1.导学案 07 第6章 6.2.4 第2课时 向量的数量积(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时　向量的数量积(2) 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的性质及运算律.(数学运算) 2.能利用向量的数量积解决向量的模与夹角问题.(数学运算) 3.能利用向量的数量积解决向量的垂直问题.(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主导学 一、向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ;  (2)a⊥b⇔a·b=0; (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=; (4)|a·b|≤|a||b|. 【思考】 1.如果a·b=0,是否有a=0,或b=0? 提示:不一定,当a与b的夹角为时,也有a·b=0. 二、向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律); (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律); (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 【思考】 2.设a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立吗?为什么? 提示:不一定成立,因为a·b为实数,b·c为实数, 则(a·b)c为与向量c共线的向量,(b·c)a为与向量a共线的向量, 而向量a与向量c未必共线,所以不一定成立. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a2=b2,则a=b或a=-b.(×) 提示:因为a2=|a|2,b2=|b|2,所以还有可能|a|=|b|,不一定方向相同或相反. (2)(b·c)·a-(c·a)b与c垂直.(√) 提示:因为[(b·c)·a-(c·a)b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)b与c垂直. (3)a,b为非零向量,若a⊥b,则|a+b|=|a-b|.(√) 提示:先对|a+b|和|a-b|进行平方,然后利用题意可得a·b=0,从而得出结论正确. 关键能力·师生共研 类型1向量数量积的运算律的应用(数学运算) 【典例1】(1)(2025·哈尔滨高一检测)向量a,b满足|a|=2,|b|=4,向量a与b的夹角为,则a·(a+b)=(　　) A.0　 B.8 C.4+4　 D.4-4 【解析】选A.因为|a|=2,|b|=4,向量a与b的夹角为,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2×4×(-)=-4,所以a·(a+b)=a2+a·b=4-4=0. (2)若四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则·= (　　) A.-　 B. C.-　 D. 【解析】选A.因为四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,所以·=2×2×cos 60°=2. 所以·=(+)·=(+)·(-) =(·-+)=×(×2-4+×4)=-. 【总结升华】 关于向量数量积的运算律 (1)利用向量数量积的运算律把要求的式子展开,将条件代入运算; (2)注意完全平方、平方差等公式在运算中的应用,可以起到简化运算过程的作用. 【即学即练】 1.(2025·周口高一检测)设向量a,b的夹角的余弦值为-,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b=(　　) A.-23　 B.23　 C.-27　 D.27 【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cos θ=-,因为|a|=2,|b|=3, 所以a·b=|a||b|cos θ=2×3×(-)=-2, 所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=-4+27=23. 2.在平行四边形ABCD中,AB的中点为M,连接DM,过A作DM的垂线,垂足为H,若AH=2,则·=(　　) A.6　 B.8　 C.10　 D.12 【解析】选D.在平行四边形ABCD中,=+, 所以·=·(+)=·(2+)=2·+· =2||||cos∠MAH+||||·cos∠DAH=2||2+||2=3||2=12. 类型2利用向量的数量积解决向量模与夹角的问题(逻辑推理、数学运算) 【典例2】(1)已知向量a,b满足|a|=,|b|=,(a-b)·b=1,则向量a,b夹角的大小为(　　) A.30°　 B.45°　 C.60°　 D.120° 【解析】选A.设向量a,b的夹角为θ,由(a-b)·b=1,得a·b-b2=1,即|a||b|cos θ-|b|2=1,因为|a|=,|b|=,所以2cos θ-2=1,解得cos θ=, 又因为0°≤θ≤180°,所以θ=30°,即向量a,b的夹角的大小为30°. (2)(2025·临沂高一检测)已知向量|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为,则|2a-3b|=(　　) A.6　 B.3　 C.3　 D.3 【解析】选A.因为向量|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为,所以a·b=3×2×cos =3, 所以|2a-3b|====6. 【总结升华】 1.求向量的模的关注点 (1)依据:a·a=a2=|a|2或|a|=; (2)策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2. 2.向量的夹角 (1)公式:cos θ=,<a,b>=θ; (2)注意:θ∈[0,π]. 【即学即练】 1.已知向量a,b是单位向量,若(a+2b)⊥a,则|a-b|=(　　) A.0　 B.1　 C.　 D.2 【解析】选C.因为a,b是单位向量, 所以|a|=1,|b|=1, 又因为(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=|a|2+2a·b=0,则2a·b=-1, 所以|a-b|===. 2.(2025·泉州高一检测)单位向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a和b的夹角为(　　) A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150° 【解析】选B.由|a|=|b|=1,|a+b|=|a-b|两边平方可得|a+b|2=3|a-b|2, 所以(a+b)2=3(a-b)2, 所以a2+2a·b+b2=3(a2-2a·b+b2), 解得a·b=, 所以a·b==|a||b|cos<a,b>=cos<a,b>, 因为<a,b>∈[0,π], 所以a,b的夹角为60°. 类型3利用向量的数量积解决向量的垂直问题(逻辑推理、数学运算) 【典例3】已知不共线的两个平面向量a,b满足|a|=3,|b|=4. (1)若a与b的夹角θ=,求|a+b|的值; (2)若(a+kb)⊥(a-kb),求实数k的值. 【解析】(1)由题意,|a|=3,|b|=4, 所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2+2|a||b|cos +|b|2=32+2×3×4×+42=37,所以|a+b|=. (2)因为(a+kb)⊥(a-kb), 所以(a+kb)·(a-kb)=0, 即a2-k2b2=0,因为|a|=3,|b|=4, 所以9-16k2=0,解得k=±. 【总结升华】 向量垂直问题的处理方法 (1)依据:a⊥b⇔a·b=0; (2)方法:利用数量积的运算代入,结合向量的模、夹角相关的知识解题. 【即学即练】 已知|a|=4,|b|=3,且a,b的夹角为60°,如果(a+2b)⊥(a-mb),那么m的值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.由题意得a·b=|a||b|cos 60°=6,由(a+2b)⊥(a-mb),可得(a+2b)·(a-mb)=0,即a2+(2-m)a·b-2mb2=0,即16+12-6m-18m=0,即m=. - 5 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 第2课时　 向量的数量积(2) 内容概览 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的性质及运算律.(数学运算) 2.能利用向量的数量积解决向量的模与夹角问题.(数学运算) 3.能利用向量的数量积解决向量的垂直问题.(逻辑推理、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=_______;  (2)a⊥b⇔______; (3)当a与b同向时,a·b=_____;当a与b反向时,a·b=_____.特别地,a·a=|a|2或|a|=; (4)|a·b|≤|a||b|. 【思考】 1.如果a·b=0,是否有a=0,或b=0? 提示:不一定,当a与b的夹角为时,也有a·b=0. |a|cos θ a·b=0 |a||b| -|a||b| 返回 二、向量数量积的运算律 (1)a·b=____(交换律); (2)(λa)·b=______=______(结合律); (3)(a+b)·c=_______(分配律). 【思考】 2.设a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立吗?为什么? 提示:不一定成立,因为a·b为实数,b·c为实数, 则(a·b)c为与向量c共线的向量,(b·c)a为与向量a共线的向量, 而向量a与向量c未必共线,所以不一定成立. b·a λ(a·b) a·(λb) a·c+b·c 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a2=b2,则a=b或a=-b.( ) 提示:因为a2=|a|2,b2=|b|2,所以还有可能|a|=|b|,不一定方向相同或相反. (2)(b·c)·a-(c·a)b与c垂直.( ) 提示:因为[(b·c)·a-(c·a)b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)b与c垂直. (3)a,b为非零向量,若a⊥b,则|a+b|=|a-b|.( ) 提示:先对|a+b|和|a-b|进行平方,然后利用题意可得a·b=0,从而得出结论正确. × √ √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1向量数量积的运算律的应用(数学运算) 【典例1】(1)(2025·哈尔滨高一检测)向量a,b满足|a|=2,|b|=4,向量a与b的夹角为,则a·(a+b)=(　　) A.0　 B.8 C.4+4　 D.4-4 【解析】选A.因为|a|=2,|b|=4,向量a与b的夹角为,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2×4×(-)=-4,所以a·(a+b)=a2+a·b=4-4=0. √ 返回 √ 返回 【总结升华】 关于向量数量积的运算律 (1)利用向量数量积的运算律把要求的式子展开,将条件代入运算; (2)注意完全平方、平方差等公式在运算中的应用,可以起到简化运算过程的作用. 返回 【即学即练】 1.(2025·周口高一检测)设向量a,b的夹角的余弦值为-,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b=(　　) A.-23　 B.23　 C.-27　 D.27 【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cos θ=-,因为|a|=2,|b|=3, 所以a·b=|a||b|cos θ=2×3×(-)=-2, 所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=-4+27=23. √ 返回 √ 返回 类型2利用向量的数量积解决向量模与夹角的问题(逻辑推理、数学运算)【典例2】(1)已知向量a,b满足|a|=,|b|=,(a-b)·b=1,则向量a,b夹角的大小为(　　) A.30°　 B.45°　 C.60°　 D.120° 【解析】选A.设向量a,b的夹角为θ,由(a-b)·b=1,得a·b-b2=1,即|a||b|cos θ-|b|2=1,因为|a|=,|b|=,所以2cos θ-2=1,解得cos θ=, 又因为0°≤θ≤180°,所以θ=30°,即向量a,b的夹角的大小为30°. √ 返回 (2)(2025·临沂高一检测)已知向量|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为, 则|2a-3b|=(　　) A.6　 B.3　 C.3　 D.3 【解析】选A.因为向量|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为,所以a·b=3×2×cos =3, 所以|2a-3b|====6. √ 返回 【总结升华】 1.求向量的模的关注点 (1)依据:a·a=a2=|a|2或|a|=; (2)策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2. 2.向量的夹角 (1)公式:cos θ=,<a,b>=θ; (2)注意:θ∈[0,π]. 返回 【即学即练】 1.已知向量a,b是单位向量,若(a+2b)⊥a,则|a-b|=(　　) A.0　 B.1　 C.　 D.2 【解析】选C.因为a,b是单位向量, 所以|a|=1,|b|=1, 又因为(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=|a|2+2a·b=0,则2a·b=-1, 所以|a-b|===. √ 返回 2.(2025·泉州高一检测)单位向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a和b的夹角为(　　) A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150° 【解析】选B.由|a|=|b|=1,|a+b|=|a-b|两边平方可得|a+b|2=3|a-b|2, 所以(a+b)2=3(a-b)2,所以a2+2a·b+b2=3(a2-2a·b+b2), 解得a·b=,所以a·b==|a||b|cos<a,b>=cos<a,b>, 因为<a,b>∈[0,π],所以a,b的夹角为60°. √ 返回 类型3利用向量的数量积解决向量的垂直问题(逻辑推理、数学运算) 【典例3】已知不共线的两个平面向量a,b满足|a|=3,|b|=4. (1)若a与b的夹角θ=,求|a+b|的值; (2)若(a+kb)⊥(a-kb),求实数k的值. 【解析】(1)由题意,|a|=3,|b|=4, 所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2+2|a||b|cos +|b|2=32+2×3×4×+42=37,所以|a+b|=. (2)因为(a+kb)⊥(a-kb),所以(a+kb)·(a-kb)=0, 即a2-k2b2=0,因为|a|=3,|b|=4,所以9-16k2=0,解得k=±. 返回 【总结升华】 向量垂直问题的处理方法 (1)依据:a⊥b⇔a·b=0; (2)方法:利用数量积的运算代入,结合向量的模、夹角相关的知识解题. 返回 【即学即练】 已知|a|=4,|b|=3,且a,b的夹角为60°,如果(a+2b)⊥(a-mb),那么m的值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.由题意得a·b=|a||b|cos 60°=6,由(a+2b)⊥(a-mb),可得(a+2b)·(a-mb)=0,即a2+(2-m)a·b-2mb2=0,即16+12-6m-18m=0,即m=. √ 返回 (2)若四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则·= (　　) A.-　 B. C.-　 D. 【解析】选A.因为四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,所以·=2×2×cos 60°=2. 所以·=(+)·=(+)·(-) =(·-+)=×(×2-4+×4)=-. 2.在平行四边形ABCD中,AB的中点为M,连接DM,过A作DM的垂线,垂足为H,若AH=2,则·=(　　) A.6　 B.8　 C.10　 D.12 【解析】选D.在平行四边形ABCD中,=+, 所以·=·(+)=·(2+)=2·+· =2||||cos∠MAH+||||·cos∠DAH=2||2+||2=3||2=12. $