1.导学案 08 第6章 6.3.1 平面向量基本定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 【学习目标】 1.理解平面向量基本定理.(直观想象) 2.理解基底的含义,能用基底表示平面向量.(数学运算) 3.会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主导学 平面向量基本定理 1.定义:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【思考】 1.如图,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.请你将向量a按e1,e2的方向分解. 提示:=e1,=λ1e1,=e2,=λ2e2,=a=+=λ1e1+λ2e2. 2.上述问题中的分解方法是否唯一?为什么? 提示:分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式,那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,由此式可推出λ1-μ1,λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1,λ2-μ2不全为0,不妨假设λ1-μ1≠0,则e1=-e2.由此可得e1,e2共线,这与已知e1,e2不共线矛盾),即λ1=μ1,λ2=μ2,因此,分解方法是唯一的. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)零向量不能作为基底向量.(√) 提示:零向量与任意向量共线,所以不能作为基底向量. (2)表示同一平面内的所有向量的基底是唯一的.(×) 提示:基底的选择是不唯一的. (3)一个平面内,表示向量的基底有无数对.(√) 提示:平面内不共线的向量都可以作为该平面内表示其他向量的一个基底. (4)已知a,b是一组不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则x1=x2,y1=y2.(√) 提示:由平面向量的基本定理可知x1=x2,y1=y2. 关键能力·师生共研 类型1基底概念的理解(数学抽象) 【典例1】(多选)(2025·重庆高一检测)若是平面内的一个基底,则下列四组向量中不能作为一个基底的是(　　) A. B. C. D. 【解析】选ABC.对于A,e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2与e2-e1为共线向量,不能作为一个基底; 对于B,2e1-e2=2(e1-e2),则2e1-e2与e1-e2为共线向量,不能作为一个基底; 对于C,-2(2e2-3e1)=6e1-4e2,则2e2-3e1与6e1-4e2为共线向量,不能作为一个基底; 对于D,若存在实数λ使得e1+e2=λ(e1+3e2), 则,无解,所以e1+e2与e1+3e2不共线,可以作为一个基底. 【总结升华】 关于基底概念的理解 (1)关键:判断两个向量能否构成基底,主要看两个向量是否满足不共线,利用向量共线定理可以确定; (2)注意:平面内的一个基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 类型2用基底表示向量(数学运算) 【典例2】(2025·临沂高一检测)如图,平行四边形ABCD中,E是AD的中点,F在线段BE上,且=3,记=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a-b C.a+b D.a-b 【解析】选D.因为E是AD的中点,所以=+=+=+=a+b. 因为=3,所以==(a+b)=a+b, 所以=-=a+b-b=a-b. 【总结升华】 用基底表示向量的方法 (1)利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则,对要表示的向量分解,直到转化为基底表示; (2)对于较为复杂的关系,如含有未知的位置关系的点,可以利用共线设出向量的线性比例关系,用基底表示后求系数. 【即学即练】 (2025·安庆高一检测)如图,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则=　　　　　　　.(用a,b表示)  【解析】由于=-=b-a,=, 故==(b-a),=+=a+(b-a)=b+a. 因为=3, 所以==-(b+a)=-b-a, 所以=+=(b-a)-b-a=(-)b-(+)a=b-a. 答案:-a+b 类型3平面向量基本定理的应用(直观想象、数学运算) 【典例3】如图,在等腰梯形ABCD中,2AD=2DC=2CB=AB=6,E,F分别为AB,AD的中点,BF与DE交于点M. (1)令=a,=b,用a,b表示; (2)求线段AM的长. 【解析】(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以=-=-2=b-2a. (2)设=x+y, 因为E,F分别为AB,AD的中点,所以=x+y=2x+y=x+2y, 因为M,E,D三点共线,M,B,F三点共线, 所以,解得, 即=+. 已知CD与BE平行且相等, 所以四边形CDEB是平行四边形, 所以DE=CB=AD=AE=3, 即△ADE是等边三角形, ===(+2·+)=(62+2×6×3cos 60°+32)=7,所以AM=. 【总结升华】 平面向量基本定理的应用 (1)平面向量基本定理的正用,就是已知一个基底,对平面内任一向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的; (2)平面向量基本定理的逆用,就是选择一个基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算解决问题(即求有关参数问题). 【即学即练】 1.(2025·枣庄高一检测)在梯形ABCD中,若=2,且=x+y,则y-x= (　　) A. B.1　 C.　 D.- 【解析】选A.因为=2,所以=, 所以=+=+, 又,不共线且=x+y, 所以,则y-x=. 2.(2025·乐山高一检测)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x,=y,则x+9y的最小值为(　　) A.　 B.4　 C.　 D.3 【解析】选C.如图,延长AG交BC于点D,已知点G是△ABC的重心, 则==(+)=+,① 因为M,G,N三点共线,所以存在t>0,使=t+(1-t), 将=x,=y, 代入得,=tx+(1-t)y,② 由①,②联立,可得,,消去t即得, (+)=1, 则x+9y=(x+9y)·(+)=(10++)≥+·2=,当且仅当x=3y时等号成立,即x=,y=时,x+9y取得最小值为. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.3　 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 内容概览 【学习目标】 1.理解平面向量基本定理.(直观想象) 2.理解基底的含义,能用基底表示平面向量.(数学运算) 3.会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(逻辑推理、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 平面向量基本定理 1.定义:如果e1,e2是同一平面内的两个_______向量,那么对于这一平面 内的_____向量a,_____________实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底:若e1,e2_______,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底. 不共线 任一 有且只有一对 不共线 返回 【思考】 1.如图,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.请你将向量a按e1,e2的方向分解. 返回 2.上述问题中的分解方法是否唯一?为什么? 提示:分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式,那么 λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,由此式可推出λ1-μ1,λ2-μ2 全为0(假设λ1-μ1,λ2-μ2不全为0,不妨假设λ1-μ1≠0,则e1=-e2.由此可得e1,e2共线,这与已知e1,e2不共线矛盾),即λ1=μ1,λ2=μ2,因此,分解方法是唯一的. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)零向量不能作为基底向量.( ) 提示:零向量与任意向量共线,所以不能作为基底向量. (2)表示同一平面内的所有向量的基底是唯一的.( ) 提示:基底的选择是不唯一的. (3)一个平面内,表示向量的基底有无数对.( ) 提示:平面内不共线的向量都可以作为该平面内表示其他向量的一个基底. (4)已知a,b是一组不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则x1=x2,y1=y2.( ) 提示:由平面向量的基本定理可知x1=x2,y1=y2. √ × √ √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1基底概念的理解(数学抽象) 【典例1】(多选)(2025·重庆高一检测)若是平面内的一个基底,则下列四组向量中不能作为一个基底的是(　　) A. B. C. D. √ √ √ 返回 【解析】选ABC.对于A,e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2与e2-e1为共线向量,不能作为一个基底;对于B,2e1-e2=2(e1-e2),则2e1-e2与e1-e2为共线向量,不能作为一个基底;对于C,-2(2e2-3e1)=6e1-4e2,则2e2-3e1与6e1-4e2为共线向量,不能作为一个基底;对于D,若存在实数λ使得e1+e2=λ(e1+3e2), 则,无解,所以e1+e2与e1+3e2不共线,可以作为一个基底. 返回 【总结升华】 关于基底概念的理解 (1)关键:判断两个向量能否构成基底,主要看两个向量是否满足不共线,利用向量共线定理可以确定; (2)注意:平面内的一个基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 返回 类型2用基底表示向量(数学运算) √ 返回 返回 【总结升华】 用基底表示向量的方法 (1)利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则,对要表示的向量分解,直到转化为基底表示; (2)对于较为复杂的关系,如含有未知的位置关系的点,可以利用共线设出向量的线性比例关系,用基底表示后求系数. 返回 【即学即练】 返回 返回 类型3平面向量基本定理的应用(直观想象、数学运算) 返回 返回 【总结升华】 平面向量基本定理的应用 (1)平面向量基本定理的正用,就是已知一个基底,对平面内任一向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的; (2)平面向量基本定理的逆用,就是选择一个基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算解决问题(即求有关参数问题). 返回 【即学即练】 √ 返回 √ 返回 返回 提示:=e1,=λ1e1,=e2,=λ2e2,=a=+=λ1e1+λ2e2. 【典例2】(2025·临沂高一检测)如图,平行四边形ABCD中,E是AD的中点,F在线段BE上,且=3,记=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a-b C.a+b D.a-b 【解析】选D.因为E是AD的中点,所以=+=+=+=a+b. 因为=3,所以==(a+b)=a+b, 所以=-=a+b-b=a-b. (2025·安庆高一检测)如图,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则=　　　　　　　.(用a,b表示)  【解析】由于=-=b-a,=, 故==(b-a),=+=a+(b-a)=b+a. 因为=3, 所以==-(b+a)=-b-a, 所以=+=(b-a)-b-a=(-)b-(+)a=b-a. 答案:-a+b 【典例3】如图,在等腰梯形ABCD中,2AD=2DC=2CB=AB=6,E,F分别为AB,AD的中点,BF与DE交于点M. (1)令=a,=b,用a,b表示; (2)求线段AM的长. 【解析】(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以=-=-2=b-2a. (2)设=x+y, 因为E,F分别为AB,AD的中点,所以=x+y=2x+y=x+2y, 因为M,E,D三点共线,M,B,F三点共线, 所以,解得, 即=+. 已知CD与BE平行且相等, 所以四边形CDEB是平行四边形, 所以DE=CB=AD=AE=3, 即△ADE是等边三角形, ===(+2·+)=(62+2×6×3cos 60°+32)=7,所以AM=. 1.(2025·枣庄高一检测)在梯形ABCD中,若=2,且=x+y,则y-x= (　　) A. B.1　 C.　 D.- 【解析】选A.因为=2,所以=, 所以=+=+, 又,不共线且=x+y, 所以,则y-x=. 2.(2025·乐山高一检测)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x,=y,则x+9y的最小值为(　　) A.　 B.4　 C.　 D.3 【解析】选C.如图,延长AG交BC于点D,已知点G是△ABC的重心, 则==(+)=+,① 因为M,G,N三点共线,所以存在t>0,使=t+(1-t), 将=x,=y, 代入得,=tx+(1-t)y,② 由①,②联立,可得,,消去t即得, (+)=1, 则x+9y=(x+9y)·(+)=(10++)≥+·2=,当且仅当x=3y时等号成立,即x=,y=时,x+9y取得最小值为. $