1.导学案 02 第6章 6.1 平面向量的概念(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.1　 平面向量的概念 内容概览 【学习目标】 1.通过对力、速度、位移等分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(数学抽象) 2.理解平面向量的几何意义及几何表示.(直观想象) 3.理解相等向量的含义及向量共线的概念.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、向量的概念及表示 1.向量的概念 既有_____又有_____的量. 2.向量的几何表示 (1)有向线段:以A为起点,B为终点的有向线段记作_____,其大小称为向量 的长度(或称模),记作_______; (2)字母:可以用字母a,b,c,…表示. 3.特殊向量 零向量的长度为0,单位向量的长度为____________. | | 1个单位长度 大小 方向 返回 【思考】 1.向量与数量的区别是什么? 提示:数量只有大小,没有方向;而向量既有大小又有方向.所以数量可以比较大小,向量不能比较大小. 二、相等向量与共线向量 1.相等向量 长度_____且方向_____的向量,记作a=b. 相等 相同 返回 2.共线向量 (1)平行向量 ①方向___________的非零向量,记作a∥b; ②规定:零向量与任意向量_____,即对于任意向量a,都有0∥a. (2)共线向量 任一组平行向量都可以平移到___________上,因此,平行向量也叫做共线 向量. 相同或相反 平行 同一条直线 返回 【思考】 2.向量平行与直线平行有什么区别? 提示:向量平行表示向量所在直线可以重合,而直线平行中的两条直线不能重合. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)质量、速度、位移和力都是向量. ( ) 提示:“质量”不是向量,其余都是向量. × 返回 (2)模为0的向量与任意非零向量共线. ( ) 提示:模为0的向量为零向量,零向量与任意向量共线,所以零向量与任意非零向量共线正确. (3)若两个单位向量平行,则这两个向量相等. ( ) 提示:不一定相等,有可能是相反向量. (4)若a与b都是单位向量,则a=b. ( ) 提示:若a与b都是单位向量,而单位向量方向不一定相同,故不能得到a=b. √ × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1向量的有关概念(数学抽象) 【典例1】下列说法正确的是(　　) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行 C.模为1的向量都是相等向量 D.向量的模可以比较大小 【解析】选D.向量是既有大小又有方向的矢量,不能比较大小,故A错误; 由于零向量的方向不确定,故规定零向量与任意向量平行,故B错误; 长度相等、方向相同的向量称为相等向量,模长为1的向量只规定了长度相等,方向不一定相同,故C错误;向量的模长是一个数量,可以比较大小,故D正确. √ 返回 类型2向量的表示与应用(直观想象) 【典例2】(教材习题·T1提升)如图是小方格的边长为1的方格纸. 返回 返回 返回 返回 【总结升华】 用有向线段表示向量的步骤 (1)确定向量的起点; (2)确定向量的方向; (3)根据向量的长度确定向量的终点. 返回 【即学即练】 (2025·成都高一检测)已知向量a如图所示,下列说法不正确的是(　　) A.也可以用 表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 【解析】选D.由向量的几何表示知,A,B,C正确,D不正确. √ 返回 在平面直角坐标系中,作出表示下列向量的有向线段: (1)向量a的起点在坐标原点,与x轴正方向的夹角为120°且|a|=3; (2)向量b的起点在坐标原点,模为4,方向与y轴的正方向反向; (3)向量c的起点在坐标原点,模为2,方向与y轴的正方向同向. 返回 返回 类型3相等向量与共线向量(直观想象) 【典例3】(1)(2025·东莞高一检测)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是(　　) √ 返回 返回 (2)如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形. ①写出与向量 相等的向量; ②写出与向量 共线的向量. 返回 返回 【总结升华】 相等向量与共线向量 (1)相等向量与共线向量的确定:要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等与平行关系; (2)相等向量与共线向量的应用:可以判断线段与线段相等或平行,但判断直线平行时,除说明向量共线外,还需要说明向量所在的线段无公共点. 返回 返回 返回 (1)画出||=3,点A在点O的正西方向的向量; (2)画出||=3,点B在点O的北偏西45°方向的向量; (3)求出||的值. 【解析】(1)因为||=3,点A在点O的正西方向,所以如图所示: (2)因为||=3,点B在点O的北偏西45°方向,所以如图所示: (3)||==3. 【解析】(1)由题意xA=3cos 120°=-,yA=3sin 120°=,故即为所求,其中A(-,); (2)由题意xB=4cos(-90°)=0,yB=4sin(-90°)=-4,故即为所求,其中B(0,-4); (3)由题意xC=2cos 90°=0,yC=2sin 90°=2,故即为所求,其中C(0,2). A.=　 B.= C.∥　 D.与共线 【解析】选B.如图, 因为,方向相同,长度相等,所以=,故A正确; 因为,方向不同,所以≠,故B错误; 因为B,O,D三点共线,所以∥,故C正确; 因为AB∥CD,所以与共线,故D正确. 【解析】①因为四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形, 所以=,=,所以=. 故与向量相等的向量是,. ②由共线向量的条件知,与共线的向量有,,,,,,. 【即学即练】 已知O为正六边形ABCDEF的中心,在如图所标出的向量中: (1)写出与共线的向量; (2)写出与相等的向量; (3)与相等吗? 【解析】(1)由O为正六边形ABCDEF的中心,得与共线的向量有和. (2)由于与长度相等且方向相同,所以与相等的向量为. (3)显然∥,且||=||,但与的方向相反,所以这两个向量不相等. $ 6.1　平面向量的概念 【学习目标】 1.通过对力、速度、位移等分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(数学抽象) 2.理解平面向量的几何意义及几何表示.(直观想象) 3.理解相等向量的含义及向量共线的概念.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 一、向量的概念及表示 1.向量的概念 既有大小又有方向的量. 2.向量的几何表示 (1)有向线段:以A为起点,B为终点的有向线段记作,其大小称为向量的长度(或称模),记作||; (2)字母:可以用字母a,b,c,…表示. 3.特殊向量 零向量的长度为0,单位向量的长度为1个单位长度. 【思考】 1.向量与数量的区别是什么? 提示:数量只有大小,没有方向;而向量既有大小又有方向.所以数量可以比较大小,向量不能比较大小. 二、相等向量与共线向量 1.相等向量 长度相等且方向相同的向量,记作a=b. 2.共线向量 (1)平行向量 ①方向相同或相反的非零向量,记作a∥b; ②规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. (2)共线向量 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 【思考】 2.向量平行与直线平行有什么区别? 提示:向量平行表示向量所在直线可以重合,而直线平行中的两条直线不能重合. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)质量、速度、位移和力都是向量. (×) 提示:“质量”不是向量,其余都是向量. (2)模为0的向量与任意非零向量共线. (√) 提示:模为0的向量为零向量,零向量与任意向量共线,所以零向量与任意非零向量共线正确. (3)若两个单位向量平行,则这两个向量相等. (×) 提示:不一定相等,有可能是相反向量. (4)若a与b都是单位向量,则a=b. (×) 提示:若a与b都是单位向量,而单位向量方向不一定相同,故不能得到a=b. 关键能力·师生共研 类型1向量的有关概念(数学抽象) 【典例1】下列说法正确的是(　　) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行 C.模为1的向量都是相等向量 D.向量的模可以比较大小 【解析】选D.向量是既有大小又有方向的矢量,不能比较大小,故A错误; 由于零向量的方向不确定,故规定零向量与任意向量平行,故B错误; 长度相等、方向相同的向量称为相等向量,模长为1的向量只规定了长度相等,方向不一定相同,故C错误;向量的模长是一个数量,可以比较大小,故D正确. 类型2向量的表示与应用(直观想象) 【典例2】(教材习题·T1提升)如图是小方格的边长为1的方格纸. (1)画出||=3,点A在点O的正西方向的向量; (2)画出||=3,点B在点O的北偏西45°方向的向量; (3)求出||的值. 【解析】(1)因为||=3,点A在点O的正西方向,所以如图所示: (2)因为||=3,点B在点O的北偏西45°方向,所以如图所示: (3)||==3. 【总结升华】 用有向线段表示向量的步骤 (1)确定向量的起点; (2)确定向量的方向; (3)根据向量的长度确定向量的终点. 【即学即练】 (2025·成都高一检测)已知向量a如图所示,下列说法不正确的是(　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 【解析】选D.由向量的几何表示知,A,B,C正确,D不正确. 在平面直角坐标系中,作出表示下列向量的有向线段: (1)向量a的起点在坐标原点,与x轴正方向的夹角为120°且|a|=3; (2)向量b的起点在坐标原点,模为4,方向与y轴的正方向反向; (3)向量c的起点在坐标原点,模为2,方向与y轴的正方向同向. 【解析】(1)由题意xA=3cos 120°=-,yA=3sin 120°=,故即为所求,其中A(-,); (2)由题意xB=4cos(-90°)=0,yB=4sin(-90°)=-4,故即为所求,其中B(0,-4); (3)由题意xC=2cos 90°=0,yC=2sin 90°=2,故即为所求,其中C(0,2). 类型3相等向量与共线向量(直观想象) 【典例3】(1)(2025·东莞高一检测)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是(　　) A.=　 B.= C.∥　 D.与共线 【解析】选B.如图, 因为,方向相同,长度相等,所以=,故A正确; 因为,方向不同,所以≠,故B错误; 因为B,O,D三点共线,所以∥,故C正确; 因为AB∥CD,所以与共线,故D正确. (2)如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形. ①写出与向量相等的向量; ②写出与向量共线的向量. 【解析】①因为四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形, 所以=,=,所以=. 故与向量相等的向量是,. ②由共线向量的条件知,与共线的向量有,,,,,,. 【总结升华】 相等向量与共线向量 (1)相等向量与共线向量的确定:要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等与平行关系; (2)相等向量与共线向量的应用:可以判断线段与线段相等或平行,但判断直线平行时,除说明向量共线外,还需要说明向量所在的线段无公共点. 【即学即练】 已知O为正六边形ABCDEF的中心,在如图所标出的向量中: (1)写出与共线的向量; (2)写出与相等的向量; (3)与相等吗? 【解析】(1)由O为正六边形ABCDEF的中心,得与共线的向量有和. (2)由于与长度相等且方向相同,所以与相等的向量为. (3)显然∥,且||=||,但与的方向相反,所以这两个向量不相等. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $