二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题复习讲义 二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题复习讲义 考点目录 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 知识点解析 考点一 特殊三角形存在性问题 一、解题原理 以等腰、直角、等腰直角、等边三角形的定义与判定为核心，结合平面直角坐标系、动点、函数图象、几何边长关系，利用边长相等、垂直关系、角度特殊三大约束，列出方程或不等式； 核心本质：把几何特殊条件转化为代数方程，通过解方程判断点是否存在、求参数或坐标，分类讨论是核心思想。 二、解题思路 1. 定动点与定点，设坐标 设动点坐标，用距离公式、横纵坐标差表示线段边长、斜率。 1. 分类讨论，罗列所有情况 · 等腰三角形：分三条边分别为底边三种情况（两腰相等）； · 直角三角形：分三个顶点分别为直角顶点三种情况； · 等腰直角：同时满足等腰+垂直双重条件； · 等边：三边长度全部相等。 1. 转化代数条件列式 · 等腰：两点间距离公式列「两边相等」方程； · 直角：斜率乘积为 或 勾股定理平方关系； · 坐标背景：巧用水平、竖直距离简化计算。 1. 解方程、检验合理性 求出点坐标或参数，排除三点共线、边长为负、不符合题意的增根。 1. 归纳所有符合条件的结果 考点二 特殊四边形存在性问题 一、解题原理 依托平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的边、角、对角线性质，利用： 1. 平行四边形：对边平行且相等、对角线互相平分； 2. 矩形：平行四边形邻边垂直/对角线相等； 3. 菱形：平行四边形邻边相等/对角线垂直； 4. 正方形：兼具矩形+菱形全部特征； 5. 梯形：一组对边平行； 核心原理：几何图形特征代数化，利用中点公式、平行、垂直、边长相等列方程，判定点的存在性。 二、解题思路 1. 定已知点，设未知动点坐标 明确固定顶点，设运动点坐标，梳理图形构成方式。 1. 先定基础图形：优先平行四边形 利用对角线中点重合（万能法）： 四边形为平行四边形两条对角线中点坐标相同，列式简洁、不易漏解。 1. 叠加特殊限制，逐级加条件 · 矩形：在平行四边形基础上，加邻边垂直或对角线相等； · 菱形：在平行四边形基础上，加邻边相等或对角线垂直； · 正方形：同时满足矩形+菱形条件； · 梯形：只需一组对边斜率相等（平行）。 1. 分类讨论图形构成形式 按“哪两条线段为边、哪两条为对角线”分类，避免遗漏多解。 1. 联立方程求解，剔除无效解 结合定义域、位置限制、四点不共线筛选答案，写出全部符合条件的点或参数。 真题速递 1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 3．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 考点一 特殊三角形存在性问题 【例题分析】 例1．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 例2．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 例3．（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式训练】 变式1．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 变式2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 变式3．（2025·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【分析】（1）把点和代入抛物线解析式中，解方程组即可得解； （2）根据抛物线的解析式可知点的坐标，从而利用待定系数法求出直线的解析式，进而可设，则，得到，根据二次函数图象的增减性求出的最大值，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到结论； （3）过点作轴于点，则，可推出，即可得到直线和直线关于直线对称，从而可求得直线的解析式，进而得到点的坐标，设，分别表示出，，，分：当，当，当三种情况讨论，求解出符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：把点和代入抛物线， 得：，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：四边形是平行四边形．理由如下： 抛物线， 当时，， ，， 设直线的解析式为， 把、代入， 得：，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， 有最大值，当时，的最大值为，此时，， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 理由如下：是的中点， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，则， ， ， ， 直线和直线关于直线对称， 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ， 设， ∴， ， ， 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， ； 当，即时，为等腰三角形， 则：，解得， 或； 当，即时，为等腰三角形， 则：，化简得：， ， 方程无解， 即在轴上不存在点，使， 综上所述，在轴上存在点，使得为等腰三角形，此时点的坐标为或或． 考点二 特殊四边形存在性问题 【例题分析】 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 例2．（2025·江苏扬州·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 例3．（2026·安徽淮南·一模）已知直线与轴相交于点，与轴相交于点．抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标． (2)点为抛物线上一动点，直线与轴相交于点，作轴于点，交直线于点． （i）求证：； （ii）若要使以为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）的值为2或4 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式；再求出时，二次函数的自变量的值即可得点的坐标； （2）（i）先求出的长，再求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后求出的长即可； （ii）先求出的长，再求出，则只需，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， 将，代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为， 将代入得：，解得或， ∴． （2）证明：（i）由题意，画出图形如下： ∵，轴于点， ∴， 将点代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 解：（ii）将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴要使以为顶点的四边形是平行四边形，则只需，即， 解得或（不符合题意，舍去）或， 综上，的值为2或4． 【变式训练】 变式1．（2025·海南海口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点两点，与轴交于点，连接直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)点是位于直线上方抛物线上的一个动点， ①如图1所示，过点作平行于轴与抛物线另一个交点为，当点位于上方时，过点作与轴平行的直线交于点，连接线段、、．当四边形的面积等于时，求点坐标； ②如图2所示，连接与直线交于点，当时，求的值； (3)是抛物线上一个动点，在平面内是否存在，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或或 【分析】（1）由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，进而求得点的坐标，根据四边形的面积等于，得出，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设，则，将的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求解； ②证明，列比例式可得的长，设，，表示的长，求得，进而根据正切的定义，即可求解； ③分三种情况讨论，当为矩形的对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形，根据矩形的性质，利用勾股定理以及解直角三角形的方法求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，解得， ∴解析式为； （2）①解析式为 ∴对称轴为直线 ∵， ∴关于直线对称 当时，， ， ∴ ∴ ∵四边形的面积等于， ∴ ∴ 设直线的解析式为， 将，分别代入得， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则即 ∵在上 ∴ 解得：或（与点重合舍去） ∴ ②过点作轴的平行线，交直线于点，交轴于点， 过点作轴的平行线，交直线于点， ， 当时，， ，， 轴， ， ， ， ， 设，， ， 解得：， ， ，， 在中，； （3）解：∵， ∴ ∴ 设 当为矩形的对角线时， ∵， ∴ 整理得， 即 ∴ ∵， ∴ 解得：或 当时，，则 当时，，则 当为对角线时，如图，设交轴于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 当为对角线时， ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，或或或 变式2．（2025·重庆·模拟预测）如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． (1)求的面积； (2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标． 【答案】(1)12 (2)最大值为，此时点P的坐标 (3)或或或 【分析】（1）分别求解抛物线与坐标轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出直线的解析式为，设点，可得点，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解； （3）根据平移的性质可得新抛物线的解析式，可得到新抛物线的对称轴为y轴，设点，，再求出直线的解析式，然后分三种情况，结合菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∴的面积为； （2）解：根据题意得：， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标； （3）解：∵， ∴将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为， 即新抛物线的对称轴为y轴， 设点，， ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：或0， 当时，，此时点在直线上，不符合题意，舍去； 此时点M的坐标为， ∴，解得：， 此时点N的坐标为； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为或， 同理点N的坐标为或； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为， 同理点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 变式3．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； (3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或，或，或 【分析】本题考查二次函数解析式的求解、对称点的几何性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法、对称点的中点与垂直关系、正方形的边长与角度特征是解题关键． （1）通过待定系数法求解抛物线解析式，将已知点代入抛物线的一般式，代入后得到关于系数的方程组，解方程组即可得到系数的值，进而确定解析式； （2）根据轴确定点E纵坐标，从而设点E坐标，结合题干运用轴对称性质，在中利用勾股定理即可求解； （3）根据 “以为边的正方形” 的条件，明确需与邻边垂直且长度相等，将正方形的问题转换为更简洁的等腰直角三角形问题，再通过直角顶点的分类讨论，利用全等三角形性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将点与点代入抛物线中， 得， 解得， ； （2）解：如图，连接，， 由题意得点D与点F关于直线对称， ，， ，轴， 当时， ， 解得，， ， ， ，， 在中，， 解得， ，， 设点，，， 在中，， ， 解得， ； （3）解：由题意得只能为正方形边长， 即只需考虑等腰的存在情况， 当点O为直角顶点时，为等腰直角三角形， 如图，过点P作，过点E作， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， 设点， 有，， ， 将点P代入抛物线得， 解得， ； 当点P为直角顶点时， 如下图，过点P作轴，过点E作， 同理可证， ，， 设点， 有，， ， 代入抛物线解析式得 解得，或， 时的情况如下图所示， ，或， 当点E坐标为时也满足条件，如下图所示， 综上所述，点E坐标为，或，或，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题复习讲义 二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题复习讲义 考点目录 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 知识点解析 考点一 特殊三角形存在性问题 一、解题原理 以等腰、直角、等腰直角、等边三角形的定义与判定为核心，结合平面直角坐标系、动点、函数图象、几何边长关系，利用边长相等、垂直关系、角度特殊三大约束，列出方程或不等式； 核心本质：把几何特殊条件转化为代数方程，通过解方程判断点是否存在、求参数或坐标，分类讨论是核心思想。 二、解题思路 1. 定动点与定点，设坐标 设动点坐标，用距离公式、横纵坐标差表示线段边长、斜率。 1. 分类讨论，罗列所有情况 · 等腰三角形：分三条边分别为底边三种情况（两腰相等）； · 直角三角形：分三个顶点分别为直角顶点三种情况； · 等腰直角：同时满足等腰+垂直双重条件； · 等边：三边长度全部相等。 1. 转化代数条件列式 · 等腰：两点间距离公式列「两边相等」方程； · 直角：斜率乘积为 或 勾股定理平方关系； · 坐标背景：巧用水平、竖直距离简化计算。 1. 解方程、检验合理性 求出点坐标或参数，排除三点共线、边长为负、不符合题意的增根。 1. 归纳所有符合条件的结果 考点二 特殊四边形存在性问题 一、解题原理 依托平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的边、角、对角线性质，利用： 1. 平行四边形：对边平行且相等、对角线互相平分； 2. 矩形：平行四边形邻边垂直/对角线相等； 3. 菱形：平行四边形邻边相等/对角线垂直； 4. 正方形：兼具矩形+菱形全部特征； 5. 梯形：一组对边平行； 核心原理：几何图形特征代数化，利用中点公式、平行、垂直、边长相等列方程，判定点的存在性。 二、解题思路 1. 定已知点，设未知动点坐标 明确固定顶点，设运动点坐标，梳理图形构成方式。 1. 先定基础图形：优先平行四边形 利用对角线中点重合（万能法）： 四边形为平行四边形两条对角线中点坐标相同，列式简洁、不易漏解。 1. 叠加特殊限制，逐级加条件 · 矩形：在平行四边形基础上，加邻边垂直或对角线相等； · 菱形：在平行四边形基础上，加邻边相等或对角线垂直； · 正方形：同时满足矩形+菱形条件； · 梯形：只需一组对边斜率相等（平行）。 1. 分类讨论图形构成形式 按“哪两条线段为边、哪两条为对角线”分类，避免遗漏多解。 1. 联立方程求解，剔除无效解 结合定义域、位置限制、四点不共线筛选答案，写出全部符合条件的点或参数。 真题速递 1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 3．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 考点一 特殊三角形存在性问题 【例题分析】 例1．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 例3．（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【变式训练】 变式1．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 变式3．（2025·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 特殊四边形存在性问题 【例题分析】 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2025·江苏扬州·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 例3．（2026·安徽淮南·一模）已知直线与轴相交于点，与轴相交于点．抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标． (2)点为抛物线上一动点，直线与轴相交于点，作轴于点，交直线于点． （i）求证：； （ii）若要使以为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【变式训练】 变式1．（2025·海南海口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点两点，与轴交于点，连接直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)点是位于直线上方抛物线上的一个动点， ①如图1所示，过点作平行于轴与抛物线另一个交点为，当点位于上方时，过点作与轴平行的直线交于点，连接线段、、．当四边形的面积等于时，求点坐标； ②如图2所示，连接与直线交于点，当时，求的值； (3)是抛物线上一个动点，在平面内是否存在，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·重庆·模拟预测）如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． (1)求的面积； (2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标． 变式3．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； (3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $