_____. 2.如果用坐标表示,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是__________. (λx,λy) 相应坐标 a=λb x1y2-x2y1=0 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(1,2),则b=2a=(2,4).( ) 提示:由向量的数乘的坐标运算知正确. (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=.( ) 提示:当y1=0或y2=0时,=无意义. (3)与向量a=(1,-2)共线的向量是b=(3,-6).( ) 提示:与向量a=(1,-2)共线的向量有无数个,向量b=(3,-6)只是其中的一个. (4)若a=(2,3),b=(4,6),则向量a与b方向相同.( ) 提示:由向量a与b的坐标,易知b=2a,所以向量a与b方向相同. √ × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1平面向量数乘的坐标运算(数学运算) 【典例1】(1)(2025·东莞高一检测)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a-b=(　　) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(-1,0) D.(-1,2) 【解析】选D.因为平面向量a=(1,1),b=(1,-1),所以a=(,),b=(,-), 则a-b=(-1,2). √ 返回 √ 返回 (3)(2025·昆明高一检测)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb, 则n-m=　　　　.  【解析】因为向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),且p=ma+nb, 所以,解得 所以n-m=3. 答案:3 返回 【总结升华】 向量数乘坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接利用向量数乘的坐标运算法则计算; (2)若已知表示向量的有向线段的端点坐标,则可先求出向量的坐标,再利用数乘向量的坐标运算法则计算. 返回 类型2向量共线的判定(逻辑推理) √ 返回 返回 【总结升华】 1.向量共线的判定方法 (1)利用共线向量定理,由a=λb(b≠0)⇒a∥b; (2)利用共线向量坐标表达式x1y2-x2y1=0直接证明. 2.点共线问题的证明方法 (1)由点的坐标得到相应向量的坐标; (2)根据坐标关系判断向量是否共线; (3)结合是否有公共点,判断三点是否共线. 返回 【即学即练】 (多选)(2025·邵阳高一检测)下列各组向量中,可以作为一个基底的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(1,1),e2=(1,-1) 【解析】选BD.对于A,因为e1=(0,0)为零向量,所以不能作为基底,A错误; 对于B,因为-1×7-2×5≠0,所以e1,e2不共线,可以作为一个基底,B正确; 对于C,因为e1=e2,所以e1,e2共线,不能作为一个基底,C错误; 对于D,因为1×(-1)-1×1≠0,所以e1,e2不共线,可以作为一个基底,D正确. √ √ 返回 类型3由向量共线求参数的值(数学运算) √ 返回 (2)(2025·厦门高一检测)向量a=(2,-4),b=(-1,x),若a∥b,则x=　　　　.  【解析】a=(2,-4),b=(-1,x),且a∥b,则2x-(-4)×(-1)=0,解得x=2. 答案:2 返回 【即学即练】 √ 返回 2.(2025·安庆高一检测)已知向量a=(-4,2),b=(6,λ),若a∥b,则λ=　　　　.  【解析】因为a∥b,且a=(-4,2),b=(6,λ),所以2×6-(-4)λ=0,解得λ=-3. 答案:-3 返回 【教材深一度】 定比分点坐标公式 链接教材:P32例9 返回 返回 √ 返回 √ 返回 √ 返回 [变式2]已知点A(2,3),B(3,0),点P在线段AB上,且AP∶PB=λ,若P点坐标为(,1),则λ=　　　　　.  返回 (2)已知点A(2,2),B(-2,10),点C满足=2,则C的坐标为(　　) A.(4,-2) B.(0,6) C.(-4,14) D.(-6,18) 【解析】选A.因为点A(2,2),B(-2,10), 所以=(4,-8),所以=(2,-4), 设C(x,y),则=(x-2,y-2), 所以,解得, 所以C(4,-2). 【典例2】已知向量e1,e2是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2,则(　　) A.A,B,C三点共线　 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线　 D.B,C,D三点共线 【解析】选C.因为向量e1,e2是与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,又=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2, 所以=(1,2),=(-3,2),=(3,-6), A项:因为1×2-(-3)×2=2+6=8≠0,所以与不共线,所以A,B,C三点不共线,故A错误. 因为1×(-6)-3×2=-12≠0,所以与不共线,所以A,B,D三点不共线,故B错误. =+=(-2,4),因为-2×(-6)-3×4=0,所以∥,所以A,C,D三点共线,故C正确. =+=(4,-4),因为-3×(-4)-4×2=4≠0,所以与不共线,所以B,C,D三点不共线,故D错误. 【典例3】(1)(2025·保定高一检测)已知向量=(-2,-5),=(-6,3),=(m-1,2m),若∥,则实数m的值为(　　) A.2 B. C.-2 D.- 【解析】选B.由题意可得,=-=(-4,8),且=(m-1,2m), 由∥可得-4×2m-8(m-1)=0,解得m=. 1.已知A(2,1),B(m,4),=(3,1),若A,B,C三点共线,则m=(　　) A.11　 B.9　 C.7　 D.6 【解析】选A.由题意=(m-2,3)与=(3,1)共线,所以m-2=3×3,解得m=11. 1.线段定比分点的定义 (1)如图,设P1,P2是直线l上两点,点P是l上不同于P1,P2的任意一点,则存在一个实数λ(λ≠-1),使=λ,λ叫作点P分线段P1P2所成的比,点P叫作线段P1P2以定比为λ的定比分点. (2)点P的位置与λ的范围的关系 ①当λ>0时,与同向共线,这时称点P为的内分点; ②当λ<0(λ≠-1)时,与反向共线,这时称点P为的外分点. 2.定比分点的坐标表示 设O为坐标原点,若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),=λ(λ≠-1),则=+,所以(这个公式叫作线段定比分点的坐标公式),故点P(,). 特别地,当λ=1时,点P为P1P2的中点,点P的坐标为(,). 【典例4】(1)已知P1(3,2),P2(9,11),点P(5,y)分所成的比为λ,则y与λ的值分别为(　　) A.y=8,λ=2 B.y=,λ= C.y=,λ= D.y=5,λ= 【解析】选D.因为P1(3,2),P2(9,11),P(5,y),所以=(2,y-2),=(4,11-y), 因为P分所成的比为λ,所以=λ,即(2,y-2)=λ(4,11-y)=(4λ,11λ-λy), 所以,解得. (2)(一题多变) [母题]已知点A(2,3),B(3,0),点P在线段AB上,且||=3||,则点P的坐标是(　　) A.(,) B.(,) C.(-,) D.(-,-) 【解析】选B.由点P在线段AB上,且||=3||知=3, 设P点坐标为(x,y),则(x-2,y-3)=3(3-x,-y),即解得 即P点坐标为(,). [变式1]已知点A(2,3),B(3,0),点P在线段AB延长线上,且||=3||,则点P的坐标是 (　　) A.(,-)　 B.(,) C.(-,)　 D.(-,-) 【解析】选A.由点P在线段AB延长线上, 且||=3||知=-3, 设P点坐标为(x,y),则(x-2,y-3)=-3(3-x,-y),即 解得即P点坐标为(,-). 【解析】由AP∶PB=λ知=λ,又由题得=(,-2),=(,-1),则 解得λ=2. 答案:2 $