1.导学案 04 第6章 6.2.2 向量的减法运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.2　向量的减法运算 【学习目标】 1.理解相反向量的概念,能用相反向量定义向量的减法.(数学抽象) 2.理解向量减法的运算法则及几何应用.(直观想象、逻辑推理) 3.能运用向量的加、减法运算法则化简或求值.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、相反向量 1.定义:与向量a长度相等,方向相反的向量.零向量的相反向量仍是零向量. 2.性质:(1)-(-a)=a; (2)对于相反向量有a+(-a)=0; (3)若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0. 二、向量的减法 1.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 2.作法:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,如图所示. 3.几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 提醒:向量减法的几何意义:共起点,连终点,指被减. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相反向量就是方向相反的向量.(×) 提示:相反向量满足两个条件:一是方向相反,二是长度相等. (2)两个相等向量之差等于0.(×) 提示:两个向量的差向量还是向量,所以相等向量之差是0. (3)若向量a与b是相反向量,则向量a与b一定不相等.(×) 提示:零向量的相反向量还是零向量. (4)-++=0.(√) 提示:由向量减法的运算法则,易知-++=0. 关键能力·师生共研 类型1向量减法的几何意义(直观想象) 【典例1】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a-b-c. 【解析】 如图,作=a,=b,则即为a-b, 再作=c, 则向量即为a-b-c. 【总结升华】 作差向量的方法 (1)利用向量减法的三角形法则:简记为“共起点,连终点,指向被减”; (2)转化为向量的加法:a-b=a+(-b). 类型2向量加减的运算(数学运算) 【典例2】化简: (1)-+; (2)(-)-(-); (3)(++)-(--). 【解析】(1)-+=+-=-=. (2)(-)-(-)=-+-=++=+=-=0. (3)(++)-(--)=+-(-)=-=0. 【总结升华】 向量减法运算的常用方法 【即学即练】 1.(2025·北京高一检测)如图,在正六边形ABCDEF中,-= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.-=-=, 又=,所以-=. 2.化简:(-)++= (　　) A.0　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.(-)++=+++=. 类型3向量减法的应用(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(易错·对对碰)(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若-=-,则四边形ABCD的形状是　　　　　.  (2)在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD的形状是　　　　.  (3)在四边形ABCD中,=,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状是　　　　.  【解析】(1)因为-=-,即=,故四边形ABCD为平行四边形. 答案:平行四边形 (2)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为|-|=|-|, 所以||=||,所以平行四边形ABCD为菱形. 答案:菱形 (3)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为|+|=|-|, 所以||=||,所以平行四边形ABCD为矩形. 答案:矩形 【总结升华】 向量减法的几何应用 (1)利用相等向量证明线段平行且相等,从而证明四边形为平行四边形. (2)以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量分别为=a+b,=b-a,则=a-b. (3)对于菱形、矩形、正方形可以根据平行四边形的邻边相等或对角线相等来判断. 【即学即练】 1.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有(　　) A.|+|=|-| B.|-|=|-| C.|-|=|-| D.|-|2>|-|2+|-|2 【解析】选ABC.由条件可知||=||,且AB⊥AC, 以,为邻边的四边形是正方形,对角线相等, 根据向量加减运算法则可知|+|=|-|,故A正确; |-|=||,|-|=||, 所以|-|=|-|,故B正确; |-|=|+|=||, |-|=|+|=||, 所以|-|=|-|,故C正确; =,=, =, 由条件可知=+, 即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误. 2.(2025·辽阳高一检测)在平行四边形ABCD中,|+|=|-|=4,且∠BAC=∠CAD,则平行四边形ABCD的面积为　　　　　.  【解析】在平行四边形ABCD中,+=,-=, 因为|+|=|-|=4, 即||=||=4,所以平行四边形ABCD为矩形, 又∠BAC=∠CAD,所以平行四边形ABCD为正方形,所以平行四边形ABCD的面积为×4×4=8. 答案:8 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.2.2　 向量的减法运算 内容概览 【学习目标】 1.理解相反向量的概念,能用相反向量定义向量的减法.(数学抽象) 2.理解向量减法的运算法则及几何应用.(直观想象、逻辑推理) 3.能运用向量的加、减法运算法则化简或求值.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、相反向量 1.定义:与向量a长度_____,方向_____的向量.零向量的相反向量仍是 零向量. 2.性质:(1)-(-a)=__; (2)对于相反向量有a+(-a)=__; (3)若a,b互为相反向量,则a=___,a+b=__. 相等 相反 a 0 -b 0 返回 二、向量的减法 1.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_____向量. 2.作法:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =____, 如图所示. 3.几何意义:a-b可以表示为从向量b的_____指向向量a的_____的向量. 提醒:向量减法的几何意义:共起点,连终点,指被减. 相反 a-b 终点 终点 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相反向量就是方向相反的向量.( ) 提示:相反向量满足两个条件:一是方向相反,二是长度相等. (2)两个相等向量之差等于0.( ) 提示:两个向量的差向量还是向量,所以相等向量之差是0. (3)若向量a与b是相反向量,则向量a与b一定不相等.( ) 提示:零向量的相反向量还是零向量. (4) - + + =0.( ) 提示:由向量减法的运算法则,易知 - + + =0. × × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1向量减法的几何意义(直观想象) 【典例1】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a-b-c. 返回 返回 【总结升华】 作差向量的方法 (1)利用向量减法的三角形法则:简记为“共起点,连终点,指向被减”; (2)转化为向量的加法:a-b=a+(-b). 返回 类型2向量加减的运算(数学运算) 【典例2】化简: 返回 【总结升华】 向量减法运算的常用方法 返回 【即学即练】 √ 返回 √ 返回 类型3向量减法的应用(逻辑推理、数学运算) 答案:平行四边形 返回 返回 返回 √ √ √ 返回 返回 答案:8 返回 【解析】 如图,作=a,=b,则即为a-b, 再作=c, 则向量即为a-b-c. (1)-+; (2)(-)-(-); (3)(++)-(--). 【解析】(1)-+=+-=-=. (2)(-)-(-)=-+-=++=+=-=0. (3)(++)-(--)=+-(-)=-=0. 1.(2025·北京高一检测)如图,在正六边形ABCDEF中,-= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.-=-=, 又=,所以-=. 2.化简:(-)++= (　　) A.0　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.(-)++=+++=. 【典例3】(易错·对对碰)(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若-=-,则四边形ABCD的形状是　　　　　.  (2)在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD的形状是　　　　.  (3)在四边形ABCD中,=,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状是　　　　.  【解析】(1)因为-=-,即=,故四边形ABCD为平行四边形. (2)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为|-|=|-|, 所以||=||,所以平行四边形ABCD为菱形. 答案:菱形 (3)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为|+|=|-|, 所以||=||,所以平行四边形ABCD为矩形. 答案:矩形 【总结升华】 向量减法的几何应用 (1)利用相等向量证明线段平行且相等,从而证明四边形为平行四边形. (2)以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量分别为=a+b,=b-a,则=a-b. (3)对于菱形、矩形、正方形可以根据平行四边形的邻边相等或对角线相等来判断. 【即学即练】 1.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有(　　) A.|+|=|-| B.|-|=|-| C.|-|=|-| D.|-|2>|-|2+|-|2 【解析】选ABC.由条件可知||=||,且AB⊥AC, 以,为邻边的四边形是正方形,对角线相等, 根据向量加减运算法则可知|+|=|-|,故A正确; |-|=||,|-|=||, 所以|-|=|-|,故B正确; |-|=|+|=||, |-|=|+|=||, 所以|-|=|-|,故C正确; =,=, =, 由条件可知=+, 即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误. 2.(2025·辽阳高一检测)在平行四边形ABCD中,|+|=|-|=4,且∠BAC=∠CAD,则平行四边形ABCD的面积为　　　　　.  【解析】在平行四边形ABCD中,+=,-=, 因为|+|=|-|=4, 即||=||=4,所以平行四边形ABCD为矩形, 又∠BAC=∠CAD,所以平行四边形ABCD为正方形,所以平行四边形ABCD的面积为×4×4=8. $